數(shù)學(xué)是人類心靈活動(dòng)的產(chǎn)物，
做數(shù)學(xué)研究，
就是為了探索人類思維的極限。
蘇陽· 中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員
大家好，我是來自中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院的蘇陽。今天我給大家?guī)淼难葜v有關(guān)一個(gè)數(shù)學(xué)的分支——拓?fù)鋵W(xué)。
說到數(shù)學(xué)，可能大家的第一感覺是，這是一門有點(diǎn)難的學(xué)科，里面有很多非常難算的題，特別是平面幾何里邊的題。如果有道題是求圖形的面積，那可能大家做著做著就會(huì)變成求做題人的心理陰影面積了。
但我還好。我在中學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)得還可以，而且我覺得數(shù)學(xué)是一門很有意思的學(xué)科，里面有很多很神奇的東西吸引著我。所以到了大學(xué)之后，我進(jìn)入數(shù)學(xué)系繼續(xù)深造。
在大學(xué)前兩年，我學(xué)了一些很基本的課程，包括數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)、微分幾何、概率論等等。我學(xué)得也都還可以，但是始終沒有一門功課讓我感到大有啟發(fā)，使我眼前一亮，直到我大學(xué)第3年時(shí)上到了拓?fù)鋵W(xué)的課程。
左邊是我們當(dāng)時(shí)給我們上課的老師，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系的尤承業(yè)教授。他是一位非常和藹且博學(xué)的老師，在課上對(duì)我們諄諄教導(dǎo)，引領(lǐng)我們進(jìn)入拓?fù)鋵W(xué)的大門。他的課非常好，讓我感到很有啟發(fā)。
我覺得拓?fù)鋵W(xué)和其他的數(shù)學(xué)的分支有點(diǎn)差別：在于拓?fù)鋵W(xué)往往不需要你做特別復(fù)雜的計(jì)算。最起碼對(duì)于我當(dāng)時(shí)的認(rèn)知程度來說，它不需要做特別復(fù)雜的計(jì)算，而更需要一些非常巧妙的觀察。然后把這些數(shù)學(xué)概念組織在一起進(jìn)行推理，就可以得到一些非常深刻且非常有意思的結(jié)果。
從7座橋開始的拓?fù)鋵W(xué)
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我們先來舉一個(gè)例子，一個(gè)歷史上非常經(jīng)典的例子，大家可能聽說過，就是哥尼斯堡七橋問題。
這個(gè)問題是這樣的。這是大概17或18世紀(jì)時(shí)的哥尼斯堡，一個(gè)在波羅的海海邊的小城。這個(gè)小城中有幾條河流穿過，人們?yōu)榱私煌ǚ奖?，就在河上修?座橋。我們用綠色把這7座橋標(biāo)記出來了。
當(dāng)時(shí)這7座橋中有2座一直保留到了現(xiàn)在，這是其中1座的照片。
大家在日常生活中都會(huì)散步，那在哥尼斯堡散步的人里就有人提出來，說我們?cè)囋嚕?strong>能不能一次不重復(fù)地把這7座橋都走一遍。然后很多人都去嘗試了，但是一直沒有人成功。所以這個(gè)問題漸漸地就變成了一個(gè)難題，慢慢流傳開了。
那到底怎樣才能把這七座橋都走遍呢？這個(gè)難題最后引起了大數(shù)學(xué)家歐拉的關(guān)注。
歐拉用了一個(gè)非常數(shù)學(xué)的方式處理了這個(gè)問題。他把這個(gè)問題抽象了出來，所以我們就看到了這樣一個(gè)簡(jiǎn)圖。綠色的就是陸地，黃色的就是橋。
那我們可以再進(jìn)一步做抽象，把陸地用點(diǎn)來表示，那2塊陸地之間如果有1座橋連接的話，我就在兩個(gè)點(diǎn)之間連一條線，用來表示橋。這樣就把原來的地圖問題完全抽象成了一個(gè)由點(diǎn)和線構(gòu)成的圖形問題了。現(xiàn)在這個(gè)問題就變成了，我能不能從1個(gè)點(diǎn)出發(fā)，然后一次不重復(fù)地把圖上7條邊都走下來呢？
接下來，我們就可以做一些非常簡(jiǎn)單的觀察。這里有一個(gè)非常關(guān)鍵的點(diǎn)在于，在不能重復(fù)經(jīng)過1條邊的情況下，如果1個(gè)點(diǎn)它不是起點(diǎn)也不是終點(diǎn)，那你就要經(jīng)過1條邊走到這個(gè)點(diǎn)來，然后再沿著另外1條邊走出去。這樣一進(jìn)一出，就走了2條邊了。所以，如果1個(gè)點(diǎn)它既不是起點(diǎn)也不是終點(diǎn)，那么它發(fā)出的邊一定是偶數(shù)條。只有起點(diǎn)和終點(diǎn)才可能是奇數(shù)條。
這樣我們?cè)倏催@張圖，圖里所有的4個(gè)點(diǎn)發(fā)出的邊都是奇數(shù)條，它們不可能同時(shí)作為起點(diǎn)或終點(diǎn)。所以根據(jù)剛才的分析你就知道，不可能一次不重復(fù)地把這7條邊都走一遍。
這就是一個(gè)把實(shí)際生活問題抽象成幾何問題再去分析解決的例子。但這個(gè)幾何問題和我們中學(xué)學(xué)習(xí)的幾何問題不一樣。
不一樣在哪呢？在這個(gè)圖里，每條邊有多長(zhǎng)、每?jī)蓚€(gè)邊間的夾角是多大，其實(shí)并不重要。真正重要的是每個(gè)點(diǎn)間到底連了幾條邊，它們是怎么連的。也就是說，我們關(guān)注的是這個(gè)圖形間各個(gè)部分相對(duì)的位置關(guān)系。
可以說，這種研究幾何圖形之間各部分相對(duì)位置關(guān)系的幾何學(xué)，在歐拉那個(gè)時(shí)代開始就慢慢發(fā)展起來了。
又過了100多年之后，這種研究已經(jīng)非常廣泛了，大家覺得有必要給這門學(xué)科起個(gè)名字。于是到了1847年，德國(guó)數(shù)學(xué)家利斯廷就用兩個(gè)希臘語詞根拼湊出來了單詞，叫作“topology”。
這兩個(gè)希臘語詞根“τ?πο?”表示的是位置，“λóγο?”表示的是關(guān)于什么的談話?！皌opology”說的就是關(guān)于位置的談話，也就是研究幾何體間各個(gè)位置相對(duì)關(guān)系的一門數(shù)學(xué)。
就像前面說的，我們關(guān)注的是幾何體或者空間的各個(gè)位置的相對(duì)關(guān)系。我允許這個(gè)東西做形變，只要這種形變既不撕開也不黏合，那么它的各個(gè)位置的相對(duì)關(guān)系就是不變的。我們管這種形變叫同胚。
這是一個(gè)馬克杯，它可以同胚或者說形變成輪胎，我們叫環(huán)面。
這是一個(gè)玩具小牛，你可以想象把它吹得脹起來，得到的就是球。所以我們可以說，這個(gè)小牛玩具和球面是同胚的。
球面和環(huán)面是不同胚的，這個(gè)大家在直覺上就可以感覺出來。但是它們到底怎么樣不同胚？它們性質(zhì)又會(huì)有什么樣的差異呢？這個(gè)就是我們拓?fù)鋵W(xué)關(guān)心的問題。
那下邊，我們就舉幾個(gè)例子，來看一下球面和環(huán)面到底有什么差別。
為什么人人有發(fā)旋？
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第一個(gè)例子有一個(gè)非常形象的名字，叫毛球定理。 這個(gè)定理的數(shù)學(xué)表述是這樣的：球面上的任何連續(xù)向量場(chǎng)必然存在一個(gè)零點(diǎn)。
這個(gè)概念非常好理解。什么叫向量？就是有一個(gè)點(diǎn)，然后畫個(gè)箭頭，這就叫一個(gè)向量。那我現(xiàn)在把這個(gè)向量畫在球面上，意思就是說，我這個(gè)向量要貼著球面畫，或者說跟球面相切著畫就可以了。
▲圖片來源：https://www.scientificamerican.com/article/ maths-hairy-ball- theorem-has-surprising-implications/
我在每個(gè)點(diǎn)都畫一個(gè)向量，就可以得到一個(gè)叫向量場(chǎng)的東西。我們希望這個(gè)向量場(chǎng)的改變不要太劇烈，每個(gè)點(diǎn)跟它附近的點(diǎn)的向量箭頭的方向和大小都不能突變，這樣的向量場(chǎng)就叫連續(xù)向量場(chǎng)。我們?nèi)粘Ｉ钪泻芏鄸|西的改變都是連續(xù)的，這個(gè)也很好理解。
有了這樣一個(gè)要求之后，你就可以嘗試在球面上去畫這么一個(gè)向量場(chǎng)，在每個(gè)點(diǎn)畫個(gè)箭頭，最后你會(huì)發(fā)現(xiàn)，你畫來畫去總是到了某個(gè)點(diǎn)就沒法畫了。你要想使這個(gè)點(diǎn)和周圍的向量保持向量場(chǎng)的連續(xù)改變，就只能畫0，只能讓這個(gè)向量值是0。
▲圖片來源：https://www.scientificamerican.com/article/ maths-hairy-ball-theore m-has-surprising-implications/
這個(gè)現(xiàn)象并不是因?yàn)槲覀兲苛水嫴怀鰜?，而是因?yàn)楸澈笥星蛎嫱負(fù)涞淖璧K，它阻礙了你畫出這么一個(gè)處處非零的連續(xù)向量場(chǎng)。所以這個(gè)定理就是說，球面上的任何連續(xù)向量場(chǎng)必然存在一個(gè)零點(diǎn)。
那為什么叫毛球定理呢？有一個(gè)非常形象的解釋。你可以想象一個(gè)球上每個(gè)點(diǎn)有一根頭發(fā)，要把這些頭發(fā)梳理到球面上，就得到了一個(gè)類似于向量的東西。
我希望把頭發(fā)連續(xù)地梳在這個(gè)球的表面上，但最后會(huì)發(fā)現(xiàn)，不管怎么梳，總是在某些點(diǎn)上沒有辦法把頭發(fā)梳下去，使得它和它附近的頭發(fā)連續(xù)改變。
這件事情在日常生活中一點(diǎn)也不稀奇，就像我們每個(gè)人頭發(fā)都會(huì)有旋，可能有的人有一個(gè)旋，有人有兩個(gè)旋，但無論如何，這個(gè)旋上的頭發(fā)怎么梳的話都會(huì)和附近的頭發(fā)有沖突。
這就是毛球定理，在我們?nèi)粘Ｉ钪写蠹叶加兴w驗(yàn)。而它背后的原理，就是因?yàn)檫@樣一個(gè)向量場(chǎng)必然存在零點(diǎn)。
我們前面說，我們想知道球面和環(huán)面到底有什么差別。那么，環(huán)面上有沒有“毛環(huán)定理”？是不是在這個(gè)環(huán)面上放一個(gè)向量場(chǎng)，它也總是有零點(diǎn)呢？
▲圖片來源：http://www.rdrop.com/
其實(shí)，只要去動(dòng)手實(shí)驗(yàn)一下就會(huì)發(fā)現(xiàn)。圖上畫了兩種方式，結(jié)果都是在環(huán)面上能夠存在一個(gè)處處非零的向量場(chǎng)。綠色箭頭是沿著環(huán)的緯線方向畫的，我在每一個(gè)緯線方向上都可以放一個(gè)箭頭，這個(gè)箭頭沿著圓的方向畫下去就可以了，它總是處處非零的。
另外，我也可以沿著圓的經(jīng)線方向去畫箭頭。紫色箭頭就是沿著圓的經(jīng)線去畫，這樣也可以處處非零地畫下去。
所以我們看到，從向量場(chǎng)角度來說，球面和環(huán)面是很不一樣的，球面上的向量場(chǎng)總是要有零點(diǎn)的，而環(huán)面上的向量場(chǎng)不一定有零點(diǎn)，所以它們?cè)谕負(fù)渖鲜遣灰粯拥摹?/strong>
反直覺，但卻是必然存在的
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接下來我再舉兩個(gè)生活中的現(xiàn)象，大家先想想， 你直覺上認(rèn)為它對(duì)還是不對(duì)，然后我再給一個(gè)數(shù)學(xué)上的解釋。
第一個(gè)現(xiàn)象是這樣的。地球表面每個(gè)點(diǎn)的大氣都會(huì)有一個(gè)氣溫和一個(gè)氣壓。在任何一個(gè)時(shí)刻，地球表面都會(huì)存在對(duì)徑的兩個(gè)點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)的氣溫也相同，氣壓也相同。
對(duì)徑的兩個(gè)點(diǎn)就是說，每個(gè)點(diǎn)穿過地球球心在對(duì)面那個(gè)點(diǎn)。比如說南極的對(duì)徑點(diǎn)就是北極，北京的對(duì)徑點(diǎn)在地球那邊應(yīng)該是阿根廷的某個(gè)地方。
大家可以根據(jù)直覺，感受一下這句話對(duì)不對(duì)。這聽起來有點(diǎn)神奇，我怎么能夠保證剛好對(duì)徑兩個(gè)點(diǎn)，它們的氣溫和氣壓都相同呢？
▲圖片來源：Arturo Tozzi @ResearchGate
這背后其實(shí)也有一個(gè)數(shù)學(xué)定理，叫博蘇克-烏拉姆定理（Brosuk-Ulam定理）。這個(gè)定理是說， 從球面到平面的連續(xù)映射，一定會(huì)把一對(duì)對(duì)徑點(diǎn)映到同一個(gè)點(diǎn)。
我解釋一下什么叫作把球面給映到平面，其實(shí)也很好理解，就是把這個(gè)球面給壓平、攤平。連續(xù)映射就要求說壓的時(shí)候不要把球面撕開，它就是連續(xù)的。所以，這個(gè)定理就是說，不管我把這球面用什么方式壓到平面，總會(huì)存在一對(duì)對(duì)徑點(diǎn)，它們的像是同一個(gè)點(diǎn)。
所以再回到我們剛才說的關(guān)于氣溫和氣壓的問題，我們可以把地球表面看成球面。在理想情況下，大氣的氣溫和氣壓總是連續(xù)變化的，也就是說每個(gè)點(diǎn)跟它附近點(diǎn)的氣溫、氣壓不會(huì)差太多。
這樣的話，我把氣溫和氣壓這兩個(gè)數(shù)看成兩個(gè)實(shí)數(shù)，它們就在平面上標(biāo)定了一個(gè)點(diǎn)。那么，這一對(duì)氣溫和氣壓其實(shí)就是從球面到平面的一個(gè)連續(xù)映射。根據(jù)博蘇克-烏拉姆定理，我就知道，一定存在一對(duì)對(duì)徑點(diǎn)，它們的氣溫相同、氣壓也相同。
這聽起來非常神奇，但實(shí)際上它是有根據(jù)的，它是球面拓?fù)涞囊粋€(gè)反映。
第二個(gè)日常生活中的例子是這樣的，左圖是校園，右邊是一張校園地圖。如果我把這個(gè)校園地圖放在校園內(nèi)隨便某一處地面上，那地圖上一定存在一個(gè)點(diǎn)，和它所在地面上真實(shí)的那個(gè)點(diǎn)，恰好是同一個(gè)點(diǎn)。
大家可以想一下，你會(huì)不會(huì)相信這件事情呢？
我要告訴大家，這件事情它一定會(huì)發(fā)生。這是因?yàn)槲覀冇羞@個(gè)定理做保證——布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理。
▲圖片來源：www.math.hmc.edu/funmath
它說的是，從圓盤到自身的連續(xù)映射，必定會(huì)存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。什么叫不動(dòng)點(diǎn)？比如圖上這個(gè)點(diǎn)a，它和它的像點(diǎn)f(a)是同一個(gè)點(diǎn)，也就是說f(a)等于a。
我們從這個(gè)定理回到地圖的問題。我把校園地圖放到校園的地上，其實(shí)就是做了一個(gè)從校園本身到自身的一個(gè)連續(xù)映射。比如黃色的就是真實(shí)的校園，右邊這個(gè)像就是地圖。我映射過來以后就是一個(gè)連續(xù)映射。
那根據(jù)布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理，這個(gè)連續(xù)映射一定有不動(dòng)點(diǎn)。也就是說，在地圖上所標(biāo)示的點(diǎn)和它在地面上所對(duì)應(yīng)那個(gè)點(diǎn)恰好是同一個(gè)點(diǎn)。
如果沒有這個(gè)定理的話，你就會(huì)覺得這件事好像很神奇，因?yàn)榇_實(shí)不太好想象。但有了這個(gè)定理之后，我們就會(huì)理解，它是必然會(huì)發(fā)生的。
大家都學(xué)過的拓?fù)鋵W(xué)
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我們前面講的球面也好、環(huán)面也好、圓盤也好，這些定理其實(shí)都是拓?fù)渖系囊恍┒ㄐ缘姆治觥?strong>但數(shù)學(xué)終究是一門定量的學(xué)科，所以我們希望能夠引入一些不變量來刻畫這些不同的球面、環(huán)面。
這些拓?fù)渖系目臻g或幾何體中最經(jīng)典的一個(gè)數(shù)，就叫作歐拉示性數(shù)。我們來簡(jiǎn)單地給大家介紹一下歐拉示性數(shù)是怎么來定義的。
右下角這張圖上有個(gè)曲面，我把這個(gè)曲面看成由很多多邊形拼成的，比如把這個(gè)曲面給切成很多三角形。我們數(shù)一數(shù)到底拼了多少個(gè)頂點(diǎn)、多少條邊、多少個(gè)面，再做計(jì)算。你可能會(huì)說，我有不同的方式把這個(gè)曲面切割成不同的多邊形，如果用不同的方式去切，你的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)、邊的條數(shù)還有面的個(gè)數(shù)可能都是不一樣的。
但是神奇的地方在于，一旦你把它們組合起來，用頂點(diǎn)數(shù)減去邊的數(shù)加上面的數(shù)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它總會(huì)得出來同樣的一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)就叫作曲面的歐拉示性數(shù)。
我們用一個(gè)例子來看下球面的歐拉示性數(shù)是多少。這里畫了三個(gè)幾何體，分別是正四面體、正方體和正八面體。大家很容易想象它們的表面都是和球面同胚的，也就是你可以把正方體或者正八面體吹脹吹鼓，變成一個(gè)球。
接下來，我們可以就可以按剛才說的方式來計(jì)算這個(gè)球面的歐拉示性數(shù)。最左邊這個(gè)正四面體有4個(gè)頂點(diǎn)、6條邊和4個(gè)面，它的歐拉示性數(shù)等于2。
接著我們?cè)偎愕?個(gè)。這個(gè)正方體有8個(gè)頂點(diǎn)、12條邊和6個(gè)面，計(jì)算結(jié)果仍然是2。正八面體的結(jié)果也是2。這是非 常簡(jiǎn)單的計(jì)算，我們從中可以驗(yàn)證出，球面的歐拉示性數(shù)等于2。
這其實(shí)就是大家中學(xué)里聽到的歐拉公式。歐拉公式在中學(xué)里面怎么表述呢？它是說，對(duì)于空間中的凸多面體的表面，總是有頂點(diǎn)個(gè)數(shù)減去邊的個(gè)數(shù)加上面的個(gè)數(shù)等于2。其實(shí)，這是因?yàn)榭臻g中凸多面體其實(shí)和球面是同胚的。
所以，其實(shí)大家中學(xué)時(shí)期都學(xué)了一點(diǎn)拓?fù)鋵W(xué)的定理。大家也可以嘗試計(jì)算下，環(huán)面的歐拉示性數(shù)是多少。（小編：歡迎各位在留言區(qū)回答哦?。?/strong>
物理世界中的拓?fù)?/strong>
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我們前面舉的例子，都是說有關(guān)拓?fù)鋵W(xué)它本身所研究的對(duì)象。但拓?fù)洳粌H僅是一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科，拓?fù)洮F(xiàn)象其實(shí)在我們這個(gè)所處的物理世界中也是有很重要應(yīng)用的。
▲圖片來源：https://www.aip.org/ science-news/nobel/physics2016
比如2016年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)，獲獎(jiǎng)的工作其實(shí)就是關(guān)于拓?fù)湮镔|(zhì)態(tài)的工作。
▲圖片來源：https://www.nobelprize.org/
這是諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)官網(wǎng)上的一張介紹他們的工作的圖，他們研究的是物質(zhì)導(dǎo)電性的改變。我們知道，通常情況下導(dǎo)電性是連續(xù)變化的，但在這種拓?fù)湮飸B(tài)里面，這個(gè)電子的導(dǎo)電性是離散變化的。為什么會(huì)發(fā)生這種現(xiàn)象呢？它的背后原因在于，每一個(gè)電子導(dǎo)電性的臺(tái)階對(duì)應(yīng)的是一個(gè)拓?fù)涞目臻g。最低的空間對(duì)應(yīng)的是一個(gè)球面，第二級(jí)空間對(duì)應(yīng)的一個(gè)環(huán)面，第三層空間對(duì)應(yīng)的是一個(gè)雙環(huán)面，像一個(gè)眼鏡的表面。
所以我們會(huì)看到，在物質(zhì)物態(tài)里邊，拓?fù)洮F(xiàn)象也會(huì)出現(xiàn)，拓?fù)湟彩且环N本質(zhì)存在的東西。
我們前面講了球面、講了曲面，這些都是二維對(duì)象。我們拓?fù)鋵W(xué)家或者幾何學(xué)家也會(huì)關(guān)心一些高維的拓?fù)鋵?duì)象，這里邊最有名的大家可能聽說過，就是一個(gè)叫卡拉比-丘流形的東西。
這是一大類流形，它們的維數(shù)可以是任意維的?？雌饋砗芎每磳?duì)吧？也有人把它做成工藝品放在桌上作為裝飾。它為什么這么好看呢？因?yàn)?strong>它有很高的對(duì)稱性。關(guān)心這個(gè)幾何體的對(duì)稱性就是我們的工作之一。
我在前幾年和我的一個(gè)合作者就合作研究了某些6維的卡拉比-丘流形的對(duì)稱性。6維的卡拉比-丘流形被物理學(xué)家認(rèn)為是超弦理論的核心，是隱藏維度的折疊方式。這是我們當(dāng)時(shí)計(jì)算的一個(gè)黑板和一些草稿紙。這樣的黑板我們有很多塊，我每次寫完擦掉之前都要拍下來，防止忘了。草稿紙也有很多。
回到開始，我講的就是我之所以被拓?fù)鋵W(xué)吸引，是因?yàn)槲耶?dāng)時(shí)覺得做拓?fù)洳挥米鎏嘤?jì)算。但我發(fā)現(xiàn)，當(dāng)你走到最后，真正要做一些深入的東西的時(shí)候，可能做一些復(fù)雜的計(jì)算工作是不可或缺的。
但這也沒關(guān)系，對(duì)吧？只要你知道目標(biāo)，就不會(huì)害怕繁難的計(jì)算。
最后，我想用19世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家雅可比的一句話來作為結(jié)尾。這是雅可比當(dāng)年給勒讓德寫的一封信里說的話。他說：“科學(xué)的唯一目的是為了人類心智的榮耀。”
在現(xiàn)在這個(gè)時(shí)代，科學(xué)和技術(shù)已經(jīng)極大地改變了這個(gè)社會(huì)。往小了說，數(shù)學(xué)工作者研究數(shù)學(xué)的最初動(dòng)力還是為了滿足我們個(gè)人的好奇心和求知欲。往大了說，因?yàn)閿?shù)學(xué)是人類心靈活動(dòng)的產(chǎn)物，我們做數(shù)學(xué)研究是為了探索人類的心靈世界，是為了探索人類思維的極限。
來源：格致論道講壇
原標(biāo)題：為什么每個(gè)人的頭發(fā)都有“旋”？這門數(shù)學(xué)可能藏著物理世界最深刻的真相｜蘇陽
編輯：余蔭鎧
轉(zhuǎn)載內(nèi)容僅代表作者觀點(diǎn)
不代表中科院物理所立場(chǎng)
如需轉(zhuǎn)載請(qǐng)聯(lián)系原公眾號(hào)
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