馬驍，2014年考入中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)少年班學(xué)院，2015年被華羅庚數(shù)學(xué)科技英才班錄取，2023年獲普林斯頓大學(xué)博士學(xué)位，現(xiàn)為密歇根大學(xué)Donald J.Lewis助理教授。主要研究領(lǐng)域?yàn)榉治鰧W(xué)與動(dòng)力學(xué)理論，聚焦數(shù)學(xué)物理中的核心問題。
近期， 他與芝加哥大學(xué)鄧煜教授、密歇根大學(xué)Zaher Hani教授合作，在希爾伯特第六問題的研究中取得重要進(jìn)展( )。兩篇合作論文自預(yù)印本平臺(tái)發(fā)布以來，受到國(guó)際同行高度關(guān)注。什么是希爾伯特第六問題？這一重要進(jìn)展對(duì)于數(shù)學(xué)和物理學(xué)有何意義？小墨有幸采訪了馬驍博士，并邀請(qǐng)他回答了這些問題。
什么是希爾伯特第六問題？
小墨：什么是希爾伯特第六問題？
馬驍：希爾伯特第六問題的核心在于 「物理學(xué)的公理化」，即通過選取一組最基本的物理學(xué)定律，系統(tǒng)地推導(dǎo)出其余的物理學(xué)定律。在希爾伯特所處的時(shí)代，這一問題有著明確的討論背景：當(dāng)時(shí)物理學(xué)的主要理論框架是經(jīng)典力學(xué)，幾乎所有已知的物理學(xué)定律都可以視作牛頓運(yùn)動(dòng)定律的推論。因此，嘗試建立一個(gè)基于牛頓力學(xué)的公理化體系在當(dāng)時(shí)是合理且具備理論意義的。
然而，隨著相對(duì)論和量子力學(xué)的誕生與發(fā)展，物理學(xué)的基礎(chǔ)變得更加復(fù)雜和多樣化。在量子物理，尤其是量子場(chǎng)論中，部分基礎(chǔ)物理定律本身尚未被完全理解，公理化當(dāng)然更無從談起。盡管如此，希爾伯特在提出這一宏大問題時(shí)，作出了一個(gè)較為具體的補(bǔ)充： 他希望在牛頓運(yùn)動(dòng)定律的基礎(chǔ)上，嚴(yán)格推導(dǎo)出宏觀現(xiàn)象中常見的連續(xù)性方程，例如流體力學(xué)中的納維-斯托克斯方程。因此，希爾伯特第六問題的一個(gè)具體化版本便是流體力學(xué)的公理化問題，即能否從牛頓運(yùn)動(dòng)定律出發(fā)，推導(dǎo)出流體運(yùn)動(dòng)方程，使流體力學(xué)成為數(shù)學(xué)的一個(gè)子學(xué)科。
▲戴維·希爾伯特（David Hilbert，1862—1943）。在1900年的世界數(shù)學(xué)大會(huì)上，希爾伯特發(fā)表了題為《數(shù)學(xué)問題》的著名講演，提出了23個(gè)最重要的數(shù)學(xué)問題。
小墨：可否分享下您開始研究希爾伯特第六問題的契機(jī)，研究過程遇到了哪些挑戰(zhàn)？
馬驍：首先要說明的是，我們并未解決全部的希爾波特第六問題， 我們是在兩個(gè)特定假設(shè)之下，解決了希爾伯特第六問題。 一個(gè)是只考慮硬球散射系統(tǒng)；另一個(gè)是只考慮玻爾茲曼的動(dòng)力學(xué)理論。在我們之前，沒有任何工作可以從數(shù)學(xué)上完全嚴(yán)格推導(dǎo)出任何合理的流體方程，我們的工作主要意義就是第一次在一個(gè)特殊情況下可以嚴(yán)格推導(dǎo)出納維-斯托克斯方程。
▲論文地址：
我的兩位合作者，鄧煜是我普林斯頓大學(xué)的同門師兄；Zaher Hani是我博士后期間的合作老師。此前，我了解到他們兩位在波湍流的動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域取得了一些進(jìn)展。我感到這些進(jìn)展可能會(huì)與粒子系統(tǒng)、玻爾茲曼方程以及流體力學(xué)相關(guān)。于是我就與他們聯(lián)系，共同論證這個(gè)設(shè)想的可行性，經(jīng)過三四個(gè)月的初期論證，我們確認(rèn)這個(gè)想法是可行的。
我們的工作也遇到過一些挑戰(zhàn)。在最開始的三四個(gè)月中，因?yàn)槲锢韴D像缺乏，我們忽略了一個(gè)重要的問題，即微觀粒子系統(tǒng)的可逆性和宏觀流體方程的不可逆性的矛盾。微觀粒子系統(tǒng)滿足牛頓第二定律，是時(shí)間可逆的；而宏觀的納維-斯托克斯方程，因?yàn)橛泻纳⑿裕皇菚r(shí)間可逆的。這個(gè)矛盾給證明帶來一定的困難，所以走了一些彎路。
從“可逆”到“不可逆”的跨越
小墨：您認(rèn)為您們解決的問題，對(duì)于當(dāng)下和未來的科學(xué)研究會(huì)產(chǎn)生怎樣的影響呢？
馬驍：對(duì)物理學(xué)界來說，我認(rèn)為我們的研究會(huì)在基礎(chǔ)理論層面，帶來對(duì)不可逆性更深刻的理解。而對(duì)于物理學(xué)的基礎(chǔ)理論有多大的影響，我認(rèn)為應(yīng)該交由物理學(xué)家來評(píng)判。在數(shù)學(xué)方面，我們真正實(shí)現(xiàn)了 在特定情況下，把整條從粒子系統(tǒng)到宏觀的不可逆方程的路徑走通。粒子系統(tǒng)是一個(gè)龐大的領(lǐng)域，和大量的其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域相關(guān)。 在我們之前，有大量研究已經(jīng)證明，可以從微觀的牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律推出某個(gè)宏觀的方程。但重要的是，在此之前，大家只會(huì)在微觀和宏觀均為可逆性的情況下開展研究。 現(xiàn)在，不可逆的情形也可以做研究，這意味著以前那些因?yàn)椴豢赡嫘钥ㄗ〉膯栴}，現(xiàn)在都可能會(huì)有進(jìn)展。
小墨：您覺得您的研究結(jié)果，未來有可能應(yīng)用到量子領(lǐng)域嗎？
馬驍：我們的研究結(jié)果，可以對(duì)應(yīng)到量子力學(xué)中開放量子系統(tǒng)的問題。開放量子系統(tǒng)是當(dāng)一個(gè)有限的量子系統(tǒng)，放在噪聲環(huán)境下的行為。我們的研究對(duì)于量子計(jì)算非常重要。因?yàn)榱孔佑?jì)算中有一個(gè)經(jīng)典現(xiàn)象叫做 退相干。就是說把量子計(jì)算機(jī)放在噪聲的環(huán)境下，這個(gè)量子計(jì)算機(jī)的行為就會(huì)退化到經(jīng)典計(jì)算機(jī)的行為， 這是現(xiàn)在量子計(jì)算機(jī)制造的主要瓶頸之一。
現(xiàn)在主流的開放量子系統(tǒng)方向的研究，主要聚焦在有限的、與環(huán)境沒有相互作用的量子系統(tǒng)。 例如假設(shè)環(huán)境無相互作用，研究有限的小的量子系統(tǒng)和環(huán)境的交互。如果未來去研究一些，環(huán)境會(huì)相互作用的情況，可能會(huì)出現(xiàn)一些非線性的方程。也許我們的工作會(huì)對(duì)這方面的理解有幫助。但無論如何，我們的研究在物理學(xué)上的應(yīng)用必須交給物理學(xué)家來判斷。
科學(xué)研究需要“跨學(xué)科思維”
小墨：如果未來想要更多了解您這個(gè)研究領(lǐng)域，您覺得有哪些入門書籍、文章，或者知名學(xué)者的作品值得推薦呢？
馬驍：這個(gè)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)研究相對(duì)比較難，前面的數(shù)學(xué)研究成果很多，但結(jié)果相對(duì)散亂，很難被整理成書籍。如果對(duì)我們這個(gè)方向感興趣的話，建議去讀 統(tǒng)計(jì)物理、非平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理、動(dòng)力學(xué)相關(guān)理論、偏微分方程里的經(jīng)典理論等領(lǐng)域的入門書。另一個(gè)相關(guān)的方向是，從粒子系統(tǒng)推出可逆的方程，那些研究相對(duì)沒有那么難，文獻(xiàn)更豐富，有成熟的書籍可以閱讀，比如 粒子系統(tǒng)的平均場(chǎng)理論等。
小墨：對(duì)于立志報(bào)考中國(guó)科大少年班的同學(xué)，或者對(duì)數(shù)學(xué)和物理比較感興趣的學(xué)生，您對(duì)他們未來的學(xué)習(xí)和研究有什么建議呢？
馬驍：非常歡迎未來的學(xué)弟學(xué)妹們報(bào)考中國(guó)科大！我建議大家在學(xué)習(xí)過程中，不要拘泥于課本上的知識(shí)，要積極拓展視野，多接觸新的信息，豐富自己的知識(shí)面。平時(shí)可以嘗試做一個(gè) “名詞黨”，遇到有趣的概念或術(shù)語(yǔ)時(shí)，不妨多向互聯(lián)網(wǎng)上的前輩或者AI請(qǐng)教，保持好奇心和求知欲。對(duì)于數(shù)學(xué)、物理等基礎(chǔ)學(xué)科，由于發(fā)展歷史悠久，不同方向的研究進(jìn)展差異很大。有些研究方向因?yàn)殚L(zhǎng)期受到關(guān)注，許多基礎(chǔ)性的問題早已得到解決，要在這些領(lǐng)域取得突破變得極為困難。因此，學(xué)生如果能夠開闊眼界、廣泛涉獵，就能更早意識(shí)到哪些方向具有研究?jī)r(jià)值，從而在學(xué)術(shù)道路上做出更為明智的選擇。
小墨：您認(rèn)為，對(duì)于目前處于研究生或者博士生階段，想要在這個(gè)科學(xué)研究領(lǐng)域繼續(xù)做出創(chuàng)新的人來說，做科研最重要的品質(zhì)是什么呢？
馬驍：我覺得最重要的品質(zhì)是多花時(shí)間了解所有自己可以接觸的研究方向?，F(xiàn)階段數(shù)學(xué)、物理已經(jīng)發(fā)展了很多年，還沒有被研究透的，往往都是真正有困難的問題。這種困難往往很難在本學(xué)科的范圍內(nèi)解決。 當(dāng)下很多重要問題的突破都來自于跨學(xué)科研究，即一個(gè)學(xué)科的研究進(jìn)展被遷移到其他學(xué)科。所以如果想要做出重大成果，知識(shí)面必須要廣，這樣可以快速找到有價(jià)值的研究方向，當(dāng)遇到真正的難題時(shí)，可以通過跨學(xué)科的方法取得突破。
小墨：您認(rèn)為未來數(shù)學(xué)、物理的交叉領(lǐng)域，有哪些方向是值得關(guān)注的呢？另外您認(rèn)為人工智能等新技術(shù)會(huì)不會(huì)對(duì)未來的數(shù)學(xué)研究產(chǎn)生影響？
馬驍：第一個(gè)問題，首先我認(rèn)為在數(shù)學(xué)與物理這個(gè)交叉方向中，最近取得的比較突破性的進(jìn)展往往都出現(xiàn)在 統(tǒng)計(jì)物理中。比如與概率學(xué)、量子場(chǎng)論相關(guān)的方向。在這些方向中，之前物理學(xué)家通過不嚴(yán)格的手段和方式，積攢了大量的正確結(jié)果和大量的幾個(gè)對(duì)象之間的模糊聯(lián)系。隨著統(tǒng)計(jì)學(xué)和概率論的極大發(fā)展，數(shù)學(xué)工具逐漸成熟，現(xiàn)在取得了比較大的進(jìn)展。如果大三、大四的學(xué)生在決定今后投身的科研方向，我認(rèn)為這個(gè)方向是目前最有趣的，和量子場(chǎng)論、弦論、幾何、粒子系統(tǒng)、隨機(jī)矩陣等等都有關(guān)聯(lián)，有大量新的問題可以做。
數(shù)學(xué)和人工智能的交叉領(lǐng)域可以分為兩個(gè)方向來討論。
首先是數(shù)學(xué)在人工智能中的應(yīng)用。目前，這一方向的研究狀況有些類似于20年前數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理之間的關(guān)系：雖然數(shù)學(xué)在人工智能中逐漸展現(xiàn)出一定的作用，但整體上還不夠成熟。計(jì)算機(jī)科學(xué)家尚未完全理解“智能”的本質(zhì)，而數(shù)學(xué)工具本身也在不斷演化和完善。因此，選擇這一方向具有一定風(fēng)險(xiǎn)。然而，近年來在大語(yǔ)言模型和機(jī)器學(xué)習(xí)基礎(chǔ)理論方面，數(shù)學(xué)與人工智能的結(jié)合已經(jīng)初見端倪，涌現(xiàn)出一些有前景的交叉研究成果。盡管這一領(lǐng)域尚處于起步階段，取得突破的難度較大，但如果能在這一方向上實(shí)現(xiàn)進(jìn)展，可能會(huì)帶來深遠(yuǎn)而重大的影響。
其次是人工智能在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。這個(gè)方向正處于爆發(fā)的前夜，許多數(shù)學(xué)家已經(jīng)開始利用大語(yǔ)言模型進(jìn)行自動(dòng)定理證明，并取得了一些實(shí)際成果。從這一趨勢(shì)來看，人工智能正在為數(shù)學(xué)研究提供全新的工具和方法。不過，需要注意的是，這一方向與數(shù)學(xué)的核心研究?jī)?nèi)容關(guān)聯(lián)相對(duì)較少，更多依賴于人工智能技術(shù)的進(jìn)步。因此，研究者在選擇這一方向時(shí)，仍需綜合考慮個(gè)人興趣和學(xué)術(shù)背景，謹(jǐn)慎評(píng)估投入與產(chǎn)出。
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