1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1......，這樣一個(gè)無(wú)限循環(huán)的算式，你知道等于幾嗎？
乍一看，可能會(huì)覺得非常簡(jiǎn)單，但仔細(xì)想一想就會(huì)陷入迷茫之中，有人認(rèn)為它等于1，有人認(rèn)為它等于0，你覺得哪個(gè)答案是正確的呢？因?yàn)槭且粋€(gè)無(wú)限循環(huán)的算式，所以要計(jì)算它的結(jié)果，就需要給它進(jìn)行一下變形，按照基本的加減算式加括號(hào)的規(guī)則，這個(gè)算式可以變?yōu)檫@個(gè)樣子：1-（1-1）-（1-1）-（1-1）......，也就等于1-0-0-0......，很顯然，這個(gè)無(wú)限循環(huán)算式應(yīng)該等于1。
如果只是到此為止，那么我們似乎已經(jīng)找到了答案，但問題是這個(gè)無(wú)限循環(huán)算式不止能夠變換成上述的一種形式，還有另一種變形。
也就是變?yōu)椋?1-1)+（1-1）+（1-1）+（1-1）......，按照加減算式的加括號(hào)規(guī)則，這種變形也是完全正確的，繼續(xù)進(jìn)行計(jì)算就等于0+0+0+0......，所以這個(gè)無(wú)限循環(huán)算式的最終結(jié)果就是等于0。兩種算式的變形方式都沒有錯(cuò)，計(jì)算也沒有錯(cuò)，但最終的結(jié)果卻是完全不同的，這說明有一種計(jì)算方式錯(cuò)了，也可能兩個(gè)都錯(cuò)了。
其實(shí)除了這兩種計(jì)算方法之外，還有第三種方法。
我們可以將這個(gè)無(wú)限循環(huán)循環(huán)算式定義為X，那么-X就等于-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1......，把這個(gè)算式中的第一個(gè)-1單獨(dú)拿出來(lái)，后面的算式其實(shí)就是X，所以這個(gè)算式其實(shí)就是-1+X。既然-X=-1+X，那么2X就等于1，X就等于1/2?，F(xiàn)在好了，除了0和1以外，現(xiàn)在又出現(xiàn)了第三種答案，這到底是怎么一回事呢？數(shù)學(xué)是最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，同一個(gè)算式不可能出現(xiàn)三個(gè)不同的答案，根本原因在于這三種計(jì)算方式都不適用于這個(gè)無(wú)限循環(huán)算式。
幾個(gè)算式是一個(gè)級(jí)數(shù)，而級(jí)數(shù)可以分為收斂級(jí)數(shù)和分散級(jí)數(shù)。
什么是收斂級(jí)數(shù)呢？假如有一個(gè)無(wú)限循環(huán)算式是S1+S2+S3+S4......+Sn，隨著n趨向于無(wú)窮大，這個(gè)算式的結(jié)果會(huì)收斂為一個(gè)固定的極限值，那么這個(gè)級(jí)數(shù)就是一個(gè)收斂級(jí)數(shù)。而1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1......這個(gè)算式就不同了，1-1=0，1-1+1=1，1-1+1-1=0，1-1+1-1+1=1，答案會(huì)不斷在0和1之間跳躍，永遠(yuǎn)呈現(xiàn)發(fā)散式，不會(huì)向一個(gè)固定的答案收斂，所以它是一個(gè)分散級(jí)數(shù)。
分散級(jí)數(shù)沒有固定的和嗎？也不是。
分散級(jí)數(shù)按照常規(guī)的計(jì)算方法是沒有固定的和的，但它存在著一個(gè)切薩羅和。具體的計(jì)算方法是這樣的，先要對(duì)這個(gè)算式的和取平均，算式是(1+0+1+0+1......)/n，此時(shí)我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n等于1時(shí)，平均值為1/1，當(dāng)n等于2時(shí)，平均值為1/2，當(dāng)n等于3時(shí)，平均值為2/3，當(dāng)n等于4時(shí)，平均值為2/4。據(jù)此，我們可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律，那就是當(dāng)算式和的數(shù)量為2n時(shí)，算式的和就等于n/2n，也就是1/2。所以這個(gè)級(jí)數(shù)的切薩羅和就是1/2。
這不是與一開始使用的第三種方法計(jì)算出的最終結(jié)果一樣嗎？
的確是一樣的，但這并不意味著前面的第三種計(jì)算方法是正確的，它們只是恰好結(jié)果一樣罷了。而且前面那種方法計(jì)算的是級(jí)數(shù)的和，而我們后面計(jì)算的是分散級(jí)數(shù)的切薩羅和。那么“和”與“切薩羅和”到底有何區(qū)別呢？你可以認(rèn)為“和”是現(xiàn)實(shí)世界存在的答案，切薩羅和則主要是數(shù)學(xué)意義上的，而切薩羅和本身在數(shù)學(xué)領(lǐng)域也有著諸多應(yīng)用。當(dāng)然，切薩羅法只是計(jì)算分散級(jí)數(shù)的一種方法，除此之外還有好幾種其他方法，未來(lái)我們?cè)僮鼋榻B。
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