選自quantamagazine
作者：Steve Nadis
機(jī)器之心編譯
一塊冰塊漂浮在水中，隨著時(shí)間推移，它會(huì)逐漸融化成一個(gè)微小的冰粒，最終完全消失。在這個(gè)過程中，冰塊表面變得越來越光滑，所有不規(guī)則形狀和銳利邊緣都會(huì)逐漸消失。
對(duì)于你我來說，這是一個(gè)很常見的現(xiàn)象，而數(shù)學(xué)家們同樣致力于理解這一現(xiàn)象，不過是更深?yuàn)W的角度 —— 他們希望能夠精確描述冰塊表面或一座被侵蝕的沙堡的形狀如何隨時(shí)間演變。
為了分析這種現(xiàn)象，此前的研究人員研究了抽象數(shù)學(xué)曲面和形狀按照特定規(guī)則集的演化過程。這組規(guī)則定義了平均曲率流（Mean Curvature Flow）過程，它能同時(shí)平滑曲面（即使是高度不規(guī)則的曲面）并使其收縮。
然而，隨著曲面演化，可能會(huì)形成奇點(diǎn)（singularities）—— 即數(shù)學(xué)描述失效的點(diǎn)。在這些位置，曲面可能會(huì)急劇突出，或變得極度薄弱以至于曲率「爆炸」至無窮大。對(duì)于任何閉合的緊致曲面（如封閉球面）在平均曲率流過程中必然會(huì)出現(xiàn)奇點(diǎn)。
當(dāng)這些奇點(diǎn)過于復(fù)雜時(shí)，流動(dòng)將無法繼續(xù)進(jìn)行。
數(shù)學(xué)家們希望確保即使在奇點(diǎn)形成后，仍能分析表面的持續(xù)演化。1995 年，現(xiàn)任職于蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院（ETH）的數(shù)學(xué)家 Tom Ilmanen 提出了 Multiplicity-one 猜想 。該猜想指出，在平均曲率流過程中形成的任何奇點(diǎn)都必須相對(duì)簡(jiǎn)單。「不良」行為應(yīng)僅限于個(gè)別點(diǎn)：例如，不應(yīng)出現(xiàn)多個(gè)區(qū)域（無論來自同一表面還是不同表面）相互堆疊的情況。
如果 Multiplicity-one 猜想成立，將證實(shí)奇點(diǎn)并非平均曲率流的障礙。即使出現(xiàn)奇點(diǎn)，流動(dòng)仍可繼續(xù)，使數(shù)學(xué)家能夠評(píng)估表面的演化。
近幾十年來，數(shù)學(xué)家們?cè)诿枋銮嫱ㄟ^平均曲率流移動(dòng)時(shí)的行為特性方面取得了諸多進(jìn)展。「但到目前為止取得的很多結(jié)果都依賴于 Multiplicity-one 猜想的正確性，」加州大學(xué)伯克利分校（UC Berkeley）的數(shù)學(xué)家 Richard Bamler 說到，「在某種程度上，主要的障礙一直都是 Multiplicity-one 猜想。」
現(xiàn)在，他和紐約大學(xué)（NYU）的 Bruce Kleiner 終于證明了這個(gè)猜想確實(shí)正確。
左為 Richard Bamler，右為 Bruce Kleiner。
「這是一個(gè)重大突破，」斯坦福大學(xué)（Stanford）的 Brian White 表示。這項(xiàng)工作不僅使數(shù)學(xué)家們能夠更好地理解平均曲率流，而且可能在整個(gè)幾何學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域有重要應(yīng)用。
全速流動(dòng)
平均曲率流概念在 20 世紀(jì) 50 年代被引入，用于解釋金屬冷卻過程中出現(xiàn)的各種現(xiàn)象。1978 年，賓夕法尼亞州薩斯奎漢納大學(xué)（Susquehanna University）的名譽(yù)教授 Kenneth Brakke 從數(shù)學(xué)角度形式化了這一概念。他的模型最終提供了一個(gè)更為通用的數(shù)學(xué)描述，可應(yīng)用于任何維度的抽象曲面和形狀。
Multiplicity-one 猜想涉及三維空間中的閉合二維曲面，如球體或環(huán)面（甜甜圈形狀）。在這類曲面上的任意一點(diǎn)，可以計(jì)算給定方向上的曲率 —— 這是衡量曲面在該方向彎曲程度的指標(biāo)。理論上可以考慮無限多的方向，但數(shù)學(xué)家們通常只關(guān)注那些給出最大和最小曲率值的方向。這兩個(gè)數(shù)值的平均值被稱為平均曲率（Mean Curvature），它能提供關(guān)于曲面在該點(diǎn)的許多重要信息。
平均曲率流利用曲面信息以最快速和高效的方式減小曲面面積。在這一過程中，曲面上的每個(gè)點(diǎn)都以等于其平均曲率的速度移動(dòng) —— 且方向垂直于其「切平面」（切平面是在該點(diǎn)最佳近似曲面的二維平面）。這種垂直方向有兩個(gè)選擇，一個(gè)指向內(nèi)部，另一個(gè)指向外部。如果曲面在該點(diǎn)向外凸出，則流動(dòng)方向向內(nèi)；如果曲面向內(nèi)彎曲，則流動(dòng)方向向外。
以球體為例，平均曲率流會(huì)使球體以越來越快的速率向其中心收縮。這是因?yàn)殡S著球體收縮，每個(gè)點(diǎn)的平均曲率會(huì)增大 —— 較小的球體比較大的球體彎曲程度更大。最終，球體會(huì)收縮為一個(gè)點(diǎn)，即球體中心原來所在的位置。
假設(shè)曲面是一個(gè)部分凹陷的球體，類似于某些地方被撞凹的足球。在平均曲率流的作用下，凹陷部分會(huì)被推出，而曲面其余部分則向內(nèi)移動(dòng)，使其逐漸接近完美球體，最終收縮為一點(diǎn)。
這一過程同樣能將圓柱體簡(jiǎn)化為一條線，將環(huán)面（torus）簡(jiǎn)化為一個(gè)圓。然而，對(duì)于更復(fù)雜的形狀，如中心處變窄的啞鈴形狀，會(huì)發(fā)生不同情況。在平均曲率流作用下，手柄最細(xì)部分會(huì)首先收縮為一點(diǎn)，形成奇點(diǎn)（singularity）。這種奇點(diǎn)類似于肥皂泡從塑料棒上分離或水滴從水龍頭分離時(shí)的「收縮點(diǎn)」。在該點(diǎn)，啞鈴表面失去光滑性，曲率變?yōu)闊o限大。
這時(shí)問題出現(xiàn)了：無法將無窮大代入平均曲率流方程中。方程失效，無法再預(yù)測(cè)曲面的未來演化。但若移除該奇點(diǎn)，我們將得到兩個(gè)獨(dú)立的淚滴狀部分，從而可以繼續(xù)研究平均曲率流對(duì)這些部分的影響。這些部分會(huì)逐漸變得更加光滑圓潤(rùn)，幾乎成為完美球體，最終收縮為兩個(gè)分離的點(diǎn)。
對(duì)于任何閉合的緊致曲面 —— 即直徑有限且有明確內(nèi)外之分的曲面 —— 平均曲率流必然導(dǎo)致奇點(diǎn)形成。（對(duì)于簡(jiǎn)單球體，這個(gè)奇點(diǎn)就是曲面最終收縮至的那一點(diǎn)。）Bamler 表示：「這個(gè)本應(yīng)使曲面變得更簡(jiǎn)單的流，隨著過程進(jìn)行到極限，我們知道它總會(huì)變得奇異，所以如果我們想理解這個(gè)流的作用，就需要理解它的奇點(diǎn)形成過程。」
這正是 Multiplicity-one 猜想的用武之地。
分離是成功的關(guān)鍵
簡(jiǎn)單的奇點(diǎn)（如夾點(diǎn)）可以直接去除，使平均曲率流暢通無阻。但如果奇點(diǎn)比較復(fù)雜，比如表面中的兩塊薄片聚集在一起，在整個(gè)區(qū)域內(nèi)重疊，而不是只影響一個(gè)點(diǎn)，那么就不可能做到這一點(diǎn)。Bamler 表示，在這種情況下，「我們不知道流動(dòng)是如何表現(xiàn)的」。
Ilmanen 提出了他的猜想，以排除這些麻煩的情況。幾十年后，Bamler 和 Kleiner 開始證明他是正確的。
為此，他們想象了一種不尋常的形狀，Kleiner 稱之為「邪惡的雙胞球」。它由兩個(gè)球體組成，一個(gè)在另一個(gè)里面，由一個(gè)小圓柱體或頸部連接，形成一個(gè)單一的表面。Kleiner 指出，如果頸部快速收縮，將兩個(gè)球形區(qū)域拉到一起，那將是「噩夢(mèng)般的情景」。為了排除這種情況，他和 Bamler 希望了解這兩個(gè)區(qū)域?qū)⑷绾蜗嗷プ饔茫约八鼈冎g的距離將如何隨時(shí)間變化。
于是，兩位數(shù)學(xué)家將形狀分解成不同的構(gòu)件 —— 放大后看起來像平行薄片的區(qū)域，以及被稱為最小曲面（平均曲率為零，因此在平均曲率流中不會(huì)移動(dòng)）的特殊區(qū)域。然后，他們定義了一個(gè)函數(shù)，用于測(cè)量曲面上任意給定點(diǎn)到鄰近區(qū)域最近點(diǎn)的距離。
他們找到了分析這個(gè)「分離函數(shù)」如何隨時(shí)間變化的方法，證明它永遠(yuǎn)不會(huì)歸零。這意味著噩夢(mèng)般的情景永遠(yuǎn)不會(huì)發(fā)生。
數(shù)學(xué)家們可以輕而易舉地將這種方法應(yīng)用到包含相同類型構(gòu)件的封閉表面上。但是，「一般的 [封閉] 曲面在某些區(qū)域可能看起來非常復(fù)雜，」Bamler 說，復(fù)雜到「可能使我們無法控制流動(dòng)」。
他和 Kleiner 隨后證明，這些有問題的區(qū)域必須非常小。Bamler 表示，「它對(duì)整個(gè)流動(dòng)的影響微乎其微。因此，我們基本上可以忽略它?！?/p>
無論曲面多么復(fù)雜或奇特，分離函數(shù)都不會(huì)隨著時(shí)間的推移而歸零。換句話說，相鄰區(qū)域永遠(yuǎn)不會(huì)趨同，也不會(huì)出現(xiàn)復(fù)雜的奇點(diǎn)。Ilmanen 的猜想是正確的。
事實(shí)上，Bamler 和 Kleiner 證明，平均曲率流幾乎總是導(dǎo)致兩種類型之一的特別簡(jiǎn)單的奇點(diǎn)：收縮為一點(diǎn)的球體，或坍縮為一條直線的圓柱體。Bamler 說：「任何其他類型的奇點(diǎn)都只出現(xiàn)在極少數(shù)非常特殊的情況下。在這些情況下，奇點(diǎn)非常不穩(wěn)定，即使是最輕微的擾動(dòng)也會(huì)消除它們?！?/p>
隨著 Multiplicity One 猜想的解決，斯坦福大學(xué)的 Otis Chodosh 說：「我們現(xiàn)在基本上對(duì)三維空間中表面的平均曲率流有了一個(gè)完整的認(rèn)識(shí)?！?/p>
他還補(bǔ)充說，這些知識(shí)可能會(huì)在幾何學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)中得到重要應(yīng)用，特別是如果數(shù)學(xué)家能夠證明生活在四維空間中的三維表面的猜想。Bamler 和 Kleiner 正開始研究下一種情況，不過他們表示需要找到一種與二維表面不同的方法。
Chodosh 補(bǔ)充說，這個(gè)證明已經(jīng)可以讓數(shù)學(xué)家利用平均曲率流重新證明一個(gè)關(guān)于球體對(duì)稱性的重要問題，即「斯梅爾猜想」。Bamler 說，以前對(duì)該猜想的證明相當(dāng)復(fù)雜，使用平均曲率流的證明可能更容易理解。
一個(gè)被稱為里奇流（Ricci flow）的相關(guān)過程已經(jīng)被用來證明一些重要猜想，包括著名的龐加萊猜想（另一個(gè)關(guān)于球體的聲明）。數(shù)學(xué)家們希望，Bamler 和 Kleiner 在均值曲率流方面的工作將幫助它成為一種類似的強(qiáng)大方法。White 說：「Bamler 和 Kleiner 讓我們對(duì)均值曲率流核心奇點(diǎn)的理解有了巨大的進(jìn)步。這無疑為我們提供了將其作為一種工具...... 來做各種奇妙事情的可能性?！?/p>
原文鏈接：https://www.quantamagazine.org/a-new-proof-smooths-out-the-math-of-melting-20250331/
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