防走失，電梯直達(dá)
來源：環(huán)球科學(xué)
作者：杰克·默塔（Jack Murtagh）
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請(qǐng)思考這樣一個(gè)問題：假設(shè)我在過去9年（2016年4月至今）中隨機(jī)選取某個(gè)具體時(shí)刻，精確到年、月、日、時(shí)、分乃至秒。你能猜中這個(gè)時(shí)間點(diǎn)嗎？這看上去似乎絕無可能。但其實(shí)猜中這一特定時(shí)刻的概率仍然比贏得強(qiáng)力球（Powerball）彩票頭獎(jiǎng)的概率高。
強(qiáng)力球是美國(guó)最受歡迎的彩票之一。2023年10月，強(qiáng)力球彩票因頭獎(jiǎng)金額累積至17億美元登上頭條，這是該彩票歷史上第二高的獎(jiǎng)金。眾所周知，彩票中獎(jiǎng)的概率微乎其微。但當(dāng)頭獎(jiǎng)獎(jiǎng)金如滾雪球般刷新紀(jì)錄時(shí)，天文數(shù)字的潛在回報(bào)能否抵消極低的中獎(jiǎng)概率？換言之，購(gòu)買彩票是否可能成為一項(xiàng)理性選擇？答案或許令人意外——即便數(shù)學(xué)計(jì)算顯示，購(gòu)彩存在好的“期望”（期望值為正），但在現(xiàn)實(shí)中，這可能依然是個(gè)糟糕的決策。
“期望值”這個(gè)數(shù)學(xué)概念有時(shí)被用于區(qū)分賭局的好壞。以骰子游戲?yàn)槔夯?元錢下注1~6中的某個(gè)數(shù)字，若猜中則贏回賭注，外加額外的1元獎(jiǎng)金，猜錯(cuò)則損失本金。顯然你不會(huì)選擇下注，因?yàn)闈撛诘氖找媾c損失一樣，都是1元，但失敗損失本金的概率高達(dá)5/6。
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如果下注成本仍為1元，但猜中可贏得100元呢？此時(shí)的獎(jiǎng)金額度似乎足以補(bǔ)償失敗風(fēng)險(xiǎn)。通過概率計(jì)算，我們能精確界定玩家愿意參與賭局的臨界金額。其中的核心變量有三項(xiàng)：下注成本、潛在收益與獲勝概率。通過對(duì)所有可能結(jié)果（收益與損失）做加權(quán)平均，我們可以計(jì)算出賭局的期望值：期望值=獲勝概率×收益金額-失敗概率×損失金額。計(jì)算得到的期望值反映了長(zhǎng)期重復(fù)下注時(shí)，每次投注的預(yù)期平均收益（負(fù)值則表示預(yù)期虧損）。
在骰子游戲的案例中，獲勝概率為1/6，失敗概率為5/6，盈虧金額均為1元。因此，期望值=（1/6×1）-（5/6×1）=-0.67元。這意味著，如果在骰子游戲中長(zhǎng)期重復(fù)下注，將導(dǎo)致平均每次損失約0.67元。若把獎(jiǎng)金提升至100元，期望值將變?yōu)檎?6元，骰子游戲則會(huì)成為明顯有利的賭局。我們還可以用期望值公式求解賭局的盈虧平衡點(diǎn)（令期望值為0）。對(duì)于骰子游戲，平衡點(diǎn)處獎(jiǎng)金應(yīng)為5元——失敗概率是獲勝的5倍，5倍的獎(jiǎng)金恰好能抵消風(fēng)險(xiǎn)。
我們可以用期望值方法來分析強(qiáng)力球彩票。強(qiáng)力球頭獎(jiǎng)的初始獎(jiǎng)池約為2000萬美元，每注成本為2美元，而頭獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)概率為1/292 201 338。代入公式計(jì)算可得，單張彩票的期望值約為-1.93美元——與其購(gòu)買彩票，不如直接把兩塊錢換成一毛錢來的劃算。更不用說，這一計(jì)算過程還忽視了各種復(fù)雜因素：首先，它假設(shè)你選擇了年金的支付方式（美國(guó)彩票獎(jiǎng)金提取的方式之一，首次提取后29年內(nèi)每年分期領(lǐng)取，其長(zhǎng)期價(jià)值高于一次性領(lǐng)?。?；其次，它并未計(jì)入37%的美國(guó)聯(lián)邦稅以及比例各不相同的州稅；此外，它還忽略了部分號(hào)碼匹配的小額獎(jiǎng)項(xiàng)分走的獎(jiǎng)金。
如果將這些都納入考量，那-1.93美元的虧損預(yù)期都顯得過于樂觀。不過，2000萬美元的獎(jiǎng)池和17億美元的獎(jiǎng)池的確是兩碼事。強(qiáng)力球彩票的玩法是：如果某一期沒有人贏走頭獎(jiǎng)，那么獎(jiǎng)池的總金額將會(huì)累積到下一輪。當(dāng)獎(jiǎng)池一次又一次地積累增長(zhǎng)，巨大的數(shù)額總有一天能抵消微小的中獎(jiǎng)概率，使期望值大于零。
如果簡(jiǎn)單套用期望值的公式，在3億分之一的概率下，17億美元的獎(jiǎng)金的確對(duì)應(yīng)了正期望值。媒體常宣稱此時(shí)購(gòu)彩在數(shù)學(xué)上很合理，但這種說法忽略了一個(gè)關(guān)鍵細(xì)節(jié)：多人同時(shí)中獎(jiǎng)導(dǎo)致獎(jiǎng)金被分?jǐn)?/strong>。此時(shí)，精確計(jì)算期望值就需要考慮所有的可能情形：獨(dú)中頭獎(jiǎng)概率×全額獎(jiǎng)金+兩個(gè)人平分頭獎(jiǎng)的概率×半數(shù)獎(jiǎng)金+三個(gè)人平分頭獎(jiǎng)的概率×1/3的獎(jiǎng)金......
不過，這樣精確的計(jì)算是否有意義？既然中頭獎(jiǎng)本身已是概率極低的事件，那么同一期出現(xiàn)兩名頭獎(jiǎng)得主的概率是否更是低到可以忽略不計(jì)？這種直覺在獎(jiǎng)池較小、購(gòu)彩人數(shù)較少時(shí)或許成立——比如當(dāng)獎(jiǎng)池僅有2000萬美元時(shí)，多人同時(shí)中獎(jiǎng)的概率確實(shí)微乎其微。但在一些關(guān)鍵時(shí)刻，現(xiàn)實(shí)往往違反直覺：當(dāng)銷售額達(dá)到數(shù)億量級(jí)時(shí)，頭獎(jiǎng)“撞車”的概率其實(shí)相當(dāng)高。
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以2016年為例，彼時(shí)頭獎(jiǎng)金額有史以來首次突破10億美元（最終為15.6億），引發(fā)了美國(guó)全民購(gòu)彩狂潮，單期銷量飆升至6.35億張（達(dá)當(dāng)年平均銷量的20倍）。這種情況下，出現(xiàn)多名頭獎(jiǎng)得主的概率超過了60%！事實(shí)上，最終的確有三名得主瓜分了當(dāng)期獎(jiǎng)金。而即使是如此龐大的獎(jiǎng)金池，在平分頭獎(jiǎng)、抽稅和小額獎(jiǎng)項(xiàng)的疊加影響下，其收益期望值仍為負(fù)數(shù)。
此外，60%分?jǐn)傤^獎(jiǎng)的概率源自人們完全隨機(jī)選擇號(hào)碼的假設(shè)，可事實(shí)并非如此。盡管所有號(hào)碼組合的中獎(jiǎng)概率相等，但人們總傾向于選擇那些有意義的號(hào)碼組合，比如生日或紀(jì)念日（這導(dǎo)致有大量數(shù)字≤31），或者看似更隨機(jī)的奇數(shù)與非10的倍數(shù)。這種行為導(dǎo)致較小數(shù)字的獎(jiǎng)池更容易“撞車”，而其他數(shù)字則相對(duì)“安全”，比如選擇大偶數(shù)與10的杰克·默塔是一位數(shù)學(xué)科普作家和謎題設(shè)計(jì)師，他為《科學(xué)美國(guó)人》撰寫數(shù)學(xué)趣聞專欄，也是《晨間簡(jiǎn)報(bào)》（MorningBrew newsletter）每日謎題的創(chuàng)作者。默塔擁有美國(guó)哈佛大學(xué)理論計(jì)算機(jī)科學(xué)的博士學(xué)位。
倍數(shù)雖不會(huì)提升中獎(jiǎng)率，卻能降低分?jǐn)偑?jiǎng)金的風(fēng)險(xiǎn)。自2016年以來，購(gòu)彩狂潮已逐漸消退。近年的兩大歷史級(jí)頭獎(jiǎng)（2022年11月和2023年10月）因人們較為克制的購(gòu)買欲望，在計(jì)入稅費(fèi)與分?jǐn)偤蠖虝撼霈F(xiàn)了正期望值，但這種情況極為罕見。美國(guó)某些州的地方性彩票因熱度較低，或許更易找到正期望值機(jī)會(huì)。
不過，請(qǐng)不要因此急著去彩票店掏空錢包。正數(shù)學(xué)期望值的確很有吸引力，但我還是想要提醒：即便如此，彩票依然是一項(xiàng)糟糕的“投資”。具有正期望值的彩票極為罕見，且存在一個(gè)關(guān)鍵限制：由于每期彩票的銷量數(shù)據(jù)在開獎(jiǎng)前并不會(huì)公開，因此其實(shí)你并不能精確估算期望值。2016年的案例表明，更大的獎(jiǎng)池可能對(duì)應(yīng)著更小的期望值。所以本質(zhì)上，對(duì)彩票期望值的估計(jì)本身也是一種賭博。
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然而，即使你有能力推算出購(gòu)買人數(shù)，正期望值本身也并不代表“好的投資”。更根本的問題在于，期望值模型在涉及中等規(guī)模數(shù)額且概率顯著大于零的場(chǎng)景下能有效指導(dǎo)決策，但在像彩票這類極小概率、超大賠率的極端概率場(chǎng)景中，它的作用存在局限。
首先，期望值以長(zhǎng)期重復(fù)行為為前提。當(dāng)你在骰子游戲中押注100元，其實(shí)并不能單次就獲得16元的期望收益，你要么輸?shù)?元，要么獲得100元。只有不斷地押注，才能逐漸逼近16元的平均收益。但彩票中獎(jiǎng)的極端稀缺性讓“長(zhǎng)期平均”失去了意義。其次，金錢存在邊際效用遞減——第二個(gè)一億元帶來的快樂遠(yuǎn)不及第一個(gè)。但期望值模型卻將每一元錢等值對(duì)待。類似的是，該模型也忽視了人類厭惡風(fēng)險(xiǎn)的心理：人們對(duì)損失的厭惡通常強(qiáng)于對(duì)收益的渴望。因此盡管期望值模型適用于概率系統(tǒng)的評(píng)估，卻無法簡(jiǎn)單地適用于我們的人生決策。
最后，讓我們退出數(shù)學(xué)討論，回歸彩票的本質(zhì)屬性——購(gòu)買彩票其實(shí)更像是一場(chǎng)短暫體驗(yàn)幻想的消費(fèi)。研究表明，購(gòu)彩行為增加了參與者在開獎(jiǎng)前的期待幸福感。對(duì)人們來說，重要的不僅僅是彩票的結(jié)果，還有參與這項(xiàng)游戲本身。人生難免有非理性支出，而消費(fèi)彩票的錢也并非毫無意義，反而具有特殊的社會(huì)功能：彩票收入多用于教育、扶貧、養(yǎng)老及醫(yī)療救助等民生領(lǐng)域，同時(shí)也為國(guó)家提供了一定的財(cái)政稅收。所以，盡管從數(shù)學(xué)理性出發(fā)，我無法推薦你去購(gòu)買彩票，但幸福的生活也不全然依靠數(shù)學(xué)指導(dǎo)。
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