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菲爾茲獎(jiǎng)、日本學(xué)士院獎(jiǎng)、日本政府文化勛章得主，日本數(shù)學(xué)大家——廣中平祐講述獨(dú)特的“可變思考”法，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)家理解“復(fù)雜”與“變化”的巧妙視角。
創(chuàng)造與靈感的心血力作，用數(shù)學(xué)探索創(chuàng)造性思維的本質(zhì)與根源。
本書(shū)為日本數(shù)學(xué)家、菲爾茲獎(jiǎng)得主廣中平祐的思想文集。書(shū)中以“創(chuàng)造性思維”為線索，講述了作者在數(shù)學(xué)研究中總結(jié)出的思考模式——“可變思考”，并在問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)、提出、整理、轉(zhuǎn)換等方面作了具體闡述，讓讀者了解數(shù)學(xué)家獨(dú)特的多維度思考方法。
同時(shí)，本書(shū)還對(duì)日本數(shù)學(xué)教育中的問(wèn)題作了分析，提出了學(xué)校教育、親子教育中培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的原則與方法。本書(shū)是廣中平祐先生對(duì)自己研究方法的系統(tǒng)性總結(jié)，是了解其思想以及日本數(shù)學(xué)研究方法的珍貴資料。

來(lái)源 | 《可變思考：數(shù)學(xué)與創(chuàng)造性思維》

作者 | [日]廣中平祐

譯者 | 佟凡

01“表現(xiàn)”抽象化的事物，讓他人“理解”

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，過(guò)于抽象的概念同樣很難理解，就算邏輯上是正確的也無(wú)法理解。這時(shí)，只有通過(guò)具體問(wèn)題表現(xiàn)出來(lái)，才能真正讓他人理解。

比如我已經(jīng)在上文中介紹過(guò)數(shù)學(xué)領(lǐng)域有“群論”這個(gè)分支。從“群”這一元素的集合中選出元素，考察它們之間存在怎樣的關(guān)系，能夠如何組合，這便是“結(jié)構(gòu)”。但是這種抽象的定義很難理解。

那么讓我們嘗試將抽象群用選擇出來(lái)的具體空間運(yùn)動(dòng)來(lái)表現(xiàn)，比如平面旋轉(zhuǎn)。這時(shí)，抽象群就成了通過(guò)選擇得到的具體運(yùn)動(dòng)群，得到了具體的表現(xiàn)。

數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)是指將一個(gè)概念用具體清晰的情況重新表達(dá)?？梢哉f(shuō)我們數(shù)學(xué)家的工作，就是在重復(fù)“抽象→表現(xiàn)→抽象→表現(xiàn)”這一腦力勞動(dòng)過(guò)程。

02A 除以 B，會(huì)產(chǎn)生既不是 A 也不是 B 的另一個(gè)概念

“微分”也是象征化的方法之一，是一種“通過(guò)不斷舍棄各種具體條件，最終得出一項(xiàng)定律”的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。

舉例來(lái)說(shuō)，假設(shè)從地點(diǎn) A 出發(fā)沿著某條路線前進(jìn)，到達(dá)地點(diǎn)B 需要花費(fèi)一定的時(shí)間。這時(shí)必須描述很多條件，比如通過(guò)的路線是什么樣的，距離是多少，最終花費(fèi)了多少分鐘……

將這些條件進(jìn)行微分后就得到了“速度”的概念。也就是說(shuō)，用距離除以時(shí)間得到的是速度。當(dāng)我們說(shuō)“以某速度前進(jìn)”時(shí)，就不需要一一解釋 A 地點(diǎn)、B 地點(diǎn)的位置和每一段路程花費(fèi)的時(shí)間，對(duì)于了解兩個(gè)地點(diǎn)和路徑的人，只需要說(shuō)出速度就夠了。接下來(lái)，沿著不同的路徑從 C 到 D 時(shí)，“速度”概念是共通的，只需要給出“用和之前同樣的速度”，或者“速度是之前的 2倍”等條件，就能計(jì)算出需要花費(fèi)的時(shí)間。

有了速度的概念，只要知道到達(dá) B 地點(diǎn)的時(shí)間，就能計(jì)算出應(yīng)該何時(shí)從 A 地點(diǎn)出發(fā)，像這樣將其應(yīng)用在具體問(wèn)題中。“速度”概念舍棄了出發(fā)點(diǎn)、終點(diǎn)和兩地距離等要素。舍棄這些要素，就可以找到適用于各種情況的概念。這就是“微分的思考方法”。

03當(dāng)具體條件消失時(shí)，定律就出現(xiàn)了

再舉一個(gè)“重力”的概念。所有物體都受到固定的向下的力，這是普遍的概念，這里的“重力”可以換成“加速度”，這同樣是“微分”思維。

重力的性質(zhì)是它作用于一切物體。無(wú)論將物體朝正下方扔出還是斜著拋出、向上拋出，物體都會(huì)產(chǎn)生方向朝下、數(shù)值固定的加速度，最終落向地面。適用于所有場(chǎng)景、與投擲方向等具體條件無(wú)關(guān)的，就是“物體受到向下的力”。

將微分作為一項(xiàng)計(jì)算技巧學(xué)習(xí)的人應(yīng)該知道，“常數(shù)”的微分結(jié)果為零。一次函數(shù)自變量進(jìn)行兩次微分計(jì)算后為零，圖像為拋物線的二次函數(shù)進(jìn)行三次微分后同樣為零。

微分就是對(duì)方程式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，重?fù)多次后，各種常數(shù)會(huì)不斷變成零消失。各種常數(shù)就是“具體條件”，當(dāng)它們變成零后，最終剩下的就是具備普遍性的定律。

要想得到速度，需要用距離除以時(shí)間，但速度既不是時(shí)間也不是距離，而是另一個(gè)完全不同的概念。因此可以說(shuō)，“微分”就是通過(guò)除法運(yùn)算進(jìn)行的抽象化操作。

先進(jìn)行微分（抽象化）思考，然后進(jìn)行積分（具體化）思考，這樣就能厘清思路。