1911年，印度數(shù)學(xué)天才斯里尼瓦薩-拉馬努金（ Srinivasa Ramanujan）在《印度數(shù)學(xué)會雜志》上提出了上述問題（如圖）。幾個月之后，他提供了一個解決方案。 在這篇文章中，我們將討論拉馬努金的解決方案，同時探索一個基于微積分的方法來解決這個問題。所以，讓我們直接深入探討吧。

聲明

但首先，讓我們明確說明幾件重要的事情。

• 我們將在上面給出的數(shù)列收斂的假設(shè)下開始。嚴(yán)格地說，我們應(yīng)該先證明這個數(shù)列的收斂性，然后再求它的極限。然而，為了簡單起見，我們認(rèn)為數(shù)列的收斂是理所當(dāng)然的，只關(guān)注于求極限。
• 下面介紹的解并不是拉馬努金在雜志上提供的精確解。相反，它是一個簡化版本，目的是為了抓住拉馬努金解的要點(diǎn)。

拉馬努強(qiáng)的解

請注意，對于任何非負(fù)實(shí)數(shù)x，我們有：

現(xiàn)在，(x+2)又可以寫成((x+1)+1)，從而得到：

繼續(xù)這個過程，把(x+3)寫成((x+2)+1)，我們得到：

這個規(guī)律現(xiàn)在已經(jīng)很明顯了。如果我們無限地進(jìn)行這個過程，我們會得到：

現(xiàn)在神奇的事情來了。 插入x=2，我們得到：

就這樣，我們得到了答案， 原來只是3！就這樣簡單而明了，的確如此。

我們很難不對這個解決方案的天才之舉感到驚訝，誰會想到把一個數(shù)字表示為它的平方根會得到這樣一個美麗的等式呢？

此外，上述問題是更廣泛的一類問題的一個極好的例子，其中所提出的問題是具有更一般性質(zhì)的特殊情況。在這種情況下，我們首先找到一般的恒等式，然后代入合適的值來得到期望的結(jié)果。例如：

所以，這就是拉馬努金對這個問題的思路。接下來，我們繼續(xù)探索基于微積分的方法來解決這個問題。

基于微積分的解決方案

聲明：我們假設(shè)存在一個可微的實(shí)值函數(shù)f，隱式定義為：

同樣，我們在這里放棄了一些數(shù)學(xué)上的嚴(yán)謹(jǐn)性，假設(shè)這樣的函數(shù)存在，而沒有實(shí)際證明這一點(diǎn)。現(xiàn)在，我們的目標(biāo)是，如果這樣的函數(shù)存在，我們能否利用它來解決我們的原始問題？

請注意：

繼續(xù)下去，我們得出了：

現(xiàn)在可以清楚地看到，我們問題的解f(2)， 這是因?yàn)椋?/p>

當(dāng)然，以上就是我們的函數(shù)定義的靈感來源?，F(xiàn)在，讓我們試著找出f(2)的值。

然后：

現(xiàn)在，讓我們看看f(x)的導(dǎo)數(shù)告訴了我們什么。

同樣，在[3]中設(shè)置x=0，我們得到：

回到原來的方程：

我們得到了 f(2)的值，也就是是3。

結(jié)語

補(bǔ)充一些歷史背景，拉馬努金在1911年發(fā)表了這個問題，當(dāng)時他正試圖在國家數(shù)學(xué)界建立自己的地位。幾年后，他與G.H.哈迪取得聯(lián)系，搬到了劍橋，在接下來的五年里，他們兩人將形成有史以來最佳的數(shù)學(xué)伙伴關(guān)系之一。

拉馬努金是一個不需要特別介紹的名字。他的生活和成就已經(jīng)被徹底記錄下來了。這篇文章上提出的問題只是他最喜歡的領(lǐng)域之一。

作為他的典型代表，拉瑪努強(qiáng)對數(shù)學(xué)的特定領(lǐng)域有著全身心的興趣，而對其他領(lǐng)域則完全漠不關(guān)心。當(dāng)然，誰能比哈迪本人更了解這一點(diǎn)呢？我們以他的一句精彩的話來結(jié)束本文，這句話恰當(dāng)?shù)馗爬死R努金：

他的知識的局限性與它的深刻性一樣令人吃驚。這個人可以算出模方程和定理......達(dá)到聞所未聞的程度，他對續(xù)分?jǐn)?shù)的掌握......超過了世界上任何一位數(shù)學(xué)家；但他卻從未聽說過雙周期函數(shù)或柯西定理，而且對復(fù)變函數(shù)的概念也模糊不清。