無理數(shù)很有趣，小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字永不循環(huán)地延續(xù)下去，但整個(gè)數(shù)字總是小于一個(gè)固定值，這就有點(diǎn)難搞了？沒有錯(cuò)，我所說的就是π。在這里，我們將討論一個(gè)半頁紙的證明，證明這個(gè)數(shù)字π的無理性。

• 伊萬-尼文（Ivan Niven）

人類文明知道π以及它與圓的周長和面積的關(guān)系已經(jīng)有幾千年了，可以追溯到古代巴比倫人，當(dāng)時(shí)最后的猛犸象已經(jīng)滅絕了。然而，盡管π的估值從3到3.12再到3.14等等，但π的無理性本質(zhì)直到1760年才被瑞士學(xué)者約翰·海因里?！ぬm伯特發(fā)現(xiàn)并證明，后來又被其他著名數(shù)學(xué)家如埃爾米特、卡特萊特、布爾巴基和拉茨科維奇證明。

這些證明中，伊萬·尼文的證明用簡單易懂的數(shù)學(xué)工具及矛盾方法，將其壓縮在半頁紙里。讓我們來看看。

首先假設(shè)π是一個(gè)有理數(shù)，可以表示為π=a/b，其中a&b是整數(shù)，b≠0。讓我們考慮一個(gè)函數(shù)：

我們可以改變n，從1到任意數(shù)n的數(shù)，來創(chuàng)建一個(gè)多項(xiàng)式F(x)：

現(xiàn)在，回到f(x)，很明顯，當(dāng)n!與f(x)相乘時(shí)，分母是1，因此對于任何x，f(x)值都是一個(gè)整數(shù)。所以：

現(xiàn)在，如果你考慮右手邊，(a -bx)^n中x的最小冪是0，即a^n，當(dāng)它與x^n相乘時(shí)，結(jié)果中x的最小冪是n，最大是n+n=2n。

如果對f(x)進(jìn)行微分，當(dāng)x=0或(a-bx)=0=>x=a/b=π（如前所述）時(shí)，結(jié)果總是0，因?yàn)榉肿又械乃许?xiàng)都有x?，F(xiàn)在，讓我們對{F'(x)sin x - F(x)cos x}對x進(jìn)行微分：

經(jīng)過一點(diǎn)點(diǎn)簡化，我們得到了一個(gè)結(jié)果：

我們知道，積分是微分的逆運(yùn)算，反之亦然。因此，如果我們對f(x)sin x進(jìn)行積分，也就是對{F'(x)sin x - F(x)cos x}進(jìn)行微分后得到的結(jié)果，得到{F ' (x) sin x - F(x) cos x} 在0到π的范圍內(nèi)的積分：

這里π = a/b。就像我們之前說過的，F(xiàn)(π) + F(0)是一個(gè)整數(shù)，當(dāng)F(x)微分任意次數(shù)時(shí)，我們得到的結(jié)果是x = a/b = π和x = 0。

但由于f(x)是一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，對于0

所以積分是正的，但實(shí)際上對于一個(gè)非常大的n值來說是不成立的，因?yàn)槌?shù)或上界在更大的n值中趨向于0。

換句話說，本應(yīng)該對任何n值都有效的積分在更大的n值時(shí)不成立。因此，有兩個(gè)地方可能出了問題，要么是在積分過程中出現(xiàn)了錯(cuò)誤，要么是π實(shí)際上不能寫成a/b。但如果你用多種方法來驗(yàn)證積分過程，結(jié)果總是一樣的，那么只剩下一個(gè)選擇：π≠a/b，也就是π是無理的。

雖然現(xiàn)在有很多人記住了π后面的很多位小數(shù)，但只有少數(shù)人知道如何證明它的無理性。雖然有很多證明，但伊萬-尼文的證明是最簡明的。如果認(rèn)為這是理所當(dāng)然的，那就失去了數(shù)學(xué)所能提供的所有樂趣。