摘要
這篇文章將探討巴菲特投資成功的數(shù)學基礎，以及普通投資者如何從中汲取智慧，避開"反凱利陷阱"，構(gòu)建自己的長期復利機器。
1、復利是財富增長的根本動力，但現(xiàn)實世界充滿波動與不確定性。
2、凱利公式的本質(zhì)，是在不確定世界中優(yōu)化資金配置，實現(xiàn)最大化長期復利增長。
3、"加強版凱利策略"，是巴菲特成功的數(shù)學基礎，通過特殊商業(yè)模式實現(xiàn)更高效率、更低風險的平衡。
4、 "反凱利公式"的 某種形式的操作，是大多數(shù)投資失敗案例的原因。
5、凱利公式對賭徒無效，因為賭博是負期望值游戲，最優(yōu)策略是不參與。
6、最重要的投資原則 ：不要賭博，避免過度杠桿，永遠不要遭受永久性資本損失。
一
當市場開始大跌，人們就會再次感嘆還是巴菲特的姜比較老辣。
有種說法，最近幾十年，巴菲特在大多時候表現(xiàn)平平，甚至落后于大盤（當然，如此大的體量持續(xù)跑贏大盤原本很難），可只要市場大跌一次，他就追回來了，甚至反超。
這次貌似也不例外，他老早減倉，賣了大部分蘋果，持有現(xiàn)金高達數(shù)千億美元。
與此相反，許多超級投資明星，也許可以贏得風頭，卻很難經(jīng)得起一個浪頭。
這方面最讓我難忘的例子，是埃利斯說的：
一位明星基金經(jīng)理從1990年至2005年，年化收益達16.5%，顯著超越標普500的11.5%。但其后三年收益跌至-23.7%。
盡管時間加權收益看似略勝市場，實際投資者因在牛市高點大量買入，飽受縮水之苦，總計損失客戶36億美元?；鸾?jīng)理和基金公司均獲利，投資者卻被深度套牢。
換而言之，即使連續(xù)15年跑贏標普500指數(shù)，總體算下來其實還是虧錢的，尤其是那些高位進來的錢。
埃利斯說的應該是比爾·米勒。米勒在利曼兄弟價值信托基金創(chuàng)造了連續(xù)15年戰(zhàn)勝市場的神話，卻在2008年金融危機中遭受重創(chuàng)，其管理的基金凈值下跌約55-60%，遠超同期標普500約37%的跌幅。
雖然米勒后來在投資亞馬遜和比特幣上展現(xiàn)了過人的洞察力，但未能重現(xiàn)昔日輝煌。
巴菲特與米勒形成鮮明對比。巴菲特這種在市場平靜時期可能表現(xiàn)平平，卻能在危機時刻展現(xiàn)非凡價值的特性，恰恰驗證了長期投資成功更多依賴于避免大幅回撤，而非追求最大化短期收益的原理。
這也解釋了為什么許多短期內(nèi)光芒四射的投資明星，最終可能敗于一場重大市場調(diào)整。他們往往高度依賴特定市場環(huán)境下有效的策略，卻缺乏真正全周期的風險管理能力。
這兩位投資大師的對比完美詮釋了投資中的一個核心真理：
投資成功更多依賴于避免大錯，而非單純追求驚人回報。
巴菲特的投資生涯證明，能夠經(jīng)受住市場大幅下跌的投資者，最終往往能夠戰(zhàn)勝那些在牛市中光芒四射的明星基金經(jīng)理。
兩人最大的差別之一在于：
巴菲特在乎勝率；
米勒在乎賠率。
這種看似細微的差異，背后隱藏著那個尋常而又強大的數(shù)學原理——凱利公式。
二
在上面的對比中，米勒某種意義上是“反凱利公式”，而巴菲特是“加強版凱利公式”。
凱利公式原本是貝爾實驗室科學家約翰·凱利為解決通信問題而創(chuàng)造的，后來被證明是決定最優(yōu)資金分配的基礎：
f* = (bp - q) / b
其中f*是最優(yōu)投注比例，b是賠率，p是勝率，q是失敗率(即1-p)。
曾經(jīng)有文章認為，凱利公式重“勝率”而輕“賠率”。以下是兩個投資機會的對比：
1、一個10倍賠率的機會，如果只有10%的概率贏，最佳下注倉位只有1%；
2、一個0.5倍賠率的機會（賺1虧2），如果有80%概率贏，最佳下注倉位可以到40%。
該文由此認為：經(jīng)典投資理論更傾向于進行高概率的投資，能夠提高對概率的把握就是提高勝率。
按照（凱利公式）這套重概率（勝率）輕賠率的做法，想在投資實踐中獲得高收益是非常不容易的。
因為概率很難預估，并且由于投資并非扔骰子式的大規(guī)模重復，對結(jié)果無法驗證。
但事實并非如此，凱利公式自己沒有“偏好”，而是同時考慮了勝率和賠率來確定最佳的投資倉位。
至于概率的預估，我們只能采用貝葉斯的“主觀概率”。
上面兩個計算案例的對比，倒是引出了我想探討的主題：
價值投資，因為可以有較大的倉位，所以能夠?qū)崿F(xiàn)更好的長期復利回報。
先看價值投資與凱利公式的關系：
從凱利公式來看，價值投資的特點是追求相對較高的勝率(p)，同時接受適中的賠率(b)。通過尋找低于內(nèi)在價值的股票，價值投資者創(chuàng)造了一個"勝率優(yōu)勢"。
凱利公式顯示，當勝率較高時，即使賠率不是特別高，也能支持較大的倉位配置。這與價值投資的策略高度契合：
典型價值投資可能有65-75%的勝率
賠率通常在0.5-2倍之間
代入凱利公式計算出的最優(yōu)倉位往往在20-40%區(qū)間
相比之下，成長型或投機性投資通常是低勝率高賠率模型，凱利公式會建議更小的倉位配置。
為什么價值投資支持更大倉位有助于長期復利回報？ 1、回撤控制
較大倉位配置的前提是控制回撤風險。
價值投資通過安全邊際減小了大幅下跌的風險，使得投資者能夠維持較大的倉位暴露，而不會在市場調(diào)整時被迫減倉。
2、時間優(yōu)勢
價值投資的較大倉位能夠更充分地利用復利效應。
假設兩種策略預期回報率相同(比如15%)：長期來看，策略A能將更多資金暴露在復利增長中，產(chǎn)生更高的幾何平均回報。
策略A：高勝率、中賠率，凱利建議40%倉位
策略B：低勝率、高賠率，凱利建議10%倉位
3、資金利用效率
資本市場中，閑置資金的機會成本很高。
價值投資支持的較大倉位提高了資金利用效率。
三
當然，對比起凱利公式的簡潔，實際情況要復雜得多。理論和實踐之間存在如下幾個關鍵差距： 1、概率估計難題
投資中的"勝率"很難精確估計。價值投資者通過定性和定量分析試圖提高勝率估計的準確性，但這始終是主觀的。
2、非獨立事件
凱利公式假設賭注是獨立的，但實際股市投資高度相關。市場系統(tǒng)性風險可能同時影響多個價值投資頭寸。
3、時間框架差異
價值投資通常需要較長時間才能實現(xiàn)，這意味著資金被"鎖定"，可能錯過其他機會。
4、心理因素
真正的挑戰(zhàn)在于，價值投資者需要在市場恐慌時保持大倉位甚至加倉，這心理上非常困難。
巴菲特成功的關鍵，在于他創(chuàng)造性地解決了上述局限：
通過保險浮存金提供了低成本甚至負成本的資金，擴大了可投資基數(shù)
建立了識別高勝率投資機會的系統(tǒng)性方法
在市場恐慌時擁有足夠的現(xiàn)金和心理承受力增加倉位
價值投資經(jīng)常說起的“高勝率、高置信度、能力圈、安全邊際”，其實是服務于以上策略的。因為財富的增長，最后必然是一個數(shù)學游戲。
所以，可以說，巴菲特的精髓，是一個"加強版凱利策略"。
四
回過頭，再來看米勒以及別的一些投資者的“反凱利公式”。
大約有如下情形：
1、 “反凱利公式”，首先是米勒在經(jīng)歷暴跌之后，遭遇基金贖回。
這導致他沒辦法修復自己的幾何平均值的致命損傷。
這一點與手握現(xiàn)金逆勢殺入的巴菲特恰恰相反。
2、“反凱利公式”，還可以說是投資者。
最典型的是木頭姐的基金客戶們。大部分錢是她最輝煌的年份涌入的，結(jié)果遭遇大幅回調(diào)。她的年化回報并不高，但可能“摧毀”的財富更厲害。
這些明星基金經(jīng)理們，在策略期望值最高時(高bp值)，管理的資金最少；當策略期望值降低或轉(zhuǎn)負時，管理的資金反而最多。
這就像一個賭徒，在賠率最有利時只下小注，而在賠率變差時反而押上全部身家。不僅是明星基金經(jīng)理，絕大多數(shù)普通投資者也在無意識地實踐這種"反向凱利"策略——在市場高點(低期望值)時大量買入，在市場低點(高期望值)時恐慌賣出。
3、 “反凱利公式”最要命的，可能就是加杠桿。
因為凱利公式強調(diào)的是，再好的投資，你再下注的時候，也只能使用本金的一部分。
加杠桿，只要遭遇一個大的波動，就可能導致永久性損失。
最近流傳有基金經(jīng)理加杠桿，這可能和該領域的激勵機制有關，人們總在留意年度的回報率冠軍，于是激發(fā)了賭性。
又或者說，社會的評價體系，在乎極短時間內(nèi)的“算術平均值”，而非長期的“幾何平均值”。
4、對于在乎賠率的投資者，倉位可能是 “反凱利公式”。
例如，某位基金經(jīng)理假如想要更好的回報，可能購買更有想象空間的科技股。但是根據(jù)凱利公式的計算，高賠率低勝率的賭注比例會比較低。
為了回報率，就要提高資金的使用效率，于是該基金經(jīng)理又另外買了幾只類似的科技股。
這樣問題就來了：雖然貌似每只科技股都是按照凱利公式來計算的倉位，但是合在一起，其實恰恰違背了凱利公式對資金分配比例的原則。
凱利公式的推導和應用通?；诟黜椡顿Y或投注是相互獨立的假設。
當基金經(jīng)理買入幾只具有相似業(yè)務模式、處于同一行業(yè)或受相同宏觀因素影響的科技股時，這些投資的回報往往會呈現(xiàn)正相關性。
這意味著它們的上漲和下跌趨勢具有一定的同步性，不再是獨立的事件。
凱利公式的目標是最大化長期的幾何平均收益率。過度投資于相關的、低勝率的資產(chǎn)會增加投資組合的波動性，尤其是在不利的情況下可能出現(xiàn)大幅回撤。
大幅回撤對幾何平均收益率的傷害是巨大的，需要更高的后續(xù)收益才能彌補。
一位明星基金前一年賺70%的耀眼業(yè)績，只要第二年虧40%就會被徹底抹掉業(yè)績。
這恰恰是很多明星基金經(jīng)理在風口期光鮮亮麗，卻在市場危機時潰不成軍的根本原因——他們追求賠率的策略，看似精巧，實則誤入凱利公式的反面陷阱。
5. "反凱利公式"的時間錯配問題
凱利公式隱含地假設投資者有足夠長的時間跨度來實現(xiàn)理論上的長期收益最大化。然而，現(xiàn)實中的投資者和基金經(jīng)理往往面臨短期業(yè)績壓力和流動性約束。
當遭遇下跌時，許多投資者因為各種原因（退休需求、教育支出、心理承受力等）無法堅持足夠長的時間來等待市場回暖。這種"被迫短視"違背了凱利公式長期復利最大化的前提。
彼得·伯恩斯坦認為，波動性是長期投資者的隱形殺手，尤其在提款階段。
他提出了"序列風險"概念：
比較兩個退休投資組合，均為初始$100萬，年提取$65,000，平均年回報7%
投資組合A：前15年回報率7%，后15年回報率7%，30年后剩余$95萬
投資組合B：前15年回報率2%，后15年回報率12%，30年后已耗盡
盡管兩個組合的算術平均回報相同，但初期的市場表現(xiàn)對退休資金的壽命至關重要
伯恩斯坦的序列風險與凱利公式存在深層聯(lián)系：
凱利策略追求的是幾何平均值最大化，但這種最大化隱含地假設資金流動是穩(wěn)定的。
當投資者需要在特定時間點提取資金時，時間順序的重要性突然放大。
米勒基金恰恰遭遇了這種"雙重反凱利"陷阱：
不僅在市場下跌期管理的資金最多（違背了凱利的資金配置原則），還面臨投資者大規(guī)模贖回（違背了凱利的時間跨度假設）。
當他需要在市場低點被迫賣出資產(chǎn)以滿足贖回需求時，幾何平均收益率遭受了不可逆的打擊。
巴菲特則通過伯克希爾哈撒韋的結(jié)構(gòu)設計巧妙避開了這一陷阱。
作為一家控股公司而非共同基金，他不需要應對投資者的短期贖回壓力，能夠在市場恐慌時堅持甚至加碼，從而享受凱利公式在足夠長時間周期內(nèi)的全部優(yōu)勢。
序列風險的教訓表明，真正的凱利策略必須將資金流動和時間順序納入考量。
對個人投資者而言，這意味著應當根據(jù)預期的資金需求調(diào)整投資策略，特別是接近使用資金的時間點時，應當適度降低投資組合的波動性，即使這可能意味著放棄一些理論上的長期收益率。
另外，源源不斷增加的現(xiàn)金流，對于投資者而言太重要了。
6. 機構(gòu)結(jié)構(gòu)性的"反凱利公式"
現(xiàn)代金融機構(gòu)的組織架構(gòu)和激勵機制往往系統(tǒng)性地鼓勵"反凱利"行為：
基金經(jīng)理年度考核與獎金制度鼓勵短期表現(xiàn)
機構(gòu)投資者對"業(yè)績歸因"的強調(diào)導致風格純粹但高度相關的投資組合
投資決策與風險管理分離，缺乏整體性思考
"相對基準"的評價體系導致羊群效應，增加系統(tǒng)性風險
特別是對沖基金的"2 and 20"收費模式（2%管理費加20%業(yè)績提成）創(chuàng)造了不對稱的激勵：
成功時分享大量利潤，失敗時風險主要由投資者承擔。這種結(jié)構(gòu)鼓勵了過度冒險的"反凱利"策略。
其實人類的損失厭惡，就漲跌的不對稱性而言，是非常智慧的。
然而，對于基于提成激勵機制而言，損失不可怕，沒有超額收益才可怕。
當然，越來越多的基金經(jīng)理在優(yōu)化機構(gòu)的機制。
7、缺乏應對黑天鵝事件的機制
納西姆·塔勒布認為：極端虧損對投資組合的破壞性遠大于極端收益的貢獻，尾部風險被嚴重低估。
他經(jīng)常使用"破產(chǎn)理論"解釋：
假設某基金經(jīng)理15年表現(xiàn)出色，平均每年超額收益3%
如果遭遇一次40%的特大虧損，需要67%的回報才能恢復原狀
塔勒布分析2006-2009年對沖基金數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，超過30%的"明星基金"最終因單一事件導致巨大損失而關閉
傳統(tǒng)凱利公式的一個致命缺陷是基于概率分布是已知且穩(wěn)定的假設。
然而，塔勒布指出金融市場充滿了"未知的未知"——那些無法預測、無法量化、但影響巨大的事件。這些黑天鵝事件使得標準凱利公式的應用變得危險。
當米勒重倉金融股并遭遇2008年危機時，他面臨的正是凱利公式無法充分計入的極端尾部風險。
沒有任何歷史數(shù)據(jù)或概率模型能夠準確預測次貸危機的嚴重程度，因此基于"已知分布"計算的最優(yōu)倉位必然存在系統(tǒng)性錯誤。
塔勒布的"反脆弱"理念與凱利公式的目標實際上是一致的——追求長期生存和增長。
不同之處在于，塔勒布強調(diào)了面對未知分布時的保守策略。他建議設計能從波動和混亂中獲益的投資組合，而非僅僅追求已知風險條件下的最優(yōu)配置。
在這個視角下，巴菲特的投資哲學展現(xiàn)出驚人的"反脆弱"特性：
始終保持充足現(xiàn)金，在市場混亂時有能力出擊
嚴格避開不了解的復雜金融產(chǎn)品和業(yè)務模型
選擇那些能在經(jīng)濟衰退中幸存甚至壯大的企業(yè)
建立可長期持有的投資組合，減少交易頻率和交易成本
從這個角度看，應對黑天鵝的"修正凱利策略"應包括：
對極端風險的額外緩沖（如使用"半凱利"而非"全凱利"）
構(gòu)建反脆弱的投資組合結(jié)構(gòu)（保留"干火藥"）
關注風險的構(gòu)成而非簡單的預期回報
對未知風險持謙卑態(tài)度
塔勒布的洞見與凱利公式結(jié)合，為我們提供了一個更全面的風險管理框架：
在尋求最優(yōu)資金配置的同時，必須承認我們的概率估計存在根本性局限，并為那些無法預測的事件留出足夠的安全邊際。
五
巴菲特“加強版凱利公式”，有如下七個秘密：
1、長期復利至上
巴菲特的核心目標與凱利公式一致，都是追求長期的復利回報，即最大化幾何平均值。
這也是所有投資者共同的目標。
但做到這一點很難，因為短期的業(yè)績，甚至是不算短的年份里的算術平均值，更容易成為投資者的自我評價系統(tǒng)。
這可能是巴菲特最牛的地方，他真的不在乎被人說“你不行了”。
2、高勝率價值投資
巴菲特堅持價值投資，追求高勝率，這使得他能在凱利公式的框架下配置較大的倉位，并且持有時間較長，從而更有效地實現(xiàn)復利增長。
3、“浮存金”驅(qū)動的本金增長
巴菲特利用伯克希爾·哈撒韋的保險業(yè)務及其投資公司的現(xiàn)金流，持續(xù)增加可投資的本金，突破了凱利公式基于固定本金的限制。
這一點對普通人的啟發(fā)是，應該有一些源源不斷的現(xiàn)金流，來增加你的投資本金。
4、犧牲算術優(yōu)化幾何
巴菲特有時犧牲短期賬面收益（算術平均值），持 有大量現(xiàn)金，以便在市場低迷時以更優(yōu)的價格買入，從而優(yōu)化長期的幾何平均收益。
對于一心要當冠軍的人而言，做到這一點太難了。
5. 用概率增強凱利公式的效用
巴菲特的"安全邊際"原則在凱利框架下有著精確的數(shù)學意義：
當以低于內(nèi)在價值的價格購買股票時，同時提高了勝率(p)并降低了失敗概率(q)。
在凱利公式f* = (bp - q)/b中，這雙重作用顯著提高了最優(yōu)投注比例。
典型案例是巴菲特1964年美國運通投資：
當"色拉油丑聞"引發(fā)股價暴跌，他投入40%資金買入，最終獲得300%回報。安全邊際使他能在高確定性機會上部署更大資金。
"買股票就是買公司"的理念為凱利公式中最困難的部分——概率估計——提供了實用框架。通過將抽象概率轉(zhuǎn)化為商業(yè)分析，巴菲特能夠：
a、評估業(yè)務穩(wěn)定性(影響p)：專注于基本面而非市場波動，將"勝率"轉(zhuǎn)化為可分析的商業(yè)問題。
b、分析護城河強度(延長回報期)：選擇具持久競爭優(yōu)勢的企業(yè)，提高預測可靠性，強化凱利公式的"多次博弈"效應。
c、計算現(xiàn)金流折現(xiàn)值(確定b)：通過分析財務與管理質(zhì)量預測未來現(xiàn)金流，為凱利公式提供更準確的賠率參數(shù)。
這種框架將市場概率轉(zhuǎn)化為商業(yè)判斷，大大提高了凱利公式的實用性。
巴菲特的安全邊際并非靜態(tài)，而是隨著對企業(yè)理解的加深而動態(tài)調(diào)整的。他不斷學習和評估，從而更精確地校準其概率估計。這體現(xiàn)了價值投資的持續(xù)學習和迭代過程。
6. 勝率優(yōu)勢下的集中投資
巴菲特的集中投資策略是凱利公式在高勝率情境下的擴展應用。當確信擁有優(yōu)勢時，適度集中能帶來更高的長期復合收益率。 這種集中策略基于三個與凱利緊密相關的原則：
a、能力圈與信息優(yōu)勢：只投資于深刻理解的領域，直接滿足凱利公式的前提——準確評估概率和賠率的能力。在能力圈內(nèi)，投資者獲得比市場更精確的期望值計算。
b、護城河與預測可靠性：持久競爭優(yōu)勢不僅帶來更高預期回報，更重要的是降低了凱利公式中勝率估計的誤差范圍。
"如果壕溝寬且有鱷魚，我就會很開心"——這種確定性直接強化了凱利策略有效性。
c、集中持倉的理性：如芒格所言之"廣泛分散是對無知的保護，不是對知識的保護。"
這與凱利邏輯一致——在優(yōu)勢最大處配置更多資金。巴菲特的高集中度投資組合正是凱利公式在高置信度環(huán)境下的最優(yōu)資本配置。
集中投資不僅是資金配置策略，也是對投資者自身研究能力的終極考驗和信任投票。巴菲特的集中持倉本質(zhì)上是他對其深入研究和高置信度的最直接體現(xiàn)。
7. 長期視角與均值回歸
巴菲特利用市場均值回歸規(guī)律系統(tǒng)性地優(yōu)化了凱利公式中的勝率參數(shù)。這種長期方法包含四個關鍵要素：
a、均值回歸的概率優(yōu)勢：市場定價圍繞內(nèi)在價值波動的規(guī)律提供了統(tǒng)計優(yōu)勢——當價格遠低于價值時，回歸概率增加。這讓巴菲特不靠完美預測也能獲得系統(tǒng)性勝率優(yōu)勢。
b、高置信度閾值：巴菲特只在極高確信度時投資，是對凱利公式中概率不確定性的調(diào)整。
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