南方周末 2025-04-04 05:00:09
2025年3月17日至21日，北京國際數(shù)學研究中心舉辦了一場為期五天、主題為“運動學與希爾伯特第六問題的最近進展”的小型學術(shù)會議。
這項會議的主要內(nèi)容，就是邀請芝加哥大學助理教授鄧煜和密歇根大學唐納德·劉易斯研究助理教授馬曉，就他們和密歇根大學數(shù)學教授扎赫爾·哈尼 （Zaher Hani）合作完成的、最近提交在預印本網(wǎng)（arXiv）上的、關(guān)于希爾伯特第六問題的論文《希爾伯特第六問題：由玻爾茲曼運動學得出流體方程》做一個詳細的講解。
希爾伯特第六問題
1900年在巴黎舉行的第二屆國際數(shù)學家大會上，德國數(shù)學家大衛(wèi)·希爾伯特作了題為《數(shù)學問題》的演講。在這個演講中，希爾伯特提出了日后被稱為“希爾伯特問題”的23個當時還未解決的、他認為最重要的數(shù)學問題。圍繞這些問題的研究，在接下來的一百余年時間里，對數(shù)學的發(fā)展起到了積極的推動作用。
著名數(shù)學家希爾伯特。視覺中國|圖
其中的第六問題為“物理學的公理化”。
所謂“公理化”，指的是以幾條公理假設(shè)為基礎(chǔ)，以邏輯推導得出整個理論體系的方法。
在1900年這個時間來看，公理化是數(shù)學界的一個很重要的發(fā)展方向。
1889年，意大利數(shù)學家朱塞佩·皮亞諾 （Giuseppe Peano），在美國數(shù)學家查爾斯·桑德斯·皮爾士 （Charles Sanders Peirce）和德國數(shù)學家理查德·戴德金 （Richard Dedekind）的工作基礎(chǔ)上，提出了皮亞諾公理體系。這一公理體系，完成了對自然數(shù)和一階算數(shù)系統(tǒng)的公理化。
1899年，希爾伯特在其著作《幾何基礎(chǔ)》中提出了希爾伯特公理。這一公理體系完成了對歐幾里得幾何的現(xiàn)代公理化。
在這種背景下，希爾伯特提出了對物理學的公理化這一目標。對此，希爾伯特指出：“對于那些數(shù)學起重要作用的物理學領(lǐng)域，要按照數(shù)學的標準，將它們公理化。其中首先要解決的是概率論和力學。”
在所有的23個希爾伯特問題中，第六個問題顯得非常地與眾不同。
這一問題的提出對象，不是數(shù)學，而是與數(shù)學聯(lián)系極為緊密的物理學。而且，相較于其他22個描述非常具體明確的問題，希爾伯特第六問題顯得極為籠統(tǒng)概括。
在稍后的1902年，希爾伯特給出了第六問題的一個補充說明：“在我看來，對概率論的公理化研究，應當與數(shù)學物理，特別是氣體動力學的那些嚴格且令人滿意的發(fā)展相結(jié)合……玻爾茲曼關(guān)于力學基本原理的工作提出了這樣一個問題：如何在數(shù)學上發(fā)展那些僅被初步闡明的極限過程，進而從原子論的觀點推導出連續(xù)介質(zhì)的運動定律?！?/p>
從微觀到宏觀
希爾伯特第六問題的提出，在1900年這個時間節(jié)點上，也有著物理學上的意義。
在當時，牛頓力學歷經(jīng)兩百余年的發(fā)展，已經(jīng)成為了一門相當完善的理論，并且在工程學等領(lǐng)域有著相當成功的應用。以至于在當時，很多物理學家都相信，物理學這門學科已經(jīng)基本上完成了它的使命。
正如1907年諾貝爾物理學獎得主，美國物理學家阿爾伯特·邁克耳孫（Albert Michelson）所說：“……非常有可能的是，那些重要的基礎(chǔ)物理學定律都已經(jīng)穩(wěn)固建立了，而未來物理學前進的方向僅僅是在我們已經(jīng)關(guān)注到的物理現(xiàn)象中一絲不茍地應用那些定律而已。在定量工作比定性工作更受人追捧的現(xiàn)在，實驗測量展現(xiàn)出其無與倫比的重要性。某位知名物理學家也曾說過，未來物理科學的真理將在小數(shù)點后六位找到。”
對于1900年的物理學來說，牛頓力學體系已經(jīng)足以解釋絕大多數(shù)的物理學內(nèi)容。而描述氣體和液體的運動狀態(tài)的流體動力學，則顯得有些微妙。
一方面，在宏觀層面上，通過將流體視為連續(xù)介質(zhì)，瑞士數(shù)學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）在1757年發(fā)表的論文《流體運動的一般原理》中，給出了描述無黏性的理想流體運動的歐拉方程。
隨后，在1850年，經(jīng)過幾十年的研究，法國工程師和物理學家克洛德-路易·納維（Claude-Louis Navier）和愛爾蘭數(shù)學家和物理學家喬治·斯托克斯爵士（Sir George Stokes）提出了描述黏性流體運動的納維-斯托克斯方程。
另外一方面，在微觀層面上，17世紀以來對于熱力學的突破性發(fā)展，使科學家們開始重新思考物質(zhì)的結(jié)構(gòu)問題。1738年，瑞士數(shù)學家丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli）發(fā)表著作《流體力學》（Hydrodynamica）。在這一著作中，伯努利提出，氣體是由大量向各個方向運動的分子組成的，分子對表面的碰撞就是氣壓的成因，熱就是分子運動的動能。
1744年，俄國化學家米哈伊爾·羅蒙諾索夫（Mikhail Lomonosov）第一次明確提出熱現(xiàn)象是分子無規(guī)則運動的表現(xiàn)，并把機械能守恒定律應用到了分子運動的熱現(xiàn)象中。
這兩種從宏觀層面和微觀層面對于流體的解釋，就產(chǎn)生了一個很自然的問題：怎么統(tǒng)一這兩種看上去完全不同的理論體系。
1859年，英國物理學家詹姆斯·麥克斯韋（James Maxwell）提出了氣體分子的麥克斯韋速度分布律。這一分布律說明，某一特定分子的速度大小是不可預知的，且運動方向也是隨機的。但在平衡態(tài)下，對大量氣體分子而言，它們的速度分布卻遵從一定的統(tǒng)計規(guī)律。這是物理學史上第一個統(tǒng)計定律。
1871年，奧地利物理學家路德維希·玻爾茲曼（Ludwig Boltzmann）推廣了麥克斯韋的工作，提出了麥克斯韋–玻爾茲曼分布。麥克斯韋–玻爾茲曼分布從統(tǒng)計學的角度，解釋了流體在微觀層面下的分子運動，怎樣在宏觀層面形成諸如壓強、擴散等基本性質(zhì)。
在稍后的1872年，玻爾茲曼又給出了玻爾茲曼方程，用以描述處于非平衡狀態(tài)的熱力學系統(tǒng)的動力學行為。
玻爾茲曼的這一系列工作，給出了連通流體力學微觀層面和宏觀層面的一個路徑：在微觀上，流體分子可以看做是牛頓力學中的剛性小球。它們之間的相互作用，遵循牛頓力學中的彈性碰撞。而在宏觀層面上，流體的物理學特性，呈現(xiàn)的是大量微觀流體粒子的統(tǒng)計學特征。
在這個過程中，玻爾茲曼方程起到了承上啟下，從描述微觀粒子運動的牛頓力學方程過渡到歐拉方程、納維-斯托克斯方程等描述流體宏觀力學狀態(tài)的方程的作用。
就這樣，對流體動力學的微觀和宏觀描述，通過玻爾茲曼的工作，得到了統(tǒng)一。
但是，在希爾伯特看來，玻爾茲曼的工作是遠遠稱不上嚴格的。
一方面，在1900年這個時間點上，原子、分子這樣的物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)學說，還沒有被物理學家們普遍接受。甚至就連麥克斯韋和玻爾茲曼都認為，分子只是一種方便處理的數(shù)學結(jié)構(gòu)，不是實際存在的物質(zhì)。
另外一方面，從數(shù)學的角度來看，玻爾茲曼的工作也很難稱為“嚴格”。
玻爾茲曼所描述的，從微觀到宏觀的過程當中，涉及多次極限過程。從描述微觀粒子運動的牛頓力學方程導出玻爾茲曼方程，需要分子運動學下的統(tǒng)計學極限。而從玻爾茲曼方程導出宏觀的流體力學方程，則需要流體動力學極限。這些極限過程，在數(shù)學上都是需要嚴格的定義與證明的。
更為關(guān)鍵的是，在1900年的時候，統(tǒng)計學和概率論本身還沒有完成數(shù)學的嚴格化。當時的概率論，還只適用于有限情況下的古典概率。對于玻爾茲曼的理論中所需要的，涉及無窮多個粒子的極限情況下的概率，這是遠遠不夠的。
這正是希爾伯特在第六問題中所說的：“其中首先要解決的是概率論和力學”，以及在1902年的補充說明中再次強調(diào)的，要求在數(shù)學上嚴格化玻爾茲曼工作所涉及的那些極限過程。
探求嚴格化的過程
1912年，希爾伯特給出了一種被叫做希爾伯特展開的方法。在1916年和1917年，英國數(shù)學家西德尼·查普曼（Sydney Chapman）與瑞典數(shù)學物理學家大衛(wèi)·恩斯科格（David Enskog）各自得出了另外一種級數(shù)展開的方法。這兩種方法，通過無窮級數(shù)展開逼近的方式，給出了玻爾茲曼方程得出了宏觀狀態(tài)下的流體力學方程所需要的流體動力學極限過程。
這些方法也被叫做查普曼-恩斯科格-希爾伯特展開。
英國數(shù)學家拉塞爾·卡夫利施（Russel Caflisch）等人，在數(shù)學上嚴格化了查普曼-恩斯科格-希爾伯特展開。從而在數(shù)學上嚴格化了從玻爾茲曼方程到流體力學方程的流體動力學極限過程。
1933年，蘇聯(lián)數(shù)學家安德雷·柯爾莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov）完成了現(xiàn)代概率論的公理化。柯爾莫哥洛夫?qū)⒏怕识x為概率空間上函數(shù)的測度，并將測度論和函數(shù)論等分析學的工具引入了對于概率論的研究。這就使得在數(shù)學上，可以準確地描述玻爾茲曼理論當中從微觀粒子運動的牛頓力學方程到玻爾茲曼方程所需要分子運動學下的統(tǒng)計學極限。
1949年，美國數(shù)學家哈羅德·格拉德（Harold Grad）在一定的限制條件下，從動力學的劉維爾方程（Liouville equation）推導出了玻爾茲曼方程。格拉德的工作，也被稱為玻爾茲曼-格拉德極限。
1975年，美國數(shù)學家奧斯卡·蘭福德（Oscar Lanford）證明了，在非常短的時間內(nèi)，玻爾茲曼-格拉德極限是成立的。這一工作也被稱為蘭福德定理。
2014年，法國數(shù)學家勞拉·圣雷蒙德（Laure Saint-Raymond）和合作者們補全了蘭福德定理中的漏洞。
但是，在蘭福德的證明方法中，“極短時間”這一條件是無法取消的。這是因為，蘭福德的證明依賴于數(shù)學中的微擾方法。在極短時間的條件下，誤差是可以忽略不計的。但是，當時間變長后，微擾方法下的誤差會隨著時間累計，進而導致整個計算過程的失效。
因此，圣雷蒙德和合作者們，試圖給出長時間下這一極限過程的數(shù)學證明的時候，都需要加上一些別的限制條件。諸如假設(shè)氣體密度接近真空，或者假設(shè)玻爾茲曼方程滿足某些線性隨機條件等。
鄧煜、哈尼和馬曉最近的論文，則取消了這些限制條件和假設(shè)，給出了這一極限過程的完整證明。
鄧煜及其合作者們的證明方法，來自鄧煜本人稍早之前的工作。在研究玻爾茲曼方程之前，鄧煜和哈尼合作研究過由非線性薛定諤方程導出波動力學方程的工作。他們發(fā)現(xiàn)，從動力學的角度來看，從非線性薛定諤方程導出波動力學方程的過程，和從牛頓力學方程導出玻爾茲曼方程的過程之間，存在著某種相似性，進而可以將之前工作中積累的方法和經(jīng)驗用于解決這一問題。
在克服了一系列技術(shù)上的障礙之后，鄧煜、哈尼和馬曉給出了這一有著一百多年歷史的極限過程的完整證明。
鄧煜、哈尼和馬曉的工作，也給出了一個經(jīng)典的物理學問題的清晰解釋。
1872年，在提出玻爾茲曼方程的同時，玻爾茲曼還提出了H定理。H定理可以直接由玻爾茲曼方程導出。由玻爾茲曼方程可知，流體分子間的相互碰撞，會導致H函數(shù)值的下降，直到H達到最小值為止。這在宏觀上對應于熱力學第二定律，即熵增定律。
H定理從微觀粒子的統(tǒng)計學行為的角度，給出了熱力學第二定律的一個數(shù)學解釋。但是，這一解釋也帶來了一個新的問題。熱力學第二定律，是有著時間不可逆性的。而從微觀層面看，粒子相互碰撞所遵循的牛頓力學體系卻是可逆的。這就產(chǎn)生了一個極為深刻的問題：時間的方向性是在什么時候產(chǎn)生的？
蘭福德定理，揭示了在時間不可逆的宏觀熱力學和可逆的微觀牛頓力學之間的本質(zhì)性差異是怎樣產(chǎn)生的。但是，蘭福德定理中極短時間的假設(shè)，無法完整展示這一過程。
鄧煜等人的工作，完整地給出了玻爾茲曼方程整個過程的描述。因此，也就給出了從時間可逆的牛頓力學體系中涌現(xiàn)出時間不可逆的宏觀熱力學體系的一種理論依據(jù)。
南方周末特約撰稿 左力
責編 朱力遠
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