我們已經(jīng)看到，半代數(shù)泰迪熊和半代數(shù)羊?qū)殞毝际且粋€四維球的像。它們會是彼此的像嗎？
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作者：Ursula Whitcher（AMS數(shù)學(xué)評論）2025-4-1
譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2025-4-1
我的名字Ursula的意思是“小熊”，與大熊星座（Ursa Major）同根同源，因此從小我就收藏了大量泰迪熊。在本月的特色專欄中，我想告訴大家一個定理，它利用泰迪熊為一個基本問題提供了一個新的視角：多項式能有多奇怪？
典型的預(yù)科微積分課程將直線視為最簡單的函數(shù)，緊接著是二次或更高次的多項式。基于這種早期教育，我們大多數(shù)人認(rèn)為多項式并不復(fù)雜。但我們最了解的多項式次數(shù)很低，并且只依賴于1個變量（未知數(shù)）。
次數(shù)較高的多變量多項式可能會表現(xiàn)出令人吃驚且違反直覺的行為?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)中一些最著名的未解問題，包括計算機科學(xué)中的P vs NP 問題https://www.claymath.org/millennium/p-vs-np/ 和霍奇猜想https://www.claymath.org/millennium/hodge-conjecture/ ，都要求對多項式及其解的怪異程度進行具體度量。
我們今天的主題是實代數(shù)幾何。換句話說，我們感興趣的是研究系數(shù)為實數(shù)的多項式及其在??中的解。這些是你在第一堂代數(shù)和微積分預(yù)備課程中遇到的多項式類型。
但即使是最簡單的實多項式也迫使我們處理復(fù)數(shù)中不會出現(xiàn)的替代場景和特殊情況。例如，我們總是可以使用二次公式來找到 x2+bx+c=0 的兩個（可能相同）復(fù)數(shù)解。但如果我們想要實數(shù)解，也許是不可能的！
考慮由多項式切出的區(qū)域意味著什么？一種選擇是只考慮多項式方程的解。例如，單位圓由平面中 x2+y2-1=0 的解給出。對于許多問題，單位圓盤的性質(zhì)（包括圓的內(nèi)部）同樣重要。
為了處理這些情況，真正的代數(shù)幾何學(xué)家經(jīng)常研究半代數(shù)集（semialgebraic set）。半代數(shù)集是區(qū)域之間的有限次數(shù)的并集和交集，這些區(qū)域由形式為 P(x?, ..., x_n)=0 或 P(x?, ..., x_n)>0 的有限多個方程組定義，其中 P 是多項式。
換句話說，我們同時允許多項式方程和多項式不等式。在這個框架中，單位圓盤由 x2+y2-1=0 和 -x2-y2+1>0 的解的并集給出。
圓環(huán)（annulus，兩個圓之間的區(qū)域）是半代數(shù)集的另一個簡單示例。我們可以使用它的邊對應(yīng)的線性方程來切出凸多邊形，或使用構(gòu)成其面的平面來切出多面體。如果我們有藝術(shù)感，我們也可以制作更復(fù)雜的形狀。
平面上的一些半代數(shù)形狀
填充形狀包括環(huán)形、五邊形和多角星
半代數(shù)集相對于實多項式方程解的一個優(yōu)勢是，半代數(shù)集可以很好地與我們熟悉的函數(shù)配合使用。例如，考慮?2中由 xy-1=0 描述的雙曲線。如果我們在由 π(x,y)=x 給出的投影映射 π: ?2 → ? 下取雙曲線的圖像，我們會得到除 0 之外的所有實線。
我們不能將此集合寫成實多項式方程解的有限并集，因為每個單變量實多項式都有有限個解，而我們的集合有無限個點。但是，因為我們可以將其寫成 x>0 和 -x>0 解的并集，所以雙曲線的投影是半代數(shù)集。
雙曲線 y=1/x
雙曲線 xy-1=0
圖片使用Desmos制作 https://www.desmos.com
去掉原點的實數(shù)軸
雙曲線在x軸投影下的圖像。
塔斯基-賽登伯格（Tarski-Seidenberg）定理以二十世紀(jì)數(shù)學(xué)家阿爾弗雷德·塔斯基（Alfred Tarski，1901 - 1983）和亞伯拉罕·賽登伯格（Abraham Seidenberg，1916 - 1988）的名字命名，該定理指出，相同的模式在任何維度上都成立：半代數(shù)集的投影π: ???1 → ?? 始終是半代數(shù)集。
與許多數(shù)學(xué)家一樣，塔斯基是一名移民：他在1939年德國和蘇聯(lián)入侵前夕離開了祖國波蘭，定居在美國，直到第二次世界大戰(zhàn)結(jié)束后才再次見到妻子和孩子。
一群西班牙數(shù)學(xué)家，包括José F. Fernando、José Manuel Gamboa和Carlos Ueno，一直在深入研究半代數(shù)集的圖像。他們的工作提供了一些策略，可以將我們最初提出的關(guān)于奇怪多項式的問題轉(zhuǎn)化為精確的數(shù)學(xué)陳述。
2023年，F(xiàn)ernando和Ueno使用包括球體和半球體、橢圓體、圓柱體和四面體在內(nèi)的“磚塊”在?3中構(gòu)造半代數(shù)集 https://projecteuclid.org/journals/journal-of-the-mathematical-society-of-japan/volume-75/issue-2/On-polynomial-images-of-a-closed-ball/10.2969/jmsj/88468846.short ，這些半代數(shù)集可以實數(shù)化為 ?? 中單位球的多項式圖像。
其中一個是半代數(shù)泰迪熊，另一個是半代數(shù)羊?qū)殞殹Ｒ晕易约河镁酆衔镎惩林谱鞯哪Ｐ蛠碚f明。
半代數(shù)熊和綿羊的粘土模型
這是玩具熊的照片，以及用聚合物粘土制成的粗糙球形和橢圓形的形狀。
Fernando和Ueno用德語昵稱“B?rchen”和“Sch?fchen”來指代熊和羊（例如，在一位德國教師的視頻 https://www.youtube.com/channel/UCb-bsbeEwNusbKbT0Sg_1Ww 中就曾紀(jì)念過這兩個詞）。而我喜歡用英語的“Teddy”（泰迪）和“Lambkin”（羊?qū)殞殻?/p>
從數(shù)學(xué)上講，這些形狀具有一些特殊性質(zhì)。它們是?3的緊子集（compact subset）。換句話說，它們是封閉的（它們包含所有邊界點）和有界的（它們處于有限半徑的球體內(nèi)）。Fernando和Ueno還施加了技術(shù)條件，即他們的磚塊必須沿解析路徑連接。
我們已經(jīng)看到，半代數(shù)泰迪熊和半代數(shù)羊?qū)殞毝际撬木S球的像。它們會是彼此的像嗎？
安東尼奧·卡博內(nèi)（Antonio Carbone）在特倫托大學(xué)的博士項目中研究了這個問題，該項目由費爾南多（Fernando）指導(dǎo)。2024年，卡博內(nèi)和費爾南多發(fā)表了 https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0001870823004310 ，證明答案是肯定的——如果我們愿意使用正確的函數(shù)類型。
我們討論的函數(shù)是納什映射（Nash maps），以多才多藝的數(shù)學(xué)家、諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎獲得者約翰·福布斯·納什（John Forbes Nash Jr.，1928 - 2015）的名字命名。讓我們分兩個階段來定義它們。
設(shè) f: ?? → ?? 是一個函數(shù)。如果f的圖像 {(x,y)∈???? ∣ y=f(x)} 是一個半代數(shù)集，我們就稱f為半代數(shù)映射（semialgebraic map）。我們可以使用塔斯基-賽登伯格定理得出以下結(jié)論：半代數(shù)映射的圖像通過投影到最后n個坐標(biāo)上，就是半代數(shù)集。
如果半代數(shù)映射也是光滑映射，則稱為納什映射。我們在這里使用“光滑”一詞，其含義與多變量微積分相同，其中我們要求每個點的偏導(dǎo)數(shù)矩陣具有滿秩。
特別是，當(dāng)源維度和目標(biāo)維度相同時，每一點的偏導(dǎo)數(shù)矩陣都是方陣，我們只需要它是可逆的。直觀地說，光滑映射不會引入尖銳的折痕或過于尖銳的部分。
我們現(xiàn)在準(zhǔn)備陳述Carbone和Fernando的B?rchen-Sch?fchen定理，或者，我喜歡稱之為Teddy-Lambkin（泰迪熊-羊?qū)殞殻┒ɡ怼?/p>
泰迪熊-羊寶寶定理令 ??? 是維度為d的半代數(shù)集，令 ??? 是由維度為e的解析路徑連接的緊半代數(shù)集。假設(shè) e≤d。則存在一個納什映射 f: ?? → ??，使得 f()=。
在我們的半代數(shù)泰迪熊和半代數(shù)羊?qū)殞毜睦又校覀冇?d=e=3，所以有一個從熊到羊的納什映射，還有另一個從羊到熊的納什映射！
所討論的映射不必是一一映射，因此可以進行更激烈的變換。我們可以使用納什映射將半代數(shù)咖啡杯形狀轉(zhuǎn)換為泰迪熊，或者用填充的（果凍？）甜甜圈制作小羊羔。實多項式的領(lǐng)域——這不是開玩笑——非常非常奇怪。
進一步閱讀
Antonio Carbone 和 José F. Fernando。半代數(shù)集之間的滿射納什映射Surjective Nash maps between semialgebraic sets. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0001870823004310 。數(shù)學(xué)進展，第438卷，2024年2月，109288。
José F. Fernando 和 Carlos Ueno。論封閉球的多項式像。On polynomial images of a closed ball
https://projecteuclid.org/journals/journal-of-the-mathematical-society-of-japan/volume-75/issue-2/On-polynomial-images-of-a-closed-ball/10.2969/jmsj/88468846.short J. Math. Soc. Japan 75(2): 679-733 (2023年4月)。DOI：10.2969/jmsj/88468846
參考資料
https://wordpress.com/reader/blogs/202620863/posts/2336
https://www.claymath.org/millennium/p-vs-np/
https://www.claymath.org/millennium/hodge-conjecture/
https://www.desmos.com
https://projecteuclid.org/journals/journal-of-the-mathematical-society-of-japan/volume-75/issue-2/On-polynomial-images-of-a-closed-ball/10.2969/jmsj/88468846.short
https://www.youtube.com/channel/UCb-bsbeEwNusbKbT0Sg_1Ww
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0001870823004310
https://projecteuclid.org/journals/journal-of-the-mathematical-society-of-japan/volume-75/issue-2/On-polynomial-images-of-a-closed-ball/10.2969/jmsj/88468846.short
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