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前言：這次不寫物理，換成數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)和物理雖同屬于邏輯思維，但是數(shù)學(xué)更加抽象，包括筆者在內(nèi)的多數(shù)物理愛好者最怵的的就是數(shù)學(xué)，尤其是微積分，這大概就是網(wǎng)上“偽民科”一詞的由來。

數(shù)學(xué)中的幾何包括三大類：歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何，其中羅氏幾何和黎曼幾何統(tǒng)稱為非歐幾何。

歐氏幾何就是歐幾里得幾何，是我們中學(xué)階段學(xué)習(xí)的知識(shí)，用我們最熟悉三維空間和四維時(shí)空即可表示。

歐幾里得（公元前330～公元前275），古希臘偉大的數(shù)學(xué)家

我們首先回憶一下歐氏幾何的五大公理是：

1. 任意兩個(gè)點(diǎn)可以通過一條直線連接；

2. 任意線段能無限延伸成一條直線；

3. 給定任意線段，可以以其一個(gè)端點(diǎn)作為圓心，該線段作為半徑作一個(gè)圓；

4. 所有直角都相等；

歐氏幾何第五公理

5. 若兩條直線都與第三條直線相交，并且在同一邊的內(nèi)角之和小于兩個(gè)直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。

歐幾里得的《幾何原本》，沿用了兩千年的巨著

這些公理是歐幾里得在《幾何原本》中提出的，并以此為基礎(chǔ)構(gòu)建了幾何學(xué)體系?！稁缀卧尽饭卜譃?3卷，內(nèi)容涉及平面幾何和立體幾何的各個(gè)方面，包括內(nèi)容：點(diǎn)、線、面、角度等基本概念和關(guān)系；圓的定義、切線、割線、弦、內(nèi)接和外接等概念及其性質(zhì)；相似三角形和多邊形的性質(zhì)；等差數(shù)列和等比數(shù)列；一次方程和二次方程的求解；球、圓柱、圓錐等立體圖形的表面積和體積的求解以及分割……這些知識(shí)我們?cè)诔踔泻透咧卸紝W(xué)習(xí)過，內(nèi)容包羅萬象，此處無法一一詳細(xì)介紹。

《幾何原本》作為歷史上最偉大的幾何學(xué)著作，一直沿用至今，對(duì)我們產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。后來在此基礎(chǔ)上發(fā)展了四種坐標(biāo)系：

笛卡爾坐標(biāo)系

1-直角坐標(biāo)系，即笛卡爾坐標(biāo)系：在同一個(gè)平面上互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，通過X和Y坐標(biāo)值即可確定一個(gè)點(diǎn)的位置，也可以用X、Y、Z軸組成空間坐標(biāo)系。

極坐標(biāo)系

2-平面極坐標(biāo)系：極坐標(biāo)，是用于平面中定位點(diǎn)的系統(tǒng)，它以一個(gè)固定點(diǎn)O（原點(diǎn)）和一條從原點(diǎn)發(fā)出的射線（通常是正x軸）作為參考。坐標(biāo)用（r，θ）表示，其中r是原點(diǎn)到任意點(diǎn)P的距離，θ是線段OP與軸線之間的夾角。笛卡爾坐標(biāo)（x，y）和極坐標(biāo)（r，θ）之間存在一個(gè)簡(jiǎn)單的關(guān)系，即：

x=rcosθ和y=rsinθ。

圓柱坐標(biāo)系

3-圓柱坐標(biāo)系：圓柱坐標(biāo)系是一種三維坐標(biāo)系統(tǒng)。它是二維極坐標(biāo)系往 z-軸的延伸。添加的第三個(gè)坐標(biāo)專門用來表示 P 點(diǎn)離 xy-平面的高低。徑向距離、方位角、高度，分別標(biāo)記為ρ，φ，z。

球坐標(biāo)系

4-球坐標(biāo)系：球面坐標(biāo)系是表示三維空間中某一點(diǎn)的另一種方式。它也要求三個(gè)數(shù)值，其中兩個(gè)是角度，第三個(gè)是距離。與笛卡爾坐標(biāo)系換算關(guān)系為X=rsinφcosθ，

Y=rsinφsinθ，Z=rcosφ。

希爾伯特（1862～1943），德國(guó)數(shù)學(xué)大師，被稱為數(shù)學(xué)界的“無冕之王”

從上可以看出，極坐標(biāo)、圓柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)都是可以轉(zhuǎn)化為笛卡爾坐標(biāo)的，多個(gè)維度坐標(biāo)可以構(gòu)成空間。而數(shù)學(xué)空間可以被擴(kuò)展來應(yīng)用于任何有限維度，而這種空間叫做n維歐幾里德空間（可以簡(jiǎn)稱n維空間）或有限維實(shí)內(nèi)積空間，或稱為希爾伯特空間。

羅巴切夫斯基（1792～1856），俄羅斯數(shù)學(xué)大師

羅氏幾何就是羅巴切夫斯基幾何，也稱雙曲幾何，是一種獨(dú)立于歐氏幾何的公理系統(tǒng)，雙曲面立體圖形類似馬鞍的形狀。

羅氏幾何的空間曲面是雙曲面，像馬鞍形

雙曲面的方程通常采用下列形式：

Ax2 + By2 - Cz2 = D

其中，A、B、C、D是常數(shù)。當(dāng)A、B、C中至少有兩個(gè)正號(hào)時(shí)，該方程描述的曲面是一類雙曲面。如果A、B、C中都是正號(hào)，稱為雙葉雙曲面；如果A、B、C中只有一個(gè)正號(hào)，稱為單葉雙曲面；如果A、B、C中全是負(fù)號(hào)，稱為超雙曲面。雙曲面具有一些獨(dú)特的性質(zhì)，如其具有兩個(gè)相互獨(dú)立的拱形。

標(biāo)準(zhǔn)雙曲線，兩條漸進(jìn)直線構(gòu)成光錐

如果將雙曲面投影到XY平面，則得到我們中學(xué)時(shí)學(xué)過的標(biāo)準(zhǔn)雙曲線：

x2/a2 - y2/b2= 1 (a＞0，b＞0)

黎曼（1826～1866），德國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家

黎曼幾何是非歐幾何的一種，亦稱“橢圓幾何”，黎曼幾何的模型是一個(gè)經(jīng)過適當(dāng)“改進(jìn)”的球面，黎曼空間本質(zhì)上是彎曲的。

黎曼幾何的空間曲面是橢圓球面

黎曼幾何發(fā)展了空間的概念，黎曼提出了n維流形概念，他認(rèn)為幾何學(xué)中的研究對(duì)象為“多重廣延量”，空間中的點(diǎn)可以用n個(gè)實(shí)數(shù)（x1, x2, …, xn）作為坐標(biāo)進(jìn)行表示。黎曼幾何是一種研究曲線、曲面與曲率的幾何學(xué)。在黎曼幾何中，最重要的是曲率的計(jì)算。曲率是描述曲線、曲面的彎曲程度的量。在二維曲面上，曲率可以通過計(jì)算曲線的切向量和法向量之間的夾角來得到。對(duì)于一個(gè)給定的曲線，其曲率可以通過以下公式計(jì)算：

K(s) = |dT/ds| / |ds/ds|

其中，K(s)表示曲線在參數(shù)s處的曲率，dT/ds表示曲線的切向量沿s方向的導(dǎo)數(shù)，ds/ds表示曲線的弧長(zhǎng)在s方向的導(dǎo)數(shù)。

黎曼幾何中點(diǎn)x的曲率向量u和切面TxM

對(duì)于三維曲面，曲率的計(jì)算可以通過計(jì)算曲面上兩個(gè)相互垂直的方向上的曲率來得到曲面的曲率。具體而言，曲面的主曲率可以通過以下公式計(jì)算：

k1 = (E * G - F^2) / (E + G ± √((E - G)^2 + 4F^2))

k2 = (E * G - F^2) / (E + G ? √((E - G)^2 + 4F^2))

其中，E、F、G分別是曲面的第一、第二、第三基本形式的系數(shù)。k1和k2分別表示曲面的兩個(gè)主曲率。

黎曼度規(guī)張量計(jì)算公式：

g_μν = ?x^α/?x^μ * ?x^β/?x^ν * g_αβ

克氏符號(hào)計(jì)算公式：

Γ_μν^α = (1/2) * g^αβ * ( ?g_βν/?x^μ + ?g_βμ/?x^ν - ?g_μν/?x^β )

黎曼曲率張量計(jì)算公式：

R_μνλ^α = ?Γ_μν^α/?x^λ - ?Γ_μλ^α/?x^ν + Γ_ρν^α * Γ_μλ^ρ - Γ_ρλ^α * Γ_μν^ρ

這些公式用于計(jì)算黎曼幾何中的度量張量、克氏符號(hào)和曲率張量，以研究曲面的內(nèi)稟幾何性質(zhì)和曲率。這些公式是黎曼幾何的基礎(chǔ)，用于描述非歐幾何空間和廣義相對(duì)論中的時(shí)空彎曲。

歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何我們已經(jīng)做了初步的介紹，下面我們將介紹三種幾何學(xué)的區(qū)別：

三種幾何的曲率對(duì)比

1-歐氏幾何是曲率恒等于零的平面幾何，羅氏幾何是曲率為負(fù)常數(shù)的曲面幾何，黎曼幾何是曲率為正常數(shù)的曲面幾何。圖中可以看出以上三種幾何空間分別為平面、凹面、凸面。

黎曼曲率等于1、-1和0的空間分別是黎曼球空間、羅巴切夫斯基空間和歐氏空間，歐氏空間可看作黎曼空間的特例。

2-過直線外一點(diǎn)，可以做幾條直線與該直線平行？歐氏幾何認(rèn)為是一條，羅氏幾何認(rèn)為是至少兩條甚至無數(shù)條，黎曼幾何認(rèn)為是沒有。

歐式幾何第五公設(shè)認(rèn)為，過直線外一點(diǎn)做一條直線，有且只有一條直線與該直線平行，這是我們認(rèn)知范圍之內(nèi)的。

羅氏幾何認(rèn)為直線外一點(diǎn)，有無數(shù)條直線與已知直線平行

羅氏幾何認(rèn)為可以做無數(shù)條直線與已知直線平行，羅氏平面幾何的平行直線和歐氏平面幾何的平行直線的定義是不相同的，在羅氏平面幾何中，所謂已知直線的平行直線，只是與已知直線不相交的所有直線中的特殊直線。在羅氏平面上，若AP∥BC ，則稱直線AP沿 BC方向(或AP 方向)平行于直線BC，記為AP∥BC于方向BC (或AP )。當(dāng)方向一致時(shí)，直線間的平行具有對(duì)稱性和傳遞性。在羅氏平面上，過直線CC′外一點(diǎn)A，有且只有兩條直線AP和AQ分別于不同的方向平行于CC′，在羅氏平面上，任何兩對(duì)平行線可以互相疊合，且二平行線在平行方向上無限接近，而在反方向無限遠(yuǎn)離。

黎曼幾何認(rèn)為直線外一點(diǎn)做的任何直線，都會(huì)與已知直線相交，就是否認(rèn)平行線存在

黎曼球面幾何平行公理認(rèn)為，過直線（大圓即“直線”）外一點(diǎn)，沒有平行線。地球上的經(jīng)線是球面上的直線，而任意兩條經(jīng)線按照定義都是平行直線，但是這些平行直線都是相交的，它們?cè)谀媳眱蓸O相交。你在球面上是做不出不相交的平行線的。

三角形內(nèi)角和：黎曼幾何認(rèn)為大于180度，歐氏幾何認(rèn)為等于180度，羅氏幾何認(rèn)為小于180度

3-三種幾何的三角形內(nèi)角和不同。黎曼幾何歐氏幾何是把認(rèn)識(shí)停留在平面上了，所研究的范圍是絕對(duì)的平的問題，認(rèn)為人生活在一個(gè)絕對(duì)平的世界里。因此在平面里畫出的三角形三條邊都是直的，兩點(diǎn)之間的距離也是直的。

但是假如我們生活的空間是一個(gè)雙曲面，我們可以把雙曲面它想象成一口平滑的鍋或太陽(yáng)罩，我們就在這個(gè)雙曲面里畫三角形，這個(gè)三角形的三邊的任何點(diǎn)都絕對(duì)不能離開雙曲面，我們將發(fā)現(xiàn)這個(gè)三角形的三邊無論怎么畫都不會(huì)超出180度，但是當(dāng)把這個(gè)雙曲面漸漸展開時(shí)，一直舒展成絕對(duì)平的面，這時(shí)羅氏三角形就變成了歐氏三角形，也就是我們?cè)诔踔袑W(xué)的平面幾何，其內(nèi)角和自然是180度。在平面上，兩點(diǎn)間的最短距離是線段，但是在雙曲面上，兩點(diǎn)間的最短距離則是曲線，因?yàn)槠矫嫔系淖疃叹嚯x在平面上，那么曲面上的最短距離也只能在曲面上，而不能跑到曲面外抻直，故這個(gè)最短距離只能是曲線。

若我們把雙曲面舒展成平面以后，再繼續(xù)朝平面的另一個(gè)方向變，則變成了橢圓面或圓面，這個(gè)時(shí)候，如果我們?cè)谶@個(gè)橢圓面上畫三角形，將發(fā)現(xiàn)，無論怎么畫，這個(gè)三角形的內(nèi)角和都大于180度，兩點(diǎn)間的最短距離依然是曲線，這個(gè)幾何就是黎曼幾何。

三種幾何求兩點(diǎn)間的距離，圖中一個(gè)個(gè)無限小的網(wǎng)格代表著微分

4-對(duì)于空間上兩點(diǎn)之間的距離定義不同，只有歐氏幾何計(jì)算的是最短直線距離。在歐幾里得幾何中，曲面上兩個(gè)相鄰點(diǎn)之間的距離，由以下形式公式得其距離為ds2=Adx2+Bdxdy+Cdy2

其中A、B和C取決于x和y，可以根據(jù)A、B和C本質(zhì)上確定一點(diǎn)的曲率。

羅氏幾何計(jì)算兩點(diǎn)間的距離是雙曲表面上的曲線距離：

u、v、vˉ是雙曲面空間中的點(diǎn)

黎曼幾何計(jì)算兩點(diǎn)間的距離是偽球表面的曲線距離：

式中系數(shù)g ij (x ) 是對(duì)稱協(xié)變張量場(chǎng)（度規(guī)張量）的分量，dx和idxj為曲率二階張量

5-這三種幾何的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)原理不相同。黎曼幾何作為非歐幾何的一種, 它與羅氏幾何相比, 有著實(shí)質(zhì)性的不同。羅氏幾何主要工作是建立了一整套區(qū)別于歐幾里得的《幾何原本》的邏輯體系; 而黎曼幾何的核心問題是以微分幾何為基礎(chǔ), 建立曲線坐標(biāo)系中的微分方法。

羅氏幾何與歐氏幾何理論上存在根本的差別

羅氏幾何學(xué)的公理系統(tǒng)區(qū)別于歐式幾何學(xué)之處, 僅僅是把歐式幾何平行公理改為: 從直線外一點(diǎn), 至少可以做兩條直線和這條直線平行。

黎曼幾何與羅氏幾何的平行公理相反: 過直線外一點(diǎn), 不能做直線和已知直線平行。也就是說, 黎曼幾何規(guī)定: 在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共點(diǎn), 黎曼幾何學(xué)不承認(rèn)存在平行線。很自然就有另一條公設(shè): 直線可以無限延長(zhǎng), 但長(zhǎng)度是有限的, 這可以類比為一個(gè)球面。

黎曼幾何是非歐幾何的一種，亦稱“橢圓幾何”。黎曼幾何的模型是一個(gè)經(jīng)過適當(dāng)“改進(jìn)”的球面。黎曼幾何對(duì)曲率沒有限制，包括了各種曲率可變的空間。黎曼幾何中給定黎曼度量，就可以討論“測(cè)地線”，大意是球形上連接兩點(diǎn)的最短的曲線。

三種幾何中黎曼球體幾何最為復(fù)雜，是以微分和張量為基礎(chǔ)建立的

對(duì)歐式幾何來說，兩點(diǎn)間直線段最短，因此測(cè)地線就是直線。

對(duì)球面幾何來說，兩點(diǎn)間的最短曲線是大圓的弧, 因此測(cè)地線是大圓（即所在平面過球心的圓）。所以在球面幾何中，緯線并不是“直線”。任意兩個(gè)大圓都會(huì)相交于一對(duì)對(duì)徑點(diǎn)，因此不存在平行線。球面幾何其實(shí)不成立“兩點(diǎn)決定一條直線”的定理，所以球面幾何其實(shí)并不是橢圓幾何，不過在進(jìn)行某種技術(shù)處理之后可以使其成立。黎曼幾何中的測(cè)地線的每個(gè)“小段”都是連接兩點(diǎn)的最短線?？梢詤⒖?xì)W式幾何（其實(shí)也是黎曼幾何的特例）中的直線。當(dāng)然直線不僅“小段”是最短的，而且是其上任意兩點(diǎn)間的最短線。在球面幾何中，大圓的劣弧是最短線，優(yōu)弧不是，所以要加上“小段”的限制。

6-三種幾何在應(yīng)用科學(xué)中的應(yīng)用范圍是不同的。

歐氏幾何適應(yīng)范圍最為廣泛，我們也最為熟悉

在我們這個(gè)不大不小、不遠(yuǎn)不近的空間里，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的。比如牛頓經(jīng)典力學(xué)三大公式、薛定諤方程、麥克斯韋方程組、狹義相對(duì)論、弦理論等，都是用歐式幾何空間來建立數(shù)學(xué)模型的，這也是我們最常用和最熟悉的。

羅氏幾何可以用于描述宇宙中的量子世界

量子力學(xué)中，羅巴切夫斯基的雙曲幾何學(xué)模型可以用于描述粒子在雙曲線空間中的運(yùn)動(dòng)。具體來說，量子力學(xué)中的自旋空間可以被看作是一個(gè)雙曲線空間，而波函數(shù)則是這個(gè)空間中的向量。根據(jù)羅巴切夫斯基的模型，這個(gè)自旋空間可以被看作是一個(gè)雙曲線空間。在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實(shí)際，比如量子力學(xué)的迪拉克方程、量子電動(dòng)力學(xué)、量子統(tǒng)一場(chǎng)論等，都是以羅氏幾何來建立數(shù)學(xué)模型的。除此之外，機(jī)器人學(xué)、圖形設(shè)計(jì)、芯片制造等行業(yè)也要用到羅氏幾何。

黎曼幾何可以用于描述宇宙時(shí)空和天體的運(yùn)動(dòng)

在地球表面研究航海、航空航天、宇宙研究等實(shí)際問題中，黎曼幾何更準(zhǔn)確一些。黎曼幾何在物理上非常有用，因?yàn)楣庠诳臻g上就是沿著曲線跑的，并非是直線，我們生活在地球上，因此我們的空間也是曲面，而不是平面，但為了生活方便，都不做嚴(yán)格規(guī)定，都近似地當(dāng)成了平面。

黎曼統(tǒng)一了黎氏幾何，羅氏幾何，歐氏幾何，并且預(yù)見物質(zhì)的存在可能造成空間的彎曲，為愛因斯坦的廣義相對(duì)論準(zhǔn)備了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。廣義相對(duì)論認(rèn)為，地球并不是受引力牽引而保持慣性運(yùn)動(dòng)，而是由于太陽(yáng)的質(zhì)量使空間彎曲，地球的彎曲軌道根本就是慣性運(yùn)動(dòng)軌道，是彎曲時(shí)空中的短程線（相當(dāng)于平直時(shí)空的直線），彎曲的空間就是把最短線定義為直線。那么我們可以說，廣義相對(duì)論、黑洞理論、蟲洞理論、宇宙大爆炸理論等，都是以黎曼幾何來建立數(shù)學(xué)模型的。

三種幾何模型從左至右分別是羅氏、歐氏、黎曼

以上就是歐式、羅氏、黎曼幾何的全部區(qū)別。簡(jiǎn)單的說就是，歐式幾何表示的是平直時(shí)空，羅氏幾何和黎曼幾何表示的是曲面即彎曲的時(shí)空（有的文獻(xiàn)稱之為流體面），歐氏幾何是羅氏幾何和黎曼幾何的特定條件下的近似空間。歐式幾何可用于我們身邊的宏觀事物及運(yùn)動(dòng)，羅氏幾何多用于微觀量子世界，黎曼幾何多用于宇宙中的大質(zhì)量天體。

左為德國(guó)數(shù)學(xué)家—閔可夫斯基，愛因斯坦大學(xué)時(shí)的老師。右為德國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家—高斯。

至于高斯坐標(biāo)系和閔可夫斯基坐標(biāo)系，可以分別認(rèn)為是黎曼幾何和歐氏幾何的延伸和過渡理論，本文將不再單獨(dú)將其列出。說句題外話，本文只列舉了六位數(shù)學(xué)家，居然有四位是德國(guó)人，我們不得不承認(rèn)，德意志民族是一個(gè)優(yōu)秀的民族。

本文是數(shù)學(xué)文章，之所以以其物理應(yīng)用的內(nèi)容來結(jié)尾，原因很簡(jiǎn)單，數(shù)學(xué)作為一種最重要的工具，是來為其它自然學(xué)科服務(wù)的，沒有實(shí)際應(yīng)用意義的數(shù)學(xué)理論是不完美的，或者說是沒有意義的。

后記：我有時(shí)在想一個(gè)問題，數(shù)學(xué)和物理是相通的，那么它們是否和藝術(shù)也是相通的呢？老愛在相對(duì)論中描述天體彎曲了時(shí)空，梵高在作品中用畫筆扭曲了星空，雖然一個(gè)是論述宇宙自然，一個(gè)是表達(dá)人的內(nèi)心世界，但是二者可能是相通的。心有多大，宇宙即有多大？還是宇宙本來就在我們的心中？