量子引力被認(rèn)為是理論物理學(xué)的圣杯，是高能粒子物理學(xué)和廣義相對(duì)論的最終合并。

這兩個(gè)理論常被認(rèn)為是“不兼容”或矛盾的，但這并不完全正確。標(biāo)準(zhǔn)的量子化方法，即將經(jīng)典場(chǎng)理論轉(zhuǎn)化為量子場(chǎng)理論的過(guò)程，與廣義相對(duì)論的一般形式不兼容。但實(shí)際上，標(biāo)準(zhǔn)的量子化方法與許多理論都不兼容。事實(shí)上，大多數(shù)理論都無(wú)法量子化。所有其他基本力和物質(zhì)能夠量子化是這些理論的一個(gè)特殊特征。

然而，某些特定條件下的廣義相對(duì)論（GR）可以通過(guò)已知的量子化方法進(jìn)行量子化。這些特定條件下的廣義相對(duì)論案例被發(fā)現(xiàn)與其他已經(jīng)被成功量子化的理論存在一種“對(duì)偶”關(guān)系。在這里，“對(duì)偶”意味著兩個(gè)理論在某種意義上是等價(jià)的，即你可以通過(guò)研究其中一個(gè)理論來(lái)獲得關(guān)于另一個(gè)理論的信息和預(yù)測(cè)。

這些特殊情況的廣義相對(duì)論存在于一種稱為漸近反德西特（AdS）時(shí)空的空間中。

漸近空間指的是一個(gè)空間在遠(yuǎn)距離（即在趨向于無(wú)限遠(yuǎn)的極限）表現(xiàn)出某種特定的幾何性質(zhì)或結(jié)構(gòu)。因此一個(gè)漸近平坦空間”是指在足夠遠(yuǎn)的距離處，空間的幾何結(jié)構(gòu)趨向于平坦，無(wú)論它在較小尺度上的結(jié)構(gòu)如何復(fù)雜。

地球被描述為“漸近地是一個(gè)扁球體”。這是因?yàn)?，盡管從近距離觀察地球表面會(huì)看到山脈、海溝等復(fù)雜的地形，但如果從足夠遠(yuǎn)的距離（比如從太空）觀察，地球的整體形狀更接近一個(gè)有著中間隆起的扁球體，這個(gè)隆起是由于地球的自轉(zhuǎn)造成的赤道膨脹。在這種觀察尺度下，局部的地形變化（如山脈）相比于整個(gè)地球的形狀變得不那么重要，因此可以認(rèn)為在大尺度上地球的形狀是一個(gè)扁球體。

一個(gè)AdS空間是一個(gè)具有恒定負(fù)曲率的空間。我們也說(shuō)它是最大對(duì)稱的（maximally symmetric）。一個(gè)空間如果具有最大對(duì)稱性，意味著它的幾何結(jié)構(gòu)在任何位置看起來(lái)都是相同的，而且在任何方向上都是不變的。這種對(duì)稱性是指，不管你在AdS空間的哪個(gè)點(diǎn)，不管你朝哪個(gè)方向看，你都會(huì)觀察到相同的幾何性質(zhì)和物理規(guī)律。最大對(duì)稱性使得AdS空間成為研究對(duì)稱性原理和對(duì)稱性破缺機(jī)制的理想平臺(tái)。

負(fù)曲率空間通常被稱為鞍形，像薯片一樣。

然而，薯片并不具有恒定的負(fù)曲率。薯片的中心部分（起點(diǎn)）與邊緣相比，在幾何形態(tài)上是不同的。這意味著，如果你從薯片的不同部位觀察，會(huì)發(fā)現(xiàn)曲率是變化的，這與恒定曲率的幾何體有本質(zhì)的區(qū)別。

要理解AdS空間，我們必須更多地了解一般的雙曲幾何。俄羅斯數(shù)學(xué)家尼古拉·洛巴切夫斯基和匈牙利數(shù)學(xué)家亞諾什·波利亞在19世紀(jì)初發(fā)表了第一個(gè)非歐幾里得幾何，他們提出的幾何之一是雙曲幾何（hyperbolic geometry）。M. C. Escher對(duì)非歐幾里得幾何著迷，使用雙曲幾何繪制了他著名的鑲嵌畫(huà)：

• M. C. Escher 《極限圓IV（天堂與地獄）》，1960年。

AdS空間可以被想象成由雙曲或龐加萊圓盤(pán)堆疊成的圓柱：

龐加萊圓盤(pán)是雙曲面（一種二維表面）的一種映射。上面的紅色和白色形狀都是雙曲空間中的三角形，它們都被假設(shè)為相同的大小。之所以它們?cè)浇咏膺吘壘驮阶冃?，是一種數(shù)學(xué)上的投影技巧，很像我們?nèi)绾螌⑶蛐蔚厍蛲队暗狡矫娴貓D上，或者將天空的內(nèi)部球面投影到星圖上。上面地圖的邊緣實(shí)際上是無(wú)限遠(yuǎn)離中心的。因此，盡管外觀上不同，在這個(gè)空間中，沒(méi)有特殊的點(diǎn)或方向，很像球體。

這些雙曲面堆疊成圓柱時(shí)，形成了AdS空間。

注意，這個(gè)圓柱就像將許多地球地圖堆疊在一起，以代表不同時(shí)間點(diǎn)上的地球。用這種方式來(lái)看待，比如，大陸漂移的歷史是完全合理的，但你會(huì)看到扭曲，你將被迫，比如，選擇一個(gè)中心和坐標(biāo)系統(tǒng)，就像下面這張圖片所示：

我們關(guān)心AdS空間的原因是在其上的引力理論與其邊界上的共形場(chǎng)理論（CFTs）是對(duì)偶的。

共形場(chǎng)理論是一種特殊的理論，具有尺度不變性，而尺度不變性理論對(duì)于定義量子場(chǎng)理論至關(guān)重要。

量子場(chǎng)理論并非都是CFTs，但所有定義良好的理論，意味著我們可以使用它們進(jìn)行一般物理預(yù)測(cè)，在兩個(gè)重要的尺度上變成CFTs：

• 一個(gè)非常微小的尺度
• 和一個(gè)非常大的尺度。

這些被稱為紫外（UV）和紅外（IR）固定點(diǎn)。

這意味著所有定義良好的QFTs都是從在最小尺度上是CFT的理論開(kāi)始，那里它們是尺度不變的，一直運(yùn)行到在最大尺度上也是尺度不變的CFT。以量子色動(dòng)力學(xué)（QCD）為例，它是對(duì)組成原子核的夸克和強(qiáng)力的研究。在最小尺度上，夸克幾乎是自由的，意味著它們之間的相互作用強(qiáng)度是無(wú)限小的。它們不相互作用的理論是一個(gè)CFT，因此QCD在最小尺度上有一個(gè)固定點(diǎn)。它還有一個(gè)IR固定點(diǎn)（稱為Wilson-Fisher固定點(diǎn)），這不是非相互作用的，但是是相互作用強(qiáng)度停止改變的點(diǎn)。

因?yàn)槔碚撛谶@兩個(gè)有限點(diǎn)變得尺度不變，我們不必?fù)?dān)心在這些尺度之外會(huì)發(fā)生什么，因?yàn)殛P(guān)于理論的任何細(xì)節(jié)都無(wú)法通過(guò)這些“固定點(diǎn)”傳遞。這基本上就是固定點(diǎn)的含義。

固定點(diǎn)基本上是一個(gè)系統(tǒng)停止的地方。在量子場(chǎng)理論的情況下，這意味著耦合，粒子和場(chǎng)相互作用的強(qiáng)度，停止改變。

為了預(yù)測(cè)場(chǎng)和粒子的行為，我們需要了解在我們探測(cè)的尺度上，更大和更小尺度的行為如何影響行為。如果沒(méi)有固定點(diǎn)，那么我們將在所有尺度上有效地受到無(wú)限的影響。為了處理無(wú)限的影響，我們將不得不進(jìn)行無(wú)限的測(cè)量。

廣義相對(duì)論因沒(méi)有紫外（UV）固定點(diǎn)而出名。實(shí)際上，它確實(shí)有一個(gè)紅外（IR）固定點(diǎn)，因?yàn)镚R在大尺度下只是成為一個(gè)非相互作用的線性波理論，而非相互作用理論是尺度不變的。在最小尺度上，如普朗克長(zhǎng)度，GR只是產(chǎn)生微小的黑洞。

然而，事實(shí)證明，在AdS空間中，GR在小尺度上的表現(xiàn)要好得多。它仍然產(chǎn)生黑洞，但它們是AdS黑洞，其能量尺度的行為像CFTs。這是AdS/CFT對(duì)應(yīng)關(guān)系的一個(gè)后果。

AdS/CFT是一個(gè)通用理論，展示了AdS空間上的引力理論如何與該AdS空間邊界（上述圓柱的“墻”）上的CFTs是對(duì)偶的。

因?yàn)镃FTs是紫外（UV）固定點(diǎn)，它們本身是UV完備的，因此，與它們對(duì)偶的任何理論也是UV完備的。

這是否意味著量子引力實(shí)際上已經(jīng)被解決了？

遠(yuǎn)非如此。

問(wèn)題1

首先，據(jù)我們所知，我們不生活在一個(gè)（漸近地）AdS空間中。我們生活在一個(gè)（漸近地）deSitter（dS）空間，一個(gè)由宇宙常數(shù)給出的恒定正曲率空間。目前沒(méi)有已知的CFTs與dS空間的引力理論之間的對(duì)偶性。

問(wèn)題2

第二個(gè)問(wèn)題是，我們不知道哪個(gè)CFT實(shí)際上對(duì)應(yīng)于正確的引力理論。眾所周知，某種版本的弦理論（IIB）對(duì)應(yīng)于一個(gè)確定的CFT（一個(gè)超對(duì)稱N=4楊-米爾斯理論，我不打算深入討論）。AdS/CFT的大多數(shù)1000篇論文探索了弦理論的某些方面。

必須處理的問(wèn)題之一是，對(duì)應(yīng)關(guān)系定義了量子CFT和半經(jīng)典引力理論之間的關(guān)系。通常，你會(huì)將這讀作“離殼”和“在殼”理論之間的對(duì)應(yīng)。離殼理論是完全量子化的，擁有虛擬粒子，而在殼理論則沒(méi)有，因此必須被認(rèn)為是半經(jīng)典的。

弦理論可以解決這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)槲覀兛梢詫⒘孔覥FT與弦理論散射矩陣（S-矩陣）的特定元素相連接。S-矩陣描述了入射粒子如何相互作用（即，散射）并變成出射粒子。每個(gè)邊界狀態(tài)對(duì)應(yīng)于S-矩陣的一個(gè)元素，所以如果我們理解了所有的邊界狀態(tài)，我們就可以理解整個(gè)量子圖景。然而，與弦理論不同，GR加上粒子物理的標(biāo)準(zhǔn)模型沒(méi)有完整的量子描述，因此我們無(wú)法定義其S-矩陣。

為了構(gòu)建一個(gè)量子CFT和量子引力理論之間的關(guān)系，需要為引力理論也有一個(gè)UV完備性，這樣你才能構(gòu)建S-矩陣。由于弦理論具有這種完備性，因此主要用于此目的。為了使用CFT進(jìn)行引力預(yù)測(cè)，反之亦然，我們必須知道確切的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而不僅僅是存在對(duì)應(yīng)關(guān)系。

問(wèn)題3

第三個(gè)問(wèn)題是，AdS/CFT并沒(méi)有解釋空間和時(shí)間從何而來(lái)。它僅僅聲明在空間和時(shí)間上的引力與邊界空間和時(shí)間上的CFTs之間存在對(duì)偶性。這至少在哲學(xué)上是不令人滿意的，這促使一些人發(fā)展了替代的引力理論，如環(huán)量子引力和旋轉(zhuǎn)網(wǎng)絡(luò)。

問(wèn)題1的解決方案

我們不生活在AdS空間的第一個(gè)問(wèn)題，可以通過(guò)幾種方式解決。一些物理學(xué)家（如Andrew Strominger）正在努力將對(duì)應(yīng)關(guān)系擴(kuò)展到dS空間（到目前為止已取得一些進(jìn)展但未成功）。DeSitter空間缺乏AdS空間的某些良好屬性，我認(rèn)為，從根本上講，對(duì)應(yīng)關(guān)系將會(huì)失敗。

我認(rèn)為更好的方法是假設(shè)我們確實(shí)生活在一個(gè)五維的AdS時(shí)空中。事實(shí)上，與AdS/CFT相關(guān)的許多成功都是針對(duì)五維的AdS5?？梢詫dS5像面包一樣切成四維deSitter（dS4）切片，這將對(duì)應(yīng)于我們的四維時(shí)空與宇宙常數(shù)。這些切片將是圓柱體上面的同心環(huán)，就像一個(gè)圓柱形的洋蔥。

如果這個(gè)額外的維度對(duì)我們來(lái)說(shuō)是不可見(jiàn)的，如果它表現(xiàn)得像時(shí)間，并且我們的dS4時(shí)空可能正在遠(yuǎn)離它起始的CFT發(fā)展，我們可能不會(huì)注意到這些變化，因?yàn)槲覀兊臍v史只是在進(jìn)化，我們也隨之變化，或者因?yàn)椴煌那衅砸环N更復(fù)雜的方式結(jié)合在一起，創(chuàng)造了我們的經(jīng)典宇宙。

問(wèn)題2的解決方案

第二個(gè)問(wèn)題很難解決，因?yàn)闆](méi)有數(shù)據(jù)告訴我們真正的引力理論是什么，或者真正的CFT是什么。弦理論仍然可能是解決方案，但到目前為止還沒(méi)有證明任何關(guān)于它的東西。也有可能引力理論從根本上是半經(jīng)典的，意味著它不是一個(gè)量子理論，不需要UV完備。相反，宇宙之所以看起來(lái)是量子的，是因?yàn)闀r(shí)空在第五維度中演化。

這實(shí)際上與量子物理學(xué)的多重宇宙方法相同，但稍微有些限制。每個(gè)dS4切片是多個(gè)世界中不同可能世界的代表。（你可以稱這為量子物理學(xué)的多切片解釋。）然而，并不是每個(gè)可能的現(xiàn)實(shí)都有對(duì)應(yīng)的世界，只有那些實(shí)際上是AdS5空間的切片的才有。高度不可能的切片將不會(huì)存在。

因此，理論的UV完備是通過(guò)其與CFT的對(duì)應(yīng)關(guān)系實(shí)現(xiàn)的，這可以被認(rèn)為是dS4切片演化的初始條件。

這種方法很吸引人，但有一個(gè)缺點(diǎn)，那就是它暗示了一個(gè)經(jīng)典的AdS5空間，我們現(xiàn)在必須解釋量子力學(xué)從何而來(lái)。這個(gè)空間上的理論是如何實(shí)際量子化的？我不是指我們?nèi)绾卧跀?shù)學(xué)上做到這一點(diǎn)。我的意思是，如果我們生活在一個(gè)半經(jīng)典的時(shí)空中，為什么我們必須在我們的理論中發(fā)明像虛擬粒子、波粒二象性和量子漲落這樣的概念？

我偏愛(ài)的一個(gè)選項(xiàng)是，AdS5空間實(shí)際上包含一個(gè)傳播波，而不是一組經(jīng)典演化的切片。在每個(gè)切片中，波仍然是半經(jīng)典的，但是，如果你將所有切片上的所有波加總起來(lái)，會(huì)得到一個(gè)完整的薛定諤型波函數(shù)。這樣的波自然包含虛擬粒子、漲落和波粒二象性。經(jīng)典現(xiàn)實(shí)，我們所知的現(xiàn)實(shí)，只有當(dāng)許多略有不同的波通過(guò)所謂的構(gòu)造性干涉過(guò)程一起凝聚時(shí)，才會(huì)顯現(xiàn)出來(lái)。這種構(gòu)造性干涉仍然可以產(chǎn)生多個(gè)世界，但在經(jīng)典層面上，它們會(huì)因?yàn)槠茐男愿缮娑舜擞行Ц綦x，而不是彼此演化。

不過(guò)，為了定義波，你必須在一個(gè)AdS5時(shí)空上定義它，包括必須定義引力場(chǎng)為一個(gè)最簡(jiǎn)單的，自旋為2的引力子場(chǎng)在該時(shí)空中傳播，這有點(diǎn)不雅觀。

問(wèn)題3的解決方案

這引出了第三個(gè)問(wèn)題：那個(gè)時(shí)空從何而來(lái)？

乍看之下，這是對(duì)弦理論的一種常見(jiàn)批評(píng)，似乎我們?cè)噲D通過(guò)提出引力在背景時(shí)空中運(yùn)作來(lái)破壞愛(ài)因斯坦的美麗理論。然而，事實(shí)證明，AdS/CFT并不要求這樣做。

相反，我們可以將AdS/CFT顛倒過(guò)來(lái)說(shuō)，根本沒(méi)有AdS空間，而只是對(duì)量子理論的定義，可以被解釋為在AdS空間上。然而，量子理論本身代表時(shí)空，而不是定義在其上。

為了讓一個(gè)理論有一個(gè)背景時(shí)空，我們必須獨(dú)立于理論固定那個(gè)時(shí)空。我們必須選擇它并固定它。但在這里沒(méi)有這樣做，根本沒(méi)有固定時(shí)空。

相反，有一個(gè)波，我們用它來(lái)定義引力和時(shí)空。那個(gè)波是在時(shí)空切片上的一個(gè)函數(shù)，但我們不知道那些切片是什么！我們不能像在固定背景理論中那樣固定它們。另一方面，我們有一個(gè)波在AdS空間上的假設(shè)，僅僅是反映了波在切片縮放下的行為方式。這是AdS時(shí)空表示的美妙之處，也是它有效的原因。第五維度僅僅是縮放維度，CFT所在的邊界對(duì)應(yīng)于無(wú)限縮放。因此，量子引力波函數(shù)是真實(shí)的，而AdS僅僅是表示波在縮放下行為方式的一種方式。實(shí)際上，根本沒(méi)有背景時(shí)空。

結(jié)論

這些問(wèn)題遠(yuǎn)非解決量子引力完整理論需要解決的唯一問(wèn)題。盡管重點(diǎn)關(guān)注弦理論，AdS/CFT對(duì)應(yīng)關(guān)系也可以應(yīng)用于更一般的量子引力理論，正如我們所見(jiàn)。通過(guò)這樣做，我們可能不僅能深入了解引力，還能了解量子理論本身的起源。