引力，那只塑造宇宙并將我們牢牢固定在地面的無形之手，幾個(gè)世紀(jì)以來一直是科學(xué)界深入研究的主題。雖然牛頓的萬有引力定律在兩百多年的時(shí)間里對(duì)引力的作用提供了非常精確的描述，但 20 世紀(jì)的曙光帶來了一種革命性的新理解，那就是阿爾伯特·愛因斯坦的廣義相對(duì)論。這個(gè)理論以其優(yōu)雅的數(shù)學(xué)框架和對(duì)空間、時(shí)間和引力本質(zhì)的深刻影響，取代了牛頓定律，成為對(duì)引力現(xiàn)象最精確的描述。然而，問題依然存在：我們能否從愛因斯坦方程復(fù)雜的織錦中，解開牛頓定律那些熟悉的線索？
愛因斯坦的廣義相對(duì)論于 1915 年發(fā)表，從根本上改變了我們對(duì)引力的看法。愛因斯坦沒有將引力視為質(zhì)量之間相互作用的力，而是提出引力是由質(zhì)量和能量的存在引起的時(shí)空彎曲造成的。這種彎曲決定了物體（包括光）將遵循的路徑。這個(gè)理論的數(shù)學(xué)核心在于愛因斯坦場(chǎng)方程，這是一組十個(gè)耦合的非線性偏微分方程，它將時(shí)空的曲率（由愛因斯坦張量表示）與質(zhì)量和能量的分布（由應(yīng)力-能量張量表示）聯(lián)系起來。這些方程在其完整的形式中非常復(fù)雜，通常需要先進(jìn)的數(shù)學(xué)技巧才能求解。
相比之下，牛頓的萬有引力定律是 17 世紀(jì)提出的，其形式非常簡(jiǎn)單。它指出，宇宙中的每一個(gè)粒子都以與它們質(zhì)量的乘積成正比、與它們中心之間距離的平方成反比的力吸引著每一個(gè)其他粒子。用數(shù)學(xué)表示，兩個(gè)質(zhì)量分別為 m1 和 m2 的物體之間相距 r 時(shí)的力 (F) 由 F = G * (m1 * m2) / r2 給出，其中 G 是引力常數(shù)。這條定律為理解行星的運(yùn)動(dòng)、潮汐以及地球上拋射物的軌跡等現(xiàn)象提供了一個(gè)非常成功的框架。
愛因斯坦方程和牛頓定律在復(fù)雜性上的明顯差異可能會(huì)讓人認(rèn)為它們是完全獨(dú)立的實(shí)體。然而，科學(xué)的對(duì)應(yīng)原理指出，一個(gè)更新、更全面的理論應(yīng)該在舊理論已知準(zhǔn)確的范圍內(nèi)簡(jiǎn)化為舊理論。就廣義相對(duì)論和牛頓引力而言，這個(gè)范圍對(duì)應(yīng)于弱引力場(chǎng)和低相對(duì)速度——這些條件在我們?nèi)粘＝?jīng)驗(yàn)和太陽系中普遍存在（除了一些明顯的例外）。
從愛因斯坦方程推導(dǎo)牛頓定律的過程涉及做出反映這些條件的特定近似。我們首先考慮引力場(chǎng)較弱的情況。這意味著時(shí)空的曲率很小，時(shí)空的幾何形狀僅從狹義相對(duì)論的平坦閔可夫斯基時(shí)空略有擾動(dòng)。在數(shù)學(xué)上，這表示為度規(guī)張量（描述時(shí)空幾何形狀）可以寫成閔可夫斯基度規(guī)加上一個(gè)小擾動(dòng)項(xiàng)h_μν，其中 h_μν 的分量遠(yuǎn)小于 1。
此外，我們假設(shè)引力場(chǎng)是靜態(tài)的或至少隨時(shí)間變化緩慢，并且所涉及物體的速度遠(yuǎn)小于光速。在這些近似條件下，復(fù)雜的愛因斯坦場(chǎng)方程大大簡(jiǎn)化。方程中的非線性項(xiàng)變得可以忽略不計(jì)，我們可以專注于擾動(dòng) h_μν 中的線性項(xiàng)。
廣義相對(duì)論中測(cè)試粒子的運(yùn)動(dòng)由測(cè)地線方程描述，該方程指出粒子遵循彎曲時(shí)空中“盡可能直”的路徑。在弱場(chǎng)和低速極限下，這個(gè)測(cè)地線方程簡(jiǎn)化為牛頓第二定律，F(xiàn) = ma。在這種情況下，引力來自于粒子質(zhì)量與略微彎曲的時(shí)空之間的相互作用。
至關(guān)重要的是，我們可以將擾動(dòng) h_μν 的分量與牛頓引力勢(shì) Φ 聯(lián)系起來。具體來說，在弱場(chǎng)極限下，度規(guī)張量的時(shí)間-時(shí)間分量 (g??) 可以近似為 -(1 + 2Φ/c2)，其中 c 是光速。這種聯(lián)系是將愛因斯坦理論中時(shí)空的幾何形狀與牛頓引力中引力勢(shì)的概念聯(lián)系起來的橋梁。
將這個(gè)弱場(chǎng)度規(guī)代入簡(jiǎn)化的愛因斯坦場(chǎng)方程，并考慮以非相對(duì)論性物質(zhì)（其中壓力和動(dòng)量與質(zhì)量密度 ρ 相比可以忽略不計(jì)）形式的引力源，我們得到了引力勢(shì)的泊松方程：?2Φ = 4πGρ，其中 ?2 是拉普拉斯算子。
泊松方程是牛頓引力中的一個(gè)基本方程。它將引力勢(shì)與源的質(zhì)量密度聯(lián)系起來。從泊松方程，我們可以很容易地推導(dǎo)出牛頓的萬有引力定律。對(duì)于位于原點(diǎn)的點(diǎn)質(zhì)量 m，泊松方程的解給出了熟悉的引力勢(shì) Φ = -Gm/r。然后，可以從勢(shì)的梯度獲得距離點(diǎn)質(zhì)量 r 處的測(cè)試質(zhì)量 m' 所受的引力：F = -m'?Φ = -Gmm'/r2 * r?，其中 r? 是從原點(diǎn)指向測(cè)試質(zhì)量的單位向量。這正是牛頓的萬有引力定律。
因此，通過一系列在弱引力場(chǎng)和低速范圍內(nèi)有效的明確定義的近似，我們確實(shí)可以從愛因斯坦場(chǎng)方程推導(dǎo)出牛頓引力定律。這種推導(dǎo)不僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)練習(xí)，它突出了這兩個(gè)理論之間深刻的聯(lián)系。牛頓引力可以被看作是更基本的廣義相對(duì)論在低能量、弱場(chǎng)條件下的一個(gè)極限。
然而必須記住，牛頓定律是一種近似。廣義相對(duì)論提供了更準(zhǔn)確和完整的引力描述，尤其是在強(qiáng)引力場(chǎng)、高速度和宇宙距離上。水星近日點(diǎn)的進(jìn)動(dòng)、光線在巨大物體周圍的彎曲以及引力波的存在等現(xiàn)象無法用牛頓引力解釋，但廣義相對(duì)論自然地預(yù)測(cè)了這些現(xiàn)象。
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