人工智能在數(shù)學(xué)領(lǐng)域高歌猛進，似乎正以不可阻擋之勢逼近甚至超越人類智慧的邊界。從國際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO）賽場上斬獲銀牌級成績（DeepMind的 AlphaProof與AlphaGeometry 2組合系統(tǒng)[1] 解決了當(dāng)屆難題），到輔助頂尖數(shù)學(xué)家證明困擾學(xué)界數(shù)十年的猜想（如 卡日丹-盧斯蒂格多項式[2]），再到 AlphaTensor發(fā)現(xiàn)超越人類已知最優(yōu)解的矩陣乘法算法[3]，AI的數(shù)學(xué)“傳奇”故事層出不窮，似乎預(yù)示著一個機器智能主導(dǎo)數(shù)學(xué)研究的新紀(jì)元即將到來。諸如OpenAI的 O3-MINI[4] 等模型，在 MathArena[5] 等基準(zhǔn)測試的AIME（美國數(shù)學(xué)邀請賽）模擬中，取得了高達(dá) 86.7%的驚人準(zhǔn)確率[6]，幾乎與人類頂尖選手持平。一時間，“AI數(shù)學(xué)天才”的形象深入人心。
然而，就在這片樂觀的喧囂之下，一項來自INSAIT、蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院（ETH Zurich）等頂尖機構(gòu)的研究，悄然進行了一場不為大眾所知的、堪稱“終極試煉”的測試，結(jié)果卻石破天驚。這份名為 《Proof or Bluff? Evaluating LLMs on 2025 USA Math Olympiad》[7]（證明還是虛張聲勢？評估大語言模型在美國2025數(shù)學(xué)奧林匹克上的表現(xiàn)）的預(yù)印本論文，像一面冷峻的鏡子，照見了AI數(shù)學(xué)“天才”光環(huán)下令人不安的陰影。研究團隊讓包括O3-MINI、Claude 3.7在內(nèi)的六款當(dāng)前最先進的AI推理模型，挑戰(zhàn)了真正考驗數(shù)學(xué)思維深度——需要嚴(yán)格證明的美國數(shù)學(xué)奧林匹克（USAMO）2025年的題目。下圖展示了其中兩道題目的示例：
圖注：USAMO題目不僅要求答案，更要求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明過程，考察深度邏輯推理能力。來源：《Proof or Bluff?》Fig. 1[8]
結(jié)果如何？平均得分低于5%！與它們在AIME等只需給出數(shù)值答案的測試中的輝煌戰(zhàn)績形成了刺眼的對比。更令人困惑的是，幾乎所有模型在提交了幾乎完全錯誤的解答后，都自信滿滿地宣稱“問題已解決”。這戲劇性的反轉(zhuǎn)不禁讓人脊背發(fā)涼：那個在計算題上所向披靡的AI“學(xué)霸”，為何在需要真正“講道理”的證明題面前，竟顯得如此不堪一擊？這究竟是技術(shù)發(fā)展中的暫時性瓶頸，還是暴露了當(dāng)前AI范式難以逾越的根本性鴻溝？這背后隱藏的，是對AI能力邊界、乃至人類智能獨特性的深刻追問。
深入探秘：USAMO測試的特殊挑戰(zhàn)
要理解這場AI的“滑鐵盧”，我們首先需要認(rèn)識USAMO（美國數(shù)學(xué)奧林匹克）究竟是何方神圣。在全球數(shù)學(xué)競賽的金字塔體系中，其層級關(guān)系大致如下：
圖注：全球數(shù)學(xué)競賽體系層級示意圖，USAMO是通往IMO的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。信息來源：MAA官網(wǎng)[9]及維基百科[10]
USAMO正是這個體系中承上啟下的關(guān)鍵一環(huán)，是通往IMO國家隊的“試金石”。與AIME側(cè)重計算技巧和快速得出數(shù)值答案不同，USAMO的靈魂在于證明。它要求參賽者在極長時間內(nèi)（兩天，每天4.5小時）完成6道高難度題目，每一題都需要提供完整、嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯無懈可擊的數(shù)學(xué)證明，正如 Art of Problem Solving網(wǎng)站上的USAMO介紹[11] 所述。
數(shù)學(xué)證明，絕非僅僅是“算出答案”。它是一門要求深刻理解概念、靈活運用定理、構(gòu)建邏輯鏈條、甚至需要創(chuàng)造性洞察的藝術(shù)。從 歐幾里得《幾何原本》[12] 奠定公理化范式，到現(xiàn)代數(shù)學(xué)家借助形式化語言和 Lean[13]、Coq[14] 等計算機輔助證明工具驗證復(fù)雜猜想，證明的標(biāo)準(zhǔn)在不斷演進，但其核心——對真理的嚴(yán)謹(jǐn)追求和深刻理解——從未改變。正如數(shù)學(xué)教育專家指出的，USAMO的獨特價值在于它彌補了傳統(tǒng)教育中對證明寫作和開放性問題解決能力訓(xùn)練的不足，真正考察的是學(xué)生是否具備未來數(shù)學(xué)研究所需的深度思維能力（可參考數(shù)學(xué)家 Tanya Khovanova的博客文章[15]）。例如，USAMO 2025年的一道題目涉及到一個復(fù)雜的無限城市布局博弈，要求參賽者不僅要理解游戲規(guī)則，更要構(gòu)建全局策略并證明其完備性，融合了組合游戲、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和形式邏輯（見 2025 USAMO 題目列表[16]）。這與AIME中常見的、可以通過標(biāo)準(zhǔn)技巧求解的代數(shù)或計算幾何題，在認(rèn)知要求上有著天壤之別。
正是USAMO的這種獨特性，使其成為了檢驗AI真實數(shù)學(xué)推理能力的“照妖鏡”。研究團隊深知這一點，因此設(shè)計了極其嚴(yán)格的評估流程：邀請了四位具有前IMO國家隊成員背景的數(shù)學(xué)專家組成評審團，采用與人類競賽完全相同的7分制評分標(biāo)準(zhǔn)，對AI生成的每一份證明進行獨立、細(xì)致的交叉評估。被測試的六款模型，包括聲名赫赫的O3-MINI和Claude 3.7，都是當(dāng)前公認(rèn)的推理能力佼佼者。這場測試，無疑是對AI數(shù)學(xué)能力的一次前所未有的“深度體檢”。
揭秘結(jié)果：AI的數(shù)學(xué)"滑鐵盧"
測試結(jié)果令人瞠目結(jié)舌。在總共近150份（6個模型 x 6道題 x 4次運行）AI生成的解答中，沒有任何一份獲得滿分7分。所有模型的平均得分都**低于5%**，即在滿分42分的測試中，平均得分不到2.1分。即使是此前在AIME模擬中表現(xiàn)最搶眼的O3-MINI，其平均得分也僅為0.9分，與人類頂尖選手的表現(xiàn)相去甚遠(yuǎn)。這份慘淡的成績單（詳見下表），與AI在數(shù)值計算、模式識別等任務(wù)上的高光表現(xiàn)形成了強烈的、幾乎是諷刺性的對比。
表格注：展示了各AI模型在USAMO 2025六個問題上的平均得分（滿分7分/題）和總平均分。數(shù)據(jù)來源：《Proof or Bluff?》Table 1[17]
更令人不安的是AI表現(xiàn)出的“虛假自信”。研究報告指出，幾乎所有模型在提交解答時，都使用了諸如“我們已經(jīng)成功證明了…”、“因此，結(jié)論成立…”等確定性表述，完全無視其證明過程中存在的明顯邏輯漏洞或前提錯誤。這種現(xiàn)象，在AI領(lǐng)域被稱為“幻覺”（Hallucination），但在數(shù)學(xué)這個對精確性要求極高的領(lǐng)域，其潛在危害遠(yuǎn)超文學(xué)創(chuàng)作中的“一本正經(jīng)胡說八道”。想象一下，如果一個用于藥物研發(fā)或橋梁設(shè)計的AI系統(tǒng)，以同樣的自信提交了基于錯誤數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方案，后果將不堪設(shè)想（關(guān)于AI幻覺風(fēng)險的討論，可參考 Science AI Chat的相關(guān)文章[18] 或 這篇關(guān)于AI幻覺的綜述[19]）。
雪上加霜的是，研究團隊還發(fā)現(xiàn)，讓AI模型（O3-MINI和Claude 3.7）來評估其他AI生成的證明時，其評分結(jié)果與人類專家評分存在驚人的偏差——AI評分平均比人類專家評分高出近20倍！這意味著AI不僅自身在進行嚴(yán)格數(shù)學(xué)推理時存在嚴(yán)重問題，甚至連識別自身或其他AI錯誤的能力也極其有限。這無疑給那些希望通過AI自監(jiān)督學(xué)習(xí)或相互評估來提升推理能力的技術(shù)路線蒙上了一層厚厚的陰影。
表格注：對比了人類專家與AI模型對各模型解答的評分，并計算了AI評分相對人類評分的平均倍數(shù)。數(shù)據(jù)來源：《Proof or Bluff?》Table 2[20]
破解之謎：AI的數(shù)學(xué)思維缺陷
為何AI會在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明面前如此脆弱？研究團隊通過對AI錯誤解答的細(xì)致分析，歸納出四大“致命弱點”：
圖注：根據(jù)《Proof or Bluff?》研究中對AI失敗模式的分類和大致比例繪制。邏輯錯誤是最主要的失敗原因。
邏輯斷鏈 (Flawed Logic):這是最常見的失敗模式（如上圖所示，占比最高）。AI生成的證明往往在推理鏈條的中間環(huán)節(jié)出現(xiàn)斷裂。例如，論文附錄C.1.1中提到，在一個需要證明所有指標(biāo)都滿足某個性質(zhì)的問題中，Claude 3.7模型在證明了單個指標(biāo)滿足該性質(zhì)后，便錯誤地將其泛化至所有指標(biāo)，跳過了關(guān)鍵的歸納或推廣步驟。這種錯誤并非簡單的計算失誤，而是深層次邏輯推理能力的缺失。技術(shù)上，這與當(dāng)前主流Transformer架構(gòu)在處理長序列依賴和維持嚴(yán)格邏輯一致性上的固有局限密切相關(guān)，正如 一篇分析Transformer推理能力局限的論文[21] 所指出的。Transformer本質(zhì)上是基于概率的模式匹配器，而非嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬔堇[機。
創(chuàng)造力沙漠 (Lack of Creativity):AI在面對需要新穎思路或多種策略組合的問題時，表現(xiàn)出驚人的“固執(zhí)”。它們往往會反復(fù)嘗試同一種（通常是錯誤的）解題路徑，即使多次運行也無法跳出思維定式。論文附錄C.1.2指出，在USAMO 2025年第3題那個復(fù)雜的博弈問題上，O3-MINI從一開始就選擇了一個錯誤的方向，并且在后續(xù)所有嘗試中都未能進行有效的策略調(diào)整。唯一的例外是FLASH-THINKING，它會嘗試在一次運行中生成多種解題思路，但每種思路都淺嘗輒止，同樣無法達(dá)成有效證明（見附錄C.2）。這與人類數(shù)學(xué)家在遇到困難時能夠靈活轉(zhuǎn)換視角、進行類比推理或構(gòu)造反例的能力形成了鮮明對比，關(guān)于人機創(chuàng)造力對比可參考 哈佛商業(yè)評論的研究[22]。
假設(shè)陷阱 (Unjustified Assumptions):AI在證明過程中常常會引入未經(jīng)證實或完全錯誤的假設(shè)，并以此為基礎(chǔ)進行推導(dǎo)，構(gòu)建出看似嚴(yán)密實則基礎(chǔ)崩塌的“空中樓閣”。一個典型的例子是，在USAMO 2025年第4題的幾何證明中，O3-MINI錯誤地假設(shè)了某個點位于特定圓的外部（見附錄C.1.3），而實際上該點位于圓內(nèi)，導(dǎo)致后續(xù)基于切線性質(zhì)的論證完全失效。同樣，過度泛化小樣本觀察結(jié)果也是常見問題，比如FLASH-THINKING在測試了幾個具體多項式后，便輕率地將其結(jié)論推廣到所有多項式（見附錄C.4）。
優(yōu)化陷阱：AI被“訓(xùn)”出來的壞習(xí)慣 (Training Artifacts):當(dāng)前AI模型的訓(xùn)練方法，尤其是基于強化學(xué)習(xí)的優(yōu)化策略（如 GRPO[23]），也無意中塑造了一些不利于嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)思維的“壞習(xí)慣”。最典型的就是“答案框選”（Answer Boxing）現(xiàn)象。研究發(fā)現(xiàn)，即使在USAMO這類根本不需要提供最終數(shù)值答案的證明題中，像QWQ這樣的模型也常常會“畫蛇添足”地在結(jié)尾處用
\boxed{}框出一個（通常是無關(guān)緊要或錯誤的）數(shù)值（見附錄C.3）。這很可能是因為模型在訓(xùn)練中習(xí)慣了那些需要框出最終答案才能獲得獎勵的任務(wù)，從而錯誤地將這種行為泛化到了所有數(shù)學(xué)問題上。這種為了迎合訓(xùn)練目標(biāo)而產(chǎn)生的行為偏差，恰恰說明模型并未真正“理解”問題的本質(zhì)，關(guān)于GRPO的潛在問題可參考 這篇技術(shù)博客[24]。
這四大缺陷相互交織，共同構(gòu)成了當(dāng)前AI在高級數(shù)學(xué)推理上的“阿喀琉斯之踵”。它們揭示了一個核心問題：AI或許擅長模仿（Mimicry），但距離真正的理解（Understanding）和創(chuàng)造（Creation）仍有遙遠(yuǎn)距離。
人類數(shù)學(xué)家的獨特優(yōu)勢
AI在USAMO上的失敗，恰恰反襯出人類數(shù)學(xué)思維的獨特光芒。究竟是什么讓人類數(shù)學(xué)家能夠駕馭抽象概念、構(gòu)建嚴(yán)謹(jǐn)證明、實現(xiàn)創(chuàng)造性突破？認(rèn)知科學(xué)和數(shù)學(xué)史的研究為我們提供了一些線索：
概念性思維 (Conceptual Thinking):人類并非僅僅在操作符號，我們能夠真正理解抽象數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，把握它們之間的深層聯(lián)系。認(rèn)知科學(xué)研究表明，這種能力源于我們通過具身經(jīng)驗（如物理互動、空間導(dǎo)航）和符號系統(tǒng)（語言、數(shù)學(xué)符號）的協(xié)同作用，逐步構(gòu)建起從具體到抽象的認(rèn)知階梯，正如 《認(rèn)知雜志》的一項研究[25] 所揭示的。我們能“看見”數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，比如黎曼“看見”彎曲空間，瑟斯頓“看見”三維流形的幾何分解（關(guān)于數(shù)學(xué)可視化，可參考 數(shù)學(xué)家對可視化體驗的描述[26] 或 維基百科關(guān)于數(shù)學(xué)可視化的條目[27]）。這種基于理解的“視覺洞察”，是當(dāng)前AI基于模式匹配的“計算視覺”所無法比擬的。
直覺與創(chuàng)造力 (Intuition and Creativity):數(shù)學(xué)史上眾多重大突破，如伽羅瓦創(chuàng)立群論、康托爾發(fā)現(xiàn)無窮集合的不同基數(shù)、高斯構(gòu)想非歐幾何，都源于超越當(dāng)時形式邏輯框架的直覺閃光（數(shù)學(xué)直覺的案例[28]）。神經(jīng)科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)創(chuàng)造力與大腦中默認(rèn)模式網(wǎng)絡(luò)（DMN）和執(zhí)行控制網(wǎng)絡(luò)（ECN）的靈活切換有關(guān)，允許我們在發(fā)散思維和聚焦驗證之間取得精妙平衡（見 Frontiers in Psychology的研究[29]）。這種源于生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜動態(tài)的創(chuàng)造性火花，是目前基于Transformer等相對靜態(tài)結(jié)構(gòu)的AI難以模擬的。
元認(rèn)知與自我監(jiān)控 (Metacognition and Self-Monitoring):人類數(shù)學(xué)家在解決問題時，能夠進行高層次的元認(rèn)知活動——監(jiān)控自己的思考過程，評估策略的有效性，識別潛在的錯誤，并靈活調(diào)整方向（關(guān)于數(shù)學(xué)元認(rèn)知的研究可參考 這篇綜述[30] 或 維基百科關(guān)于元認(rèn)知的條目[31]）。專業(yè)數(shù)學(xué)家在檢查證明時，會系統(tǒng)性地運用反例檢驗、結(jié)構(gòu)分解、依賴關(guān)系分析等方法，正如 [Rutgers大學(xué)的研究](https://sites.math.rutgers.edu/~jpmejia/files/Weber_(2008JRME "Rutgers大學(xué)的研究").pdf) 所描述的。這種“知道自己知道什么，知道自己不知道什么”的能力，與AI那高達(dá)20倍的評分誤差和虛假自信形成了鮮明對比。
正是這些深植于生物基礎(chǔ)和長期演化之上的認(rèn)知能力，構(gòu)成了人類在高級數(shù)學(xué)思維領(lǐng)域難以被輕易取代的核心優(yōu)勢。
未來之路：突破數(shù)學(xué)AI的天花板
USAMO測試的結(jié)果并非宣判AI數(shù)學(xué)能力的“死刑”，而是更清晰地指明了未來發(fā)展的方向和挑戰(zhàn)。當(dāng)前的困境，恰恰是通往更強大、更通用人工智能的必經(jīng)之路。
短期內(nèi)（未來1-3年），AI最現(xiàn)實的角色是增強型數(shù)學(xué)助手。它們可以在文獻(xiàn)檢索、模式發(fā)現(xiàn)、計算驗證、形式化證明轉(zhuǎn)換等方面極大提升人類數(shù)學(xué)家的工作效率。正如DeepMind與悉尼大學(xué)合作證明卡日丹-盧斯蒂格猜想（見Nature論文[32]），以及Lean4-Mathlib系統(tǒng)加速定理形式化（見專家觀點[33]）所展示的那樣，AI可以成為強大的“副駕駛”，將研究者從繁瑣的事務(wù)中解放出來，聚焦于更具創(chuàng)造性的核心問題。
中期來看（未來3-7年），神經(jīng)符號系統(tǒng)（Neuro-Symbolic AI）被寄予厚望。這種架構(gòu)試圖將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)強大的模式識別、直覺啟發(fā)能力與符號系統(tǒng)（如邏輯推理引擎、定理證明器）的嚴(yán)謹(jǐn)性、可解釋性結(jié)合起來（了解神經(jīng)符號AI[34]）。AlphaProof和AlphaGeometry 2的成功已經(jīng)初步驗證了這條路徑的潛力。未來，更成熟的神經(jīng)符號系統(tǒng)有望克服純粹基于Transformer架構(gòu)的邏輯推理瓶頸，在更廣泛的數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)可靠的證明生成與驗證。
長期而言（未來7年以上），真正的突破可能需要借鑒認(rèn)知科學(xué)和神經(jīng)科學(xué)的發(fā)現(xiàn)，構(gòu)建更接近人腦工作原理的AI架構(gòu)。模擬前額葉-頂葉網(wǎng)絡(luò)的協(xié)同工作機制，實現(xiàn)概念抽象、直覺涌現(xiàn)和元認(rèn)知監(jiān)控，或許是通向通用人工智能（AGI）級數(shù)學(xué)能力的關(guān)鍵（相關(guān)討論[35]）。
與此同時，人機協(xié)作將是貫穿始終的主旋律。未來的數(shù)學(xué)研究很可能演變成一種全新的范式，如下圖所示：
圖注：未來數(shù)學(xué)研究可能形成人機協(xié)同的閉環(huán)，人類負(fù)責(zé)高層次創(chuàng)造性工作，AI負(fù)責(zé)規(guī)模化探索與驗證。
這種協(xié)同將極大地加速數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用（人機協(xié)作案例[36]）。
結(jié)語：數(shù)學(xué)智能的未解之謎
AI在USAMO上的“驚人失敗”，如同一聲警鐘，提醒我們在人工智能的浪潮中保持清醒和審慎。它揭示了當(dāng)前AI能力的真實邊界——在模式識別和計算任務(wù)上高歌猛進的同時，在需要深度理解、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)和創(chuàng)造性思維的高階認(rèn)知領(lǐng)域，依然步履蹣跚。這種在邏輯證明上的“集體失敗”，是否暗示了當(dāng)前基于大數(shù)據(jù)的“暴力計算”范式在通往AGI道路上的根本性障礙？這對于AI產(chǎn)業(yè)的投資邏輯和技術(shù)路線選擇，無疑提出了新的思考方向，值得每一位科技從業(yè)者和決策者深思。
這次“滑鐵盧”并非否定AI的巨大潛力，而是為我們提供了一個寶貴的契機，去重新審視和理解智能的本質(zhì)。數(shù)學(xué)，作為人類理性思維的巔峰，成為了檢驗機器智能深度和廣度的終極試煉場。AI的挑戰(zhàn)，反過來也促使我們更深刻地思考：什么是真正的數(shù)學(xué)理解？直覺和創(chuàng)造力在知識發(fā)現(xiàn)中扮演著怎樣不可替代的角色？人類認(rèn)知的獨特性究竟體現(xiàn)在何處？（關(guān)于AI對數(shù)學(xué)哲學(xué)的啟示，可參考 相關(guān)研究[37]）。AI的“數(shù)學(xué)幻覺”，或許也為我們理解人類意識、直覺和創(chuàng)造力的某種不可計算性，提供了新的側(cè)面證據(jù)。
未來，數(shù)學(xué)與AI的關(guān)系，更可能是共同進化而非簡單替代。AI將成為數(shù)學(xué)家探索未知世界的強大工具，拓展我們認(rèn)知的邊界；而人類的直覺、創(chuàng)造力和批判性思維，將繼續(xù)引領(lǐng)數(shù)學(xué)發(fā)展的方向。正如 Terence Tao[38] 等頂尖數(shù)學(xué)家所預(yù)見的那樣，我們正在進入一個“人機協(xié)同”的新數(shù)學(xué)時代。在這個時代，理解AI的局限與優(yōu)勢，發(fā)揮人類智能的獨特價值，將是推動科學(xué)進步的關(guān)鍵。人機協(xié)作的未來，是否會催生一種全新的“數(shù)學(xué)物種”或研究范式，徹底改變知識生產(chǎn)的方式？這對我們的教育體系，尤其是旨在培養(yǎng)下一代創(chuàng)新者的STEM教育，又提出了哪些迫切的改革要求？數(shù)學(xué)之謎依然深邃，而探索這個謎題的旅程，將因為AI的加入而變得更加波瀾壯闊。
參考資料
AlphaProof與AlphaGeometry 2組合系統(tǒng): https://deepmind.google/discover/blog/ai-solves-imo-problems-at-silver-medal-level/
卡日丹-盧斯蒂格多項式: https://phys.org/news/2021-12-maths-hail-breakthrough-applications-artificial.html
AlphaTensor發(fā)現(xiàn)超越人類已知最優(yōu)解的矩陣乘法算法: https://www.nature.com/articles/s41586-022-05172-4
O3-MINI: https://openai.com/index/openai-o3-mini/
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MathArena: https://matharena.ai/
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86.7%的驚人準(zhǔn)確率: https://www.vals.ai/benchmarks/aime-2025-03-28
[7]
《Proof or Bluff? Evaluating LLMs on 2025 USA Math Olympiad》: https://arxiv.org/abs/2503.21934v1
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《Proof or Bluff?》Fig. 1: https://arxiv.org/abs/2503.21934v1
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MAA官網(wǎng): https://maa.org/maa-invitational-competitions/
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維基百科: https://en.wikipedia.org/wiki/United_States_of_America_Mathematical_Olympiad
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Art of Problem Solving網(wǎng)站上的USAMO介紹: https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/United_States_of_America_Mathematical_Olympiad
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歐幾里得《幾何原本》: https://en.wikipedia.org/wiki/Euclid%27s_Elements
[13]
Lean: https://leanprover.github.io/
[14]
Coq: https://coq.inria.fr/
[15]
Tanya Khovanova的博客文章: https://blog.tanyakhovanova.com/2009/03/amc-aime-usamo-contradiction/
[16]
2025 USAMO 題目列表: https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2025_USAMO_Problems
[17]
《Proof or Bluff?》Table 1: https://arxiv.org/abs/2503.21934v1
Science AI Chat的相關(guān)文章: https://www.scienceos.ai/science-ai-chat/what-are-risks-of-ai-hallucinations-in-science/
這篇關(guān)于AI幻覺的綜述: https://en.wikipedia.org/wiki/Hallucination_(artificial_intelligence)
《Proof or Bluff?》Table 2: https://arxiv.org/abs/2503.21934v1
[21]
一篇分析Transformer推理能力局限的論文: https://arxiv.org/abs/2405.00352
[22]
哈佛商業(yè)評論的研究: https://www.library.hbs.edu/working-knowledge/generative-ai-and-creative-problem-solving
[23]
GRPO: https://huggingface.co/blog/NormalUhr/grpo
[24]
這篇技術(shù)博客: https://blog.gopenai.com/the-achilles-heel-of-reasoning-exploiting-group-dynamics-in-grpo-trained-language-models-ec9627ba7943
[25]
《認(rèn)知雜志》的一項研究: https://journalofcognition.org/articles/10.5334/joc.214
[26]
數(shù)學(xué)家對可視化體驗的描述: https://www.reddit.com/r/mathematics/comments/12znjzi/visualization_in_mathematics/
[27]
維基百科關(guān)于數(shù)學(xué)可視化的條目: https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_visualization
[28]
數(shù)學(xué)直覺的案例: https://www.intelligence-and-iq.com/what-are-the-most-shocking-mathematical-discoveries-that-challenged-mathematicians-intuition/
[29]
Frontiers in Psychology的研究: https://www.frontiersin.org/journals/psychology/articles/10.3389/fpsyg.2024.1400328/full
[30]
這篇綜述: https://www.semanticscholar.org/paper/f38cd57e9ecf65d77cab780b0d05aa1ef76c354a
[31]
維基百科關(guān)于元認(rèn)知的條目: https://en.wikipedia.org/wiki/Metacognition
[32]
見Nature論文: https://www.nature.com/articles/s41586-021-04086-x
[33]
見專家觀點: https://epoch.ai/frontiermath/expert-perspectives
[34]
了解神經(jīng)符號AI: https://en.wikipedia.org/wiki/Neuro-symbolic_AI
[35]
相關(guān)討論: https://epoch.ai/frontiermath/expert-perspectives
[36]
人機協(xié)作案例: https://www.nature.com/articles/s41586-021-04086-x
[37]
相關(guān)研究: https://www.v500.com/philosophy-mathematics-artificial-intelligence/
[38]
Terence Tao: https://mathscholar.org/2024/10/terence-taos-vision-of-ai-assistants-in-research-mathematics/
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