你在地球上挖了一個貫穿中心的隧道。你站在隧道一端，想去地球另一邊。問題來了：是直接跳下去穿越地球更快，還是乘坐火箭繞行軌道更快？
別急著說這是做夢！物理學就喜歡這種"假如"的腦洞大開。而且，答案可能會顛覆你的想象...
高斯定律：重力場的終極秘密
首先，我們得搞清楚地球內(nèi)部的重力是什么鬼。大部分人只知道地表重力加速度是9.8牛頓/千克，至于地下的情況？恐怕連你高中物理老師都說不清楚。
地球表面的重力場可以用這個公式表示：
g = (G * M) / r2
這里G是萬有引力常數(shù)（6.67×10?11?！っ?/千克2），M是地球質(zhì)量（5.972×102?千克），r是到地心的距離。驗算一下就知道，在地球表面（r = 6.378×10?米）重力場強度確實約為9.8牛/千克。
但問題來了：當你接近地心時，重力場是多少？難道會無限增大？還是變?yōu)榱悖窟@時候就需要請出物理學界的大佬——高斯定律！
高斯定律對于重力場是這樣說的：
∮g·n?dA = -4πG·M_in
這個公式看起來嚇人，但本質(zhì)很簡單：穿過某個封閉曲面的重力場通量，等于曲面內(nèi)部總質(zhì)量乘以一個常數(shù)。
我不會像大學教授那樣廢話連篇地講解曲面積分（誰受得了那種折磨？）。重點是：利用球?qū)ΨQ性，我們可以輕松找出地球內(nèi)部任何位置的重力場！
秘密揭曉：地球內(nèi)部的重力場
假設地球密度均勻（雖然實際上不是），那么地球內(nèi)部距離中心r處的重力場為：
g = (G * M * r) / R3
這個結(jié)果告訴我們幾件有趣的事：
- 地心處重力為零！沒錯，如果你站在地球中心，你會體驗到失重狀態(tài)
- 地球內(nèi)部重力與距離成正比，不是平方反比
- 在地表處(r=R)，兩個公式給出相同結(jié)果
用Python隨機分布5000個質(zhì)點模擬地球，計算結(jié)果也驗證了這一點！
穿越地球：一場簡諧運動的狂歡
現(xiàn)在回到原問題。如果你跳入這個貫穿地球的隧道，運動方程是：
m·d2x/dt2 = -(G·M·m·x) / R3
這是什么？沒錯，就是簡諧運動方程！解出來是：
x(t) = A·cos(ωt) + B·sin(ωt)
其中ω = √(G·M/R3)
這意味著你會像彈簧上的物體一樣在隧道里來回振動！從一端到另一端需要的時間是π/ω。
繞行還是穿越：結(jié)局反轉(zhuǎn)
再看看另一種方案——在地表軌道上飛行到地球另一側(cè)。
對于圓周運動，向心加速度必須由重力提供：
m·ω2·R = (G·M·m) / R2
解出ω：
ω = √(G·M/R3)
驚呆了吧？這與穿越地球的ω完全相同！
這意味著什么？無論是穿越還是繞行，到達地球另一端所需的時間竟然完全一樣！兩種方式都需要大約42分鐘！
當然，這個結(jié)論有個前提：地球密度均勻。實際上地球密度從核心到地表是遞減的。如果考慮真實密度分布，結(jié)果會不一樣。
用Python模擬非均勻密度的地球，我們可以看到穿越地球和繞行地球到達另一側(cè)的時間差異。這才是更接近現(xiàn)實的答案。
這個看似荒謬的問題揭示了物理學的精妙之處：通過假設和理論模型，我們可以探索無法直接實驗的現(xiàn)象。
從高斯定律到簡諧運動，從計算機模擬到理論推導，我們看到了物理學如何用數(shù)學語言描述宇宙的運行規(guī)律。雖然我們無法真正挖穿地球（別傻了，地核溫度高達5500°C，比太陽表面還熱！），但思想實驗讓我們領(lǐng)略了自然界的神奇法則。
注：本文所有模型均基于理想假設。實際地球內(nèi)部結(jié)構(gòu)復雜多變，密度分布不均，核心處于極高溫度和壓力狀態(tài)，任何真實的"穿越地球"計劃都將面臨難以克服的工程挑戰(zhàn)。但這不妨礙我們在思想實驗中探索物理規(guī)律的美妙之處。
熱門跟貼