抽象代數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)領(lǐng)域之一。它包含了廣泛的子領(lǐng)域，并且有著巨大的應(yīng)用數(shù)量。更具體地說，抽象代數(shù)是對代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究，這些代數(shù)結(jié)構(gòu)包括了各種各樣的東西，如群、環(huán)、域、模、幺半群等等！在這篇文章中，我將討論抽象代數(shù)的歷史，向你介紹一些其基本概念。

代數(shù)的根源可以追溯到多項(xiàng)式的研究。我們可以看到最早的多項(xiàng)式證據(jù)可以追溯到公元前1800年的古巴比倫。這個研究領(lǐng)域的古老程度令人難以置信！有一塊來自這一時期的泥板，被稱為普林普頓322，它包含了一系列的畢達(dá)哥拉斯三元組！

這塊泥板確實(shí)包含了一些錯誤，但巴比倫人能夠僅憑基本符號解決如此多的問題仍然令人贊嘆。提醒一下，畢達(dá)哥拉斯三元組是一組滿足以下方程的三個數(shù)字

一個基本的畢達(dá)哥拉斯三元組例子是(3,4,5)。這個概念來源于古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯，他將其應(yīng)用于直角三角形的邊長。巴比倫人在那之前就知道這個方程（盡管他們可能沒有將其應(yīng)用于三角形）是非常了不起的。

代數(shù)的一個重大發(fā)展是符號表示法。早期的數(shù)學(xué)家用純文字描述方程。一個方程會被描述為“某物加二等于三”。這顯然比符號表示法要繁瑣得多，但直到大約16世紀(jì)，我們今天使用的符號表示法才被充分使用，即便如此，它的普及還需要一些時間。

• 一幅驚艷的李代數(shù)（一種代數(shù)結(jié)構(gòu)）視覺圖

即使隨著向符號表示法的轉(zhuǎn)變，研究代數(shù)的數(shù)學(xué)家主要對使用它解決多項(xiàng)式問題感興趣。慢慢地，被發(fā)現(xiàn)的新結(jié)構(gòu)與多項(xiàng)式不同。19世紀(jì)見證了群、環(huán)、域和上圖所示的李代數(shù)等的早期形式化。到了20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家非常關(guān)注嚴(yán)謹(jǐn)性，并尋求將所有這些新工作應(yīng)用于廣泛統(tǒng)一框架的方法。一個新的公理系統(tǒng)出現(xiàn)了，它將所有這些不同的結(jié)構(gòu)統(tǒng)一在一個共同的符號下。這個領(lǐng)域被稱為“現(xiàn)代代數(shù)”，今天也被稱為“抽象代數(shù)”。

基礎(chǔ)知識

我已經(jīng)談了很多數(shù)學(xué)家描述并最終統(tǒng)一的這些不同的“結(jié)構(gòu)”，現(xiàn)在我們將看看這些結(jié)構(gòu)實(shí)際上是什么，以及它們之間的一些區(qū)別。遺憾的是，我無法在這里覆蓋每一種類型，因?yàn)樗鼈儗?shí)在太多了！

抽象代數(shù)中的每個結(jié)構(gòu)都被描述為一組對象和可以在集合內(nèi)對對象進(jìn)行操作以產(chǎn)生新對象的操作。根據(jù)這些集合和操作滿足的不同限制，我們最終得到了特定類型的結(jié)構(gòu)。

原群（Magma）

最基本的代數(shù)結(jié)構(gòu)被稱為原群。它有一組對象和一個單一的二元運(yùn)算。

如果運(yùn)算是二元的，這意味著它接受集合中的兩個對象作為輸入并產(chǎn)生單一輸出。

唯一的要求是這個運(yùn)算是封閉的，這意味著二元操作的輸出也是一個在集合中的對象。

• 一個原群的例子

在上面的原群M中，有一個二元操作●和三個元素a，b，c，它們通過垂直線分開。注意，有許多規(guī)定原群定義的約定，這只是其中一種，我認(rèn)為它易于閱讀。由于運(yùn)算●是二元的，我們可以定義它的一個輸出如下：

• 一個可能的二元函數(shù)

注意，要給出原群M的完整定義，我們需要定義集合中每一對元素組合的●運(yùn)算的輸出，包括b ● a。

原群并不是非常有用，因?yàn)樗鼈兲珜挿毫?，我們可以對集合中的對象和操作施加更多的限制，以?chuàng)建更多有用的結(jié)構(gòu)。

群（Groups）

在原群和群之間存在著許多復(fù)雜性不同的結(jié)構(gòu)，但群是非常常見且有用的結(jié)構(gòu)，所以我將直接跳到它們。我們像定義原群一樣定義群，有一組和一個單一的二元運(yùn)算，但有一些額外的限制。請參見下面的群定義示例。

• 一個群的例子

乍一看，這個定義看起來和上面定義的原群完全一樣。然而，區(qū)別在于對二元運(yùn)算及其對元素的作用所施加的限制。為了被認(rèn)為是一個群，必須滿足三個額外的屬性，以將這個結(jié)構(gòu)與原群區(qū)分開來。

恒等元素

必須有一個對象充當(dāng)所有其他元素的“恒等元素”。這個元素通常被標(biāo)記為e。恒等元素必須滿足以下關(guān)系，對集合中所有對象都適用：

在常規(guī)代數(shù)中，加法運(yùn)算下的恒等元素是0，乘法運(yùn)算下的恒等元素是1。

結(jié)合律

這個規(guī)則對于任何學(xué)過基礎(chǔ)代數(shù)的人來說都很熟悉。結(jié)合律基本上說的是執(zhí)行運(yùn)算的順序并不重要。它可以表達(dá)如下：

逆元素

這通常是最難滿足的限制。它要求每個元素都有一個“逆元素”，使得運(yùn)算作用于一個元素及其逆元素時，得到恒等元素。每個元素可以有一個不同的逆元素，它只需要存在。

• a和b是彼此的逆元素

這些是創(chuàng)建一個代數(shù)群必須滿足的三個屬性。每個群都是一個原群，但不是每個原群都是一個群。這是因?yàn)槿罕仍河懈嗟南拗?。在群的定義中有一些不出現(xiàn)的限制可能會讓你感到驚訝，比如交換律（這意味著對所有元素，a ● b = b ● a）。如果有這個屬性，那么群就變成了一個阿貝爾群（abelian group），它有自己的一套特殊用途。

群可以創(chuàng)建一些精彩的圖片。有許多不同的方式來可視化一個群，但請參見下面的Fr(20)的循環(huán)圖。

群論之所以重要，是因?yàn)樗x了一組對稱性。這些對稱性規(guī)則在物理學(xué)和化學(xué)中極其重要，為科學(xué)家們提供了許多有用的定理來研究。這些定理允許粒子物理學(xué)家在某些粒子被發(fā)現(xiàn)之前就預(yù)測它們的存在！群論對于密碼學(xué)也很重要，因?yàn)樗嬖V我們哪些數(shù)學(xué)運(yùn)算是“快速”解決的。

當(dāng)然，我們可以定義大量不同的結(jié)構(gòu)?？梢栽O(shè)置許多類型的不同限制。我們也可以定義多個運(yùn)算而不僅僅是一個，甚至是一個需要超過兩個輸入的操作！一些結(jié)構(gòu)也不僅僅有一個集合。

抽象代數(shù)是數(shù)學(xué)中一個龐大的領(lǐng)域。本文僅僅觸及了它的一些基礎(chǔ)知識。