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普魯士的首府柯尼斯堡鎮(zhèn)，因“柯尼斯堡七橋問(wèn)題”（歐拉在1735年解決了這個(gè)難題）而在18世紀(jì)聞名于數(shù)學(xué)界。
到了19世紀(jì)后期，這個(gè)小鎮(zhèn)在“數(shù)學(xué)地圖”上重振聲威，因?yàn)檫@里誕生了一位20世紀(jì)的數(shù)學(xué)大咖，他就是大衛(wèi)·希爾伯特。

來(lái)源 | 《悠揚(yáng)的素?cái)?shù)：二百年數(shù)學(xué)絕唱黎曼假設(shè)》

作者 | [英] 馬庫(kù)斯?杜?索托伊

譯者 | 柏華元

數(shù)學(xué)“管弦樂(lè)”

希爾伯特?zé)釔?ài)自己的家鄉(xiāng)，并看到在哥廷根城墻內(nèi)，數(shù)學(xué)之火燃燒得最為劇烈。因?yàn)閾碛懈咚?、狄利克雷、戴德金?a class="keyword-search" >黎曼這樣的數(shù)學(xué)大師，所以哥廷根儼然成為數(shù)學(xué)界的朝圣之地。

也許與當(dāng)時(shí)的其他人相比，希爾伯特更敏銳地嗅到了黎曼帶來(lái)的一場(chǎng)數(shù)學(xué)巨變。黎曼意識(shí)到，探索及理解數(shù)學(xué)世界的法則和規(guī)律，比專注于公式和繁瑣的計(jì)算收獲更豐。

數(shù)學(xué)家們開始以一種新方式來(lái)聆聽數(shù)學(xué)“管弦樂(lè)”。他們不再拘泥于單個(gè)音符，而是開始注意尋找隱藏在研究對(duì)象背后的音樂(lè)之聲。

黎曼在數(shù)學(xué)界發(fā)起一場(chǎng)“文藝復(fù)興運(yùn)動(dòng)”。到了希爾伯特那一代，這種思想就成為了主旋律。1897年，希爾伯特寫道，他希望奉行黎曼一貫遵循的原則，即證明的動(dòng)力在于主動(dòng)思考而非被動(dòng)計(jì)算。

希爾伯特因此在德國(guó)學(xué)術(shù)圈占據(jù)了一席之地。孩提時(shí)他就了解到，古希臘人已經(jīng)證明，要想盡可能生成所有數(shù)字，就需要無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)。上學(xué)時(shí)他就猜測(cè)，如果將數(shù)字換成方程的話，結(jié)果似乎就大不相同了。

究竟如何證明，和素?cái)?shù)相比，只有有限的方程才可用來(lái)生成某些有無(wú)窮多解的方程組？這成為19世紀(jì)末的數(shù)學(xué)家面臨的一大挑戰(zhàn)。

和希爾伯特同時(shí)期的其他數(shù)學(xué)家，嘗試通過(guò)構(gòu)建方程這種費(fèi)時(shí)費(fèi)力的方法來(lái)攻克這個(gè)難題。

希爾伯特卻證明，這些有限的方程必然存在，即使他無(wú)法構(gòu)建出這樣一組方程。這一觀點(diǎn)震驚了當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界。

當(dāng)看到高斯輕而易舉地算出1～100的所有數(shù)字之和時(shí)，高斯的老師臉上露出懷疑的神情，第一反應(yīng)是“他作弊了”。同理，希爾伯特的導(dǎo)師也心生懷疑：這個(gè)方程理論是不是來(lái)得太容易了？

這對(duì)當(dāng)時(shí)的正統(tǒng)派數(shù)學(xué)理論來(lái)說(shuō)可是個(gè)不小的挑戰(zhàn)。如果無(wú)法看到有限的列表，就很難接受它的存在，即使有確鑿證據(jù)支持它的存在也是如此。對(duì)于那些仍固守法國(guó)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)——數(shù)學(xué)基于方程和顯式公式——的數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，是很難從心理上接受這樣一種觀點(diǎn)的：有些東西看不見，但確定無(wú)誤就在那兒。

保羅·戈?duì)柕な窃撗芯款I(lǐng)域的專家，他這樣評(píng)價(jià)希爾伯特的發(fā)現(xiàn)：“這不是數(shù)學(xué)，這是神學(xué)?！?/p>

希爾伯特依然堅(jiān)守著自己的陣營(yíng)，即使那時(shí)候他只有二十幾歲。最后數(shù)學(xué)家們終于承認(rèn)，希爾伯特是對(duì)的，就連戈?duì)柕ひ餐讌f(xié)讓步了。戈?duì)柕と绱苏f(shuō)道：“我相信，就算神學(xué)也有可取之處?！?/p>

在此之后，希爾伯特開始研究起數(shù)字來(lái)，他將那些數(shù)字形容為“一座難得集美與和諧于一身的建筑物”。

推動(dòng)數(shù)學(xué)革命的交際花

1893 年，德國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)邀請(qǐng)希爾伯特寫一份關(guān)于數(shù)論在19世紀(jì)末發(fā)展情況的報(bào)告。這對(duì)一個(gè)剛剛?cè)鲱^的年輕人來(lái)說(shuō)是一項(xiàng)艱巨的任務(wù)。

一百多年前，這門學(xué)科甚至都沒(méi)形成一套完整的體系。高斯于1801 年出版的《算術(shù)研究》一書開辟了數(shù)論這片沃土，因此到了19世紀(jì)末，“數(shù)論之花”才綻放得如此熱烈，甚至已有生長(zhǎng)過(guò)剩之勢(shì)。為了使這個(gè)學(xué)科的發(fā)展步入正軌，希爾伯特的舊識(shí)赫爾曼·閔可夫斯基加入到他的陣營(yíng)。

他們?cè)诳履崴贡ぷx書時(shí)就認(rèn)識(shí)了。閔可夫斯基在數(shù)論上成績(jī)斐然，18歲時(shí)就斬獲了數(shù)學(xué)科學(xué)大獎(jiǎng)。他十分樂(lè)意從事數(shù)論研究工作，因?yàn)樗嘈?，這會(huì)使他聆聽到這種“強(qiáng)大音樂(lè)的主旋律”。閔可夫斯基的加入，點(diǎn)燃了希爾伯特對(duì)素?cái)?shù)的研究熱情。閔可夫斯基宣稱，在他們的聚光燈下，素?cái)?shù)會(huì)一下子就搖曳生姿起來(lái)。

希爾伯特的“神學(xué)”為他在歐洲數(shù)學(xué)界贏得了一席之地。1895年，菲利克斯·克萊因教授向他拋來(lái)了橄欖枝，來(lái)信希望他在哥廷根大學(xué)任教。希爾伯特二話不說(shuō)，欣然接受了邀請(qǐng)。

在討論聘用希爾伯特一事的大會(huì)上，其他教職工都對(duì)克萊因的力挺表示質(zhì)疑，都紛紛猜測(cè)他是不是招來(lái)了一個(gè)毫無(wú)立場(chǎng)的跟班兒?？巳R因向他們保證，希爾伯特絕不是那類人。他說(shuō)道：“我已經(jīng)問(wèn)過(guò)最難相處的人的意見了?！?/p>

就在那年秋天，希爾伯特只身前往那座小鎮(zhèn)，他的靈魂導(dǎo)師黎曼就曾在那里任教。他希望自己能進(jìn)一步推動(dòng)那場(chǎng)數(shù)學(xué)革命。

不久，教職工們就意識(shí)到，希爾伯特并不滿足于挑戰(zhàn)數(shù)學(xué)正統(tǒng)。這個(gè)新同事的行為做派令那些數(shù)學(xué)家的妻子們大開眼界，震驚不已。其中一個(gè)人這樣寫道：“他簡(jiǎn)直就是來(lái)攪局的。我聽說(shuō)，有一天晚上，有人看見他在餐廳的后廚和學(xué)生們打臺(tái)球?！?/p>

日子一天天過(guò)去，希爾伯特在哥廷根贏得了一些女士的芳心，其大眾情人的名聲也因此流傳在外。在他舉辦的50歲生日宴會(huì)上，學(xué)生用字母表的每個(gè)字母代表一位被他征服的女士，以此為歌詞，為他演唱了一首歌曲。

這位瀟灑不羈的教授還買了一輛自行車，這讓他更紅了。經(jīng)常有人看到他騎車穿過(guò)哥廷根的街道，為他的情人帶上一束自己從花園里采摘的鮮花。他講課時(shí)，衣著隨便，只穿襯衫，不穿外套，這在當(dāng)時(shí)是聞所未聞的。在寒冷的食堂里，他會(huì)向前來(lái)就餐的女士借用毛圍巾來(lái)保暖。希爾伯特是故意引來(lái)爭(zhēng)議，還是僅僅為了獲得解決所有問(wèn)題最直接的答案，就不得而知了。

不過(guò)，有一點(diǎn)可以肯定，那就是他花在數(shù)學(xué)問(wèn)題上的心思比在社交上多得多。

希爾伯特在院子里架了一塊20英尺長(zhǎng)的黑板。除了照顧花圃和自行車炫技之外，其余的時(shí)間他就在黑板上演算數(shù)學(xué)問(wèn)題。他特別喜歡聚會(huì)，經(jīng)常將留聲機(jī)的最大唱針?lè)诺匠?，大聲播放音?lè)。在終于聽到恩里科·卡魯索的現(xiàn)場(chǎng)演唱后，他相當(dāng)失望，說(shuō)：“卡魯索演唱用的唱針太小了?！?/p>

不過(guò)，與希爾伯特在數(shù)學(xué)上取得的成就相比，這些小怪癖無(wú)足輕重。1898年，他將研究方向從數(shù)論轉(zhuǎn)到了幾何學(xué)上。他對(duì)一些數(shù)學(xué)家在19世紀(jì)提出的新幾何學(xué)大感興趣，這些數(shù)學(xué)家宣稱其違背了古希臘人提出的一條基本幾何公理。他堅(jiān)信抽象數(shù)學(xué)有種看不見的強(qiáng)大力量。

因此，一個(gè)物體有何物質(zhì)實(shí)體，是無(wú)關(guān)緊要的；而物體間有何關(guān)系，才是至關(guān)重要的。

他開始研究起隱藏在那些新幾何問(wèn)題背后的抽象結(jié)構(gòu)和關(guān)系來(lái)。希爾伯特曾經(jīng)宣布，如果用桌、椅、啤酒杯來(lái)分別代替點(diǎn)、線、面的話，這些幾何理論依然行得通。這使他一時(shí)聲名大振。