本文作者蔣迅，【遇見數(shù)學(xué)】感謝蔣老師的投稿及一直來的關(guān)注和支持！
這個(gè)故事已經(jīng)有人講過多次了，但我相信我們遇見數(shù)學(xué)的讀者中還有一些人沒有聽到過。
弗朗西斯·羅賓斯·阿普頓（Francis Robbins Upton, 1852 – 1921）是一位美國(guó)物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家。他之所以能在歷史上留下名字是因?yàn)樗?span search-type="3" search-href="newsapp://nc/search?entry=articleKeyword&word=%E7%88%B1%E8%BF%AA%E7%94%9F">愛迪生一起工作。阿普頓協(xié)助愛迪生一起開發(fā)白熾燈泡、發(fā)電機(jī)和電力分配的研究。后來?yè)?dān)任過由前雇員組成的“愛迪生先驅(qū)者”同事會(huì)（Edison Pioneers）的第一任主席。
關(guān)于厄普頓計(jì)算燒瓶體積的故事有許多版本。有一個(gè)版本說愛迪生讓他計(jì)算燒瓶的體積，而他用尺子測(cè)、用筆算卻怎么也算不出來。后來愛迪生把水倒入燒瓶，然后再用量瓶測(cè)出。不過有一個(gè)當(dāng)時(shí)在場(chǎng)的另一位助手弗朗西斯·杰爾（Francis Jehl, 1860 - 1941）寫下了他的回憶。杰爾的版本應(yīng)該是真實(shí)的。他的回憶錄是這樣寫的：
有一次，我和厄普頓先生一起計(jì)算他給我安排的一些桌子，這時(shí)愛迪生先生出現(xiàn)了，他手里拿著一個(gè)梨形的玻璃燈泡。這就是我們要用于燈實(shí)驗(yàn)的那種；愛迪生先生請(qǐng)厄普頓先生計(jì)算其立方含量（以厘米為單位）。
現(xiàn)在厄普頓先生是一位非常有才華的數(shù)學(xué)家，他在普林斯頓完成學(xué)業(yè)后前往德國(guó)，并在偉大的數(shù)學(xué)大師亥姆霍茲的指導(dǎo)下獲得了最后的光彩。無(wú)論他做什么和從事的工作都是以純粹數(shù)學(xué)的方式執(zhí)行的，劍橋的任何牧馬人都會(huì)很高興看到他以令人驚訝的靈巧程度處理積分和微分方程。他在紙上準(zhǔn)確地畫出了燈泡的形狀，并得出了燈泡的線方程，他將用該方程式計(jì)算燈泡的內(nèi)容，這時(shí)愛迪生先生再次出現(xiàn)并問他這是什么。他向愛迪生先生展示了他在這個(gè)問題上已經(jīng)完成的工作，并告訴他，他很快就會(huì)完成計(jì)算?！盀槭裁?，”愛迪生說，“我只需拿起那個(gè)燈泡，裝滿水銀，然后稱重；根據(jù)水銀的重量和它的比重，我會(huì)在五分鐘內(nèi)得到它，并且使用的腦力要少得多。能量超過了這種疲勞操作所需的能量。
厄普頓的困難在于他試圖建立一個(gè)燈泡輪廓曲線的表達(dá)式，而這幾乎是不可能的。用現(xiàn)代方法就容易多了。湖南師范大學(xué)醫(yī)學(xué)院姜曉東博士寫過一篇“用R測(cè)量燈泡的體積”(https://cosx.org/2015/03/the-bulb-measurement-with-r/)的文章，非常漂亮。但R對(duì)于普通讀者來說有些遙遠(yuǎn)。還有沒有其他方法呢？我想到的是用Python來寫一個(gè)類似的程序。
首先，我們先要取一些定義了燈泡邊緣曲線的點(diǎn)。讓我們采用姜曉東博士選取的點(diǎn)：(0.0,0.0), (0.7487,7.861), (2.2460,13.850), (5.2406,20.214), (10.1070,26.578),(19.4652,34.064), (37.4332,39.305), (50.1604,38.182), (64.3850,31.818), (82.7273, 22.834), (90.9626,21.711), (99.5722,20.963), (106.3102,17.219)(mm, mm)。從圖像上可以看出這13個(gè)點(diǎn)勾畫出了燈泡的輪廓。
大家看到，我們只勾畫出了半邊的輪廓，因?yàn)槲覀儼褵襞菘醋饕粋€(gè)旋轉(zhuǎn)體。每一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后形成一個(gè)圓盤。我們可以計(jì)算它的面積。然后把這些圓盤的面積作為黎曼積分的離散和，我們就可以得到燈泡的近似體積了。這最后一步要用到數(shù)值積分。我們可以用截頭圓錐的體積圓錐的體積疊加來實(shí)現(xiàn)。在下圖中，假定上下底的半徑分別為r1和r2，高為h。那么其體積為。
下面是我的程序：
將此程序存成文件“compute_volume_of_lightbulb.py”。假定你有Python，那么可以執(zhí)行python compute_volume_of_lightbulb.py后就可以得到結(jié)果306281.8414。這個(gè)結(jié)果與姜曉東博士得到的311.68近似。
習(xí)題1：南京大報(bào)恩寺琉璃塔于19世紀(jì)被毀，但復(fù)制品大小相同，呈八角形。如果底座直徑為30米，高度為79米，假設(shè)橫截面積相同，則體積是多少？
習(xí)題2：筆者曾向ChatGPT問訊過。它給出了四種方法。本質(zhì)上說，前三種方法就是本文中的三種方法。建議讀者請(qǐng)自己喜愛的AI回答這個(gè)問題。
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數(shù)學(xué)文化在科學(xué)文化的構(gòu)建和培育中不僅占有一席之地，而且是重中之重。數(shù)學(xué)教育要做好最根本的三件事兒：數(shù)學(xué)知識(shí)的來龍去脈、數(shù)學(xué)的精神實(shí)質(zhì)和思想方法、數(shù)學(xué)的人文內(nèi)涵。本書從生活實(shí)際出發(fā)，緊緊圍繞數(shù)學(xué)這一主題，自然延伸到與之交叉和滲透的若干領(lǐng)域和方面，試圖通過新穎的內(nèi)容、通俗的文字、珍貴的圖片、具有趣味性和啟發(fā)性的問題等，呈獻(xiàn)給讀者一幅幅數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與科技、數(shù)學(xué)與藝術(shù)、數(shù)學(xué)與教育等共通互融的立體畫面。
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