微積分是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是一切其它自然科學(xué)的基礎(chǔ)科學(xué)。微積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)中以函數(shù)為研究對象，并采用極限作為分析方法來研究函數(shù)的微分、積分以及相關(guān)理論和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支，微積分學(xué)由微分學(xué)和積分學(xué)組成。
微積分的發(fā)現(xiàn)者：左為萊布尼茨，德國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家；右為牛頓，英國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、哲學(xué)家。
微積分思想的起源可以追溯到古希臘時期和中國戰(zhàn)國時期，如古希臘“窮竭法”和中國“割圓術(shù)”（割圓術(shù)的方法，詳見本文置頂?shù)脑u論）。17世紀(jì)，牛頓和萊布尼茨分別獨(dú)立創(chuàng)建了微分和積分，經(jīng)過數(shù)學(xué)家們的不懈努力，微積分最終發(fā)展成為一門邏輯嚴(yán)密完善的學(xué)科。
無限小的dx和dy就是微分
微分的教科書定義是，某個變化量的無窮小變化。在微積分學(xué)中，微分表示函數(shù)線性化的變化，微分的定義可描述為：當(dāng)函數(shù)自變量只有一個，且在某點的一個鄰域內(nèi)有定義時，自變量有一個無窮小增量Δx，則稱dy為函數(shù)在該點處的一元型微分。
將微分概念換成我們可以理解的語言，就是上面的函數(shù)曲線y=f(x)中，將變量x和y無限細(xì)分，變量x每增加一小份記作dx，此時dy的變化量就是對dx的微分，上述d就是微分符號，后面分別跟著變量x和y。
我們不僅可以對曲線y=(x)長度求積分，還可以對陰影部分面積求積分，都是求和的過程
積分的教科書定義是“區(qū)間內(nèi)的累計變化量”，即用一個數(shù)值來表示一個變量在某一區(qū)間內(nèi)的累積變化量。在數(shù)學(xué)上，積分可以用于求解曲線下面的面積、定積分可以計算函數(shù)在一定區(qū)間內(nèi)的平均值以及反常積分則可以處理無限區(qū)間的值。
還是把上述官方用語翻譯成我們能夠理解的描述，如果我們想求得上面曲線y=f(x)的在（a，b）區(qū)間內(nèi)長度，我先將曲線微分，就是分成無數(shù)小段的直線，每一段記作dx，然后將無數(shù)個小段累加求和，就得到曲線長度：
L=∫dx； x∈{a,b}
這個過程就是積分，其中∫就是積分運(yùn)算符號。
同理，上圖中曲線y=f(x)和x軸形成的陰影部分，沿x和y軸包含了無數(shù)個細(xì)化的微分圖形，就像將陰影部分沿著y軸方向切成無數(shù)條矩形形狀的細(xì)片。我們將這些細(xì)片累加求和，得到陰影部分的面積，這個過程也是一個積分，那么陰影部分的面積S為：
S=∫dydx=∫df(x)dx
從上可見，微分是細(xì)化函數(shù)或圖形，積分就是對微分的求和，二者是可以互相逆運(yùn)算的。比如x2的微分（準(zhǔn)確的說叫求導(dǎo)）結(jié)果為2x，那么反過來2x的積分結(jié)果為x2 。微積分的計算公式很多，這里就不一一列舉了。
下面以圓和圓球，舉四個實例來描述微積分的運(yùn)用。
1-圓的周長公式
把圓分成無數(shù)個小的三角形是微分，對小三角形的短邊微分求和就是積分，就能計算出圓的周長
在二維幾何平面上，對于以原點為圓心，如圓C半徑為R，在笛卡爾坐標(biāo)下，整圓角度2π（注意，π在這里是弧度，換算成角度就是180度）。
我們將整圓分成n份，每一份接近一個三角形，其頂角弧度為θ ，當(dāng)n足夠大時，或者說n趨近于無窮大時，θ足夠小趨近于零，此時：
sin(θ/2)=θ （式1）
那么每個小三角形靠近圓弧的短邊長度，記作da。
根據(jù)式1可得：
da=dRsin(θ/2)=dRθ
那么計算圓周長C的積分，即無數(shù)個短圓弧累加求和：
于是C=∫dθ =∫Rdθ；
其中θ∈{-π,π}
C=∫Rdθ=[π-(-π)]R=2πR
這就是我們熟悉的圓周長公式：C=2πR
2-圓的面積公式
先微分將圓分成無數(shù)個小三角形，然后積分將這些小三角形面積想加，就能得到圓的面積
還是和上面求周長一樣的圖形，圓C的內(nèi)部圓盤為：
S = {(x, y) | x2 + y2 ≤ R2 }
在平面極坐標(biāo)下，圓盤S可以被分割為無數(shù)的 “小扇形 ”，每個小扇形的面積近似等以弧長 da= Rdθ為底，以半徑R為高的三角形面積，則根據(jù)三角形公式：
ds =1/2Rda=1/2R*Rdθ
=(R2/2)dθ
這些ds全部加起來，就是對ds積分的過程，于是整圓面積S：
S=∫ds=∫(R2/2)dθ；
其中θ∈{-π,π}
S=∫(R2/2)*Rdθ
=[π-(-π)]R2/2= πR2
這個結(jié)果就是全部小扇形的面積之和，即整圓S的面積公式：
S = πR2
3-球的表面積公式
先微分，通過相似三角形求得QP長度；然后QP旋轉(zhuǎn)一圈求出其表面積；對該表面積積分，就能得到球的表面積
O點為球體中心，過中心O的半徑上點R做一直角三角形⊿QPR，同時半徑交與⊿QPR交于點A，點A在x軸的垂足在點B。
由于⊿AOB和⊿QPR的三條邊互相平行或垂直，根據(jù)相似三角形的原理我們可以得出結(jié)論，⊿AOB∽⊿QPR，即二者為相似三角形。
令直線QP=ds，當(dāng)QP這個微元很小時，可以認(rèn)為直線QP的長度等于點Q、P之間的圓弧長度，直線OA等于球的半徑r。
根據(jù)上面相似三角形性質(zhì)，可得：
AB/OA=PR/QP （式2）
令A(yù)B=y，PR=x,
又因OA=r，QP=ds，故式2可以寫作：
yds=rdx (式3)
微元繞x軸旋轉(zhuǎn)ds，掃出的形狀可以認(rèn)為是一個圓柱體，其側(cè)面積為ds=2πyds
對該微元球積分，即無數(shù)個微元累加求和，同時根據(jù)式3，所以球體表面積的積分為：
S=∫2πyds=∫2πrdx；
其中x∈{-r,r}
于是可得：
S=2πr[r-(-r)]=4πr2
最終得到半徑為R的圓球的表面積公式為：
S = 4πR2
4-球的體積公式
先微分，將球切成無數(shù)個片；再求出每一片的體積；最后將全部片體積相加，就是球的體積
已知球體半徑R，將球就像切西瓜一樣切成一片一片的薄片，設(shè)距離球心距離z處的取一個厚度為dz的圓盤，dz足夠小時可將該圓盤認(rèn)為是一個圓柱體，它的半徑：
Rg=sqrt(R2-z2) (式4)
sqrt為平方根符號
根據(jù)圓盤（圓柱體）公式，其體積為：
dv=πRg2dz
代入式4：
dv=π(R2-z2)dz (式5)
累加式5，將無數(shù)個圓盤累加求和，就是計算積分，球的體積：
V=∫dv=∫π(R2-z2)dz；
其中z∈{-R,R}
于是：
V=πR2[R-(-R)]-π/3[R^3-(-R)^3]
=4/3πR^3
注：R^3表示R的3次方
最終我們得到半徑為R的圓球體積公式為：
V=4/3πR^3
從以上四個實例中還可得出，圓的面積πR2的求導(dǎo)(類似于微分)結(jié)果就是其周長2πR；同樣，對球的體積4/3πR^3的求導(dǎo)結(jié)果就是其表面積4πR2。
因此，微分在幾何空間上的意義近似于降維，積分類似于升維：線連成面、面組合成三維即升維；反之就是降維。
不僅理工科必須要學(xué)習(xí)微積分，文科也要需要應(yīng)用微積分，比如經(jīng)濟(jì)學(xué)和統(tǒng)計學(xué)
其實微積分在設(shè)計和工程中的實際運(yùn)用，比上述實例要復(fù)雜的多，這些留給不同專業(yè)的技術(shù)人員去考慮，我們只要知道微積分的原理就足夠了。微積分的在各專業(yè)領(lǐng)域應(yīng)用非常廣泛，它在天文學(xué)、力學(xué)、數(shù)學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、醫(yī)學(xué)、以及社會科學(xué)等各個領(lǐng)域都發(fā)揮重要作用。
對于微積分我們可以打兩個比方：微分就像是經(jīng)過流水和風(fēng)化侵蝕的作用，一塊巨石可以變成無數(shù)極細(xì)小的沙粒；積分就是經(jīng)過地質(zhì)運(yùn)動和造山運(yùn)動，無數(shù)塊巨石可以磊成一座珠峰。
加烏拉山口有世界上唯一可以觀賞5座8000米級雪峰的觀景平臺，遠(yuǎn)處最高的就是珠峰
我們通過對微積分基礎(chǔ)知識的簡單了解，即使工作和生活不運(yùn)用它，但是至少對個人的邏輯思維能力，也是一種提高。
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