想象一下，在一個(gè)家庭聚會(huì)上，大家圍坐在晚餐桌前討論微積分的場(chǎng)景。這聽起來可能很不尋常，直到了解到伯努利家族的傳奇。這個(gè)家族被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的王朝，他們對(duì)數(shù)學(xué)的深刻理解和貢獻(xiàn)徹底改變了科學(xué)的面貌。這引發(fā)了一個(gè)思考：伯努利家族的顯赫是否僅僅因?yàn)樗麄兊奶熨x，還是他們恰好生活在一個(gè)數(shù)學(xué)迅速發(fā)展的黃金時(shí)代？這個(gè)家族誕生了至少八位著名的數(shù)學(xué)家，包括微積分、微分方程、概率論和流體力學(xué)等領(lǐng)域的先鋒人物雅各布、約翰和丹尼爾·伯努利。接下來，將探索這個(gè)家族成員的人生和成就，以及他們是如何塑造數(shù)學(xué)和物理學(xué)早期發(fā)展的。

雅各布·伯努利（1654-1705）

在17世紀(jì)末，雅各布·伯努利作為伯努利家族中的一位杰出人物，以其對(duì)數(shù)學(xué)的深刻洞察而聞名。他首次向世界介紹了數(shù)學(xué)常數(shù)e，顯示出他非凡的才智。雅各布的主要作品《猜想藝術(shù)》（Ars Conjectandi），徹底改變了概率論的研究方法，成為該領(lǐng)域的里程碑。

出生于一個(gè)經(jīng)營香料生意并在巴塞爾擔(dān)任市議員的家庭，雅各布最初在巴塞爾大學(xué)追求神學(xué)和哲學(xué)學(xué)位。然而，是對(duì)勒內(nèi)·笛卡爾和布萊士·帕斯卡著作的閱讀點(diǎn)燃了他對(duì)數(shù)學(xué)的熱情。這種熱情最終促使他在1687年成為巴塞爾大學(xué)的數(shù)學(xué)教授，期間他與當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)巨匠，包括戈特弗里德·萊布尼茨、克里斯蒂安·惠更斯和瓜利爾莫·德·洛皮塔爾等進(jìn)行了深入的學(xué)術(shù)交流。

他最著名的工作是在概率論和組合學(xué)上，特別是他的書《猜想藝術(shù)》，這本書在他去世后的1713年出版。在這本書中，他引入了期望值的概念、大數(shù)定律、伯努利分布和伯努利試驗(yàn)。他還證明了二項(xiàng)式定理適用于任何有理指數(shù)，并導(dǎo)出了許多重要的公式和恒等式，涉及二項(xiàng)式系數(shù)，如帕斯卡三角形、范德蒙恒等式和楚-范德蒙恒等式。

雅各布·伯努利還對(duì)變分法（calculus of variations）做出了重要貢獻(xiàn)。變分法是研究如何找到某些量的最大值或最小值的函數(shù)或形狀的數(shù)學(xué)理論。他解決的第一個(gè)著名問題是最速降線問題，這個(gè)問題涉及找到兩點(diǎn)之間在重力作用下物體下降路徑的最快曲線。他還解決了等周問題，即尋找給定長(zhǎng)度圍成的最大面積曲線的問題。他為自己的名字所代表的“8”字形曲線命名為“l(fā)emniscate”，并研究了其性質(zhì)。

雅各布曾說，

我憑爪子認(rèn)出了獅子。

• I recognize the lion by his paw.

我們通常通過智力的表現(xiàn)來識(shí)別一個(gè)人的天賦，但是對(duì)于雅各布·伯努利來說，人們可能會(huì)質(zhì)疑他的成就是真正的天才還是僅因?yàn)樗渡碛跀?shù)學(xué)這一當(dāng)時(shí)正處于興起階段的領(lǐng)域。雅各布在1705年逝世，時(shí)年50歲，死因是肺結(jié)核。他安葬在巴塞爾大教堂的回廊里，墓志銘上刻著“Eadem mutata resurgo”，意為“雖經(jīng)改變，我依舊如故地復(fù)蘇”。他的墓碑上刻有一個(gè)lemniscate符號(hào)，作為對(duì)他在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就的象征。

• 雅各布和約翰·伯努利在討論數(shù)學(xué)

約翰·伯努利（1667–1748）

約翰·伯努利，雅各布的弟弟，是一個(gè)在家族中才華顯赫的人物的典范。盡管他開始時(shí)似乎處在兄長(zhǎng)輝煌成就的陰影之下，約翰卻在數(shù)學(xué)，尤其是微積分領(lǐng)域，展現(xiàn)了自己的天賦和創(chuàng)新能力。他的個(gè)性中蘊(yùn)含著挑戰(zhàn)精神，甚至勇于通過書信向數(shù)學(xué)巨人萊布尼茨提出挑戰(zhàn)。

成為伯努利家族中一名極具成就的成員，約翰不僅在巴塞爾大學(xué)繼承了兄長(zhǎng)的數(shù)學(xué)教授職位，還曾在格羅寧根大學(xué)、巴黎科學(xué)院和圣彼得堡帝國科學(xué)院擔(dān)任重要職務(wù)。他與萊布尼茨的緊密合作及與艾薩克·牛頓的競(jìng)爭(zhēng)。

約翰·伯努利在微積分的早期發(fā)展中扮演了核心角色，他的微積分知識(shí)主要來源于萊布尼茨。他成功地將微積分的原理應(yīng)用于廣泛的領(lǐng)域，比如分析粒子的運(yùn)動(dòng)、研究鐘擺的擺動(dòng)、探究懸掛鏈條的行為，以及理解光線如何彎曲。約翰在數(shù)學(xué)的若干關(guān)鍵領(lǐng)域展示了深厚的專業(yè)知識(shí)，特別是在處理變量分離、運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的微積分方法，以及應(yīng)用有限差分法方面具有高超的技巧。

他的一項(xiàng)重要成就是發(fā)現(xiàn)了微積分中的一個(gè)基礎(chǔ)概念——微積分的基本定理，這一定理揭示了積分與導(dǎo)數(shù)之間的直接聯(lián)系，即一個(gè)函數(shù)的積分過程可以通過其導(dǎo)數(shù)來反向操作。

約翰·伯努利還在變分法方面做出了貢獻(xiàn)，與他的兄弟雅各布一起。他獨(dú)立解決了最速降線問題，并提出并解決了等時(shí)問題，該問題尋找一個(gè)特殊的曲線使得粒子從任何初始位置落到最低點(diǎn)所需的時(shí)間都相同。他還引入了歐拉-拉格朗日方程，這是尋找方程極值的主要工具。

約翰不僅僅關(guān)注微積分。他還涉獵數(shù)論、幾何學(xué)、代數(shù)和分析。他證明了e是無理數(shù)，發(fā)明了極坐標(biāo)，并用它們來研究固定在旋轉(zhuǎn)臂上的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)生成的曲線。他還引入了曲線族的包絡(luò)概念，以及曲線的外曲率線和內(nèi)曲率線。

約翰也是一位著名的導(dǎo)師。他指導(dǎo)了下一代數(shù)學(xué)天才，如萊昂哈德·歐拉、讓·勒·朗·達(dá)朗貝爾、皮埃爾·路易·莫珀圖伊和約瑟夫·路易·拉格朗日。更不用說他的兒子們，丹尼爾和約翰二世，他們也繼承了數(shù)學(xué)的才華。

約翰·伯努利于1748年去世，享年80歲。他的墓志銘寫道：“阿基米德、牛頓和他”（Archimedes, Newton, et ille）。

丹尼爾·伯努利（1700-1782）

提起丹尼爾·伯努利，我們立刻會(huì)想到那位因闡述流體中速度與壓力關(guān)系的伯努利原理而著名的科學(xué)家。他對(duì)流體動(dòng)力學(xué)的貢獻(xiàn)極具開創(chuàng)性，但這是否意味著他僅僅是繼承了先前偉人和家族的智慧呢？實(shí)際上，丹尼爾的成就并非孤立事件，而是伯努利家族對(duì)數(shù)學(xué)和科學(xué)長(zhǎng)期投入和熱情的自然延續(xù)。他的作品《流體動(dòng)力學(xué)》不只是個(gè)人才華的展現(xiàn)，更是其家族對(duì)科學(xué)探索熱情的集大成者。

丹尼爾·伯努利是一位以流體動(dòng)力學(xué)和概率論工作而聞名的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家。他在巴塞爾大學(xué)學(xué)習(xí)醫(yī)學(xué)和數(shù)學(xué)，并于1721年獲得博士學(xué)位。他還旅行到意大利、法國和俄羅斯，在那里他會(huì)見并與許多著名科學(xué)家合作，如萊昂哈德·歐拉、亞歷西斯·克萊勞特和克里斯蒂安·戈?duì)柕掳秃铡?725年，他獲得了圣彼得堡大學(xué)數(shù)學(xué)教授的職位，到了1733年，他作為巴塞爾大學(xué)的教授深入研究解剖學(xué)和植物學(xué)。

丹尼爾最著名的著作是1738年出版的《流體動(dòng)力學(xué)》（Hydrodynamica）。在這本書中，他將能量和動(dòng)量守恒原理應(yīng)用于流體流動(dòng)，并推導(dǎo)出以他的名字命名的伯努利方程，該方程關(guān)聯(lián)了流體在管道或渠道中的壓力、速度和高度。

他還解釋了文丘里效應(yīng)的現(xiàn)象，即流體通過管道狹窄部分時(shí)壓力降低而速度增加。他還研究了人體內(nèi)血液的流動(dòng)，以及空氣阻力對(duì)彈丸運(yùn)動(dòng)的影響。

他還對(duì)概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)理論做出了重要貢獻(xiàn)，特別是在將數(shù)學(xué)應(yīng)用于社會(huì)和自然科學(xué)方面。他發(fā)展了期望效用的概念，這是基于其發(fā)生概率和其結(jié)果的效用來衡量風(fēng)險(xiǎn)結(jié)果價(jià)值的一種度量。他使用這一概念來解決圣彼得堡悖論（由他的表兄尼古拉斯·伯努利發(fā)明），這是一個(gè)涉及期望值無限但期望效用有限的游戲問題。他還引入了標(biāo)準(zhǔn)差的概念，這是一組數(shù)據(jù)圍繞其平均值的分散程度的度量。

• [左]丹尼爾·伯努利的肖像，創(chuàng)作于18世紀(jì)20年代早期。由巴塞爾歷史博物館提供。[右]丹尼爾的流體力學(xué)(1738年)

丹尼爾于1782年去世，享年82歲。他被埋葬在巴塞爾大教堂的回廊中，靠近他的父親和叔叔。他的墓志銘寫道：“他是伯努利家族中最偉大的”（Ille fuit maximus Bernoulliorum）。

伯努利家族的其他成員

尼古拉斯·伯努利是伯努利家族中一位有時(shí)被遺漏的顯著人物，盡管如此，他在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)上的工作卻極為關(guān)鍵。他與皮埃爾·雷蒙德·德·蒙特莫特就概率問題進(jìn)行的深入交流，不應(yīng)被視作普通的學(xué)術(shù)對(duì)話，而是類似于一場(chǎng)充滿智慧的較量。

隨著18世紀(jì)時(shí)間的流逝，伯努利家族在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的影響力并未減弱。家族中出現(xiàn)了如約翰二世、丹尼爾二世、約翰三世等后繼成員，他們繼續(xù)保持著家族在數(shù)學(xué)上的活躍狀態(tài)，仿佛是對(duì)先輩成就的一系列續(xù)作。然而，存在一個(gè)關(guān)鍵的探討點(diǎn)：這些后繼者是在開辟新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域和理論，展現(xiàn)出真正的創(chuàng)新，還是只是在現(xiàn)有的知識(shí)基礎(chǔ)上做出一些小的調(diào)整和補(bǔ)充，即重復(fù)前人的工作而沒有顯著的新進(jìn)展？

歸根結(jié)底，伯努利家族無論是因?yàn)槠浞欠驳牟湃A還是因?yàn)槠渌幍挠欣h(huán)境，都在科學(xué)領(lǐng)域留下了深刻的影響。他們留給世界的不只是一系列數(shù)學(xué)公式和物理定律；更重要的是，他們展示了對(duì)卓越成就的渴望、在科學(xué)探索過程中的相互競(jìng)爭(zhēng)，以及對(duì)于知識(shí)不斷探求的執(zhí)著。這種對(duì)知識(shí)探索的持續(xù)追求和對(duì)卓越的不懈努力，可能才是構(gòu)成伯努利家族傳奇真正精髓的元素。