新智元報道
編輯：Aeneas KingHZ
【新智元導(dǎo)讀】AI輔助人類，完成了首個非平凡研究數(shù)學(xué)證明，破解了50年未解的數(shù)學(xué)難題！在南大校友的研究中，這個難題中q=3的情況，由o3-mini-high給出了精確解。
就在剛剛，AI完成了首個非平凡研究數(shù)學(xué)證明！
完成這項(xiàng)研究的，是美國紐約布魯克海文國家實(shí)驗(yàn)室凝聚態(tài)物理與材料科學(xué)分部的一位華人學(xué)者Weiguo Yin。
論文地址：https://arxiv.org/abs/2503.23758
在這項(xiàng)研究中，作者在一維J_1-J_2 q態(tài)Potts模型，通過引入最大對稱子空間（MSS）方法，對其精確求解。
具體來說，作者將q^2×q^2的傳遞矩陣進(jìn)行塊對角化。
而q=3的情況，正是基于OpenAI的最新推理模型o3-mini-high來精確求解的。
在AI的幫助下，研究者成功證明，模型可以映射為一維q態(tài)Potts模型，其中J_2作為最近鄰相互作用，J_1則作為有效的磁場，這一結(jié)果擴(kuò)展了之前在q=2，即Ising模型的證明。
注意，這個問題，在數(shù)學(xué)界有50年沒有解決。
論文引用了關(guān)于J_1?J_2伊辛模型（即q=2的Potts模型）的工作，這些工作可以追溯到1969年和1970年。
而o3-mini-high幫忙完成的這項(xiàng)證明，為眾多懸而未決的物理問題（層狀材料中原子或電子順序堆疊的問題，以及非常規(guī)超導(dǎo)體中常見的T_c-拱形相的形成等），提供了全新的見解。
AI模型在科學(xué)研究中的巨大潛力，也再一次被證實(shí)！
Weiguo于2004年加入布魯克海文國家實(shí)驗(yàn)室擔(dān)任研究員，并于2006年晉升為助理物理學(xué)家，2008年晉升為副物理學(xué)家，2011年晉升為物理學(xué)家。
他的專長在于結(jié)合第一性原理、有效哈密頓量和機(jī)器學(xué)習(xí)方法，研究強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系、挫敗磁性、超導(dǎo)性、多鐵性、混合的3d-5d化合物、拓?fù)洳牧虾头瞧胶鈶B(tài)。
1998年，他獲得南京大學(xué)的博士學(xué)位，并榮獲2000年國家優(yōu)秀博士學(xué)位論文獎。
五十年未解的數(shù)學(xué)難題，被AI解決了
在凝聚態(tài)物理、材料科學(xué)、量子信息學(xué)和微電子學(xué)等研究領(lǐng)域中，發(fā)現(xiàn)新的相和相變是一個核心挑戰(zhàn)。
挫敗磁體中存在許多不尋常的相，這些磁體通常用伊辛模型（Ising model）或量子海森堡模型（quantum Heisenberg model）來描述。
統(tǒng)計力學(xué)的第三個基本模型是q狀態(tài)Potts模型。
它是伊辛模型（q=2）的推廣，可以作為研究從離散（伊辛）對稱性到連續(xù)（海森堡）對稱性轉(zhuǎn)變的有效中介。
特別是，一維J_1-J_2 Potts模型可能與眾多問題相關(guān)，這些問題涵蓋了從層狀材料中原子或電子有序的面外堆疊，如1T-TaS_2 中的「大衛(wèi)之星」電荷密度波，到每個時間步都有多種選擇的時間序列問題，如乒乓球訓(xùn)練設(shè)計。
1T-TaS2中的「大衛(wèi)之星」電荷密度波相關(guān)論文插圖
一維J_1-J_2 Potts模型
盡管一維和二維的J_1-J_2伊辛模型和海森堡模型已被廣泛研究，但只有一維J_1-J_2伊辛模型通過轉(zhuǎn)移矩陣法得到了精確解。
對于一維J_1-J_2 Potts模型，至今仍沒有精確的解析解。
因?yàn)楫?dāng)q=3時，該模型已經(jīng)展現(xiàn)出與q=2（即伊辛模型）不同的基態(tài)相行為（見下圖），因此精確求解任意q的模型具有基礎(chǔ)性的重要性。
伊辛模型：不同的基態(tài)相行為
挑戰(zhàn)在于轉(zhuǎn)移矩陣的階數(shù)迅速增加，階數(shù)為q^2。
可想而知，q=3時的9×9矩陣已經(jīng)很難進(jìn)行解析求解，而q=10^10時的10^10×10^10矩陣，即使是數(shù)值計算也無能為力。
先前的研究將任務(wù)轉(zhuǎn)化為數(shù)值計算有效的q×q矩陣，采用整數(shù)q形式的轉(zhuǎn)移矩陣法，或連續(xù)q形式的轉(zhuǎn)移矩陣。
盡管物理學(xué)的透明度較低，但仍然無法得到精確的解析結(jié)果。
因此，對于一維J_1-J_2 Potts模型，至今仍然缺乏其中豐富相行為的直觀理解。
OpenAI o3-mini的創(chuàng)舉：非平凡證明
最近的兩個發(fā)展為這一長期未解問題提供了新的視角。
第一個發(fā)展是通過基于對稱性的塊對角化，將裝飾伊辛梯形的4×4轉(zhuǎn)移矩陣簡化為有效的2×2矩陣。
這些發(fā)現(xiàn)為一維挫敗Potts模型找到精確解，可能成為這一重要新方向的里程碑。
第二個發(fā)展是OpenAI最新的推理模型o3-mini-high，推導(dǎo)出了一個優(yōu)雅的方程，在外部磁場下，可以確定裝飾伊辛模型中UNPC的臨界溫度。
論文鏈接：https://arxiv.org/abs/2502.11270
因此，作者受到啟發(fā)，逐步提示AI推理模型，去處理整數(shù)q形式的轉(zhuǎn)移矩陣。
盡管AI的回答中有不少錯誤，針對q=3的情況，最終找到了一種基于對稱性的塊對角化方法，可以將一維J_1-J_2三狀態(tài)Potts模型的9×9轉(zhuǎn)移矩陣解析地簡化為有效的2×2矩陣。
對于一般的q，關(guān)鍵的對稱性是q個Potts狀態(tài)的全排列對稱性。
換句話說，哈密頓量（因此在整數(shù)q形式中的轉(zhuǎn)移矩陣）在任何對標(biāo)簽{1,2,3,...,q}的排列下都是不變的；它的對稱群是Sq。
雖然AI未能進(jìn)一步推進(jìn)，但警告說隨著q的增大，排列的數(shù)量急劇增加。
然而，q=2和q=3的精確結(jié)果，特別是兩者都?xì)w結(jié)為2×2矩陣，啟發(fā)了作者：
由于在熱力學(xué)極限下只有轉(zhuǎn)移矩陣的最大特征值（λ）才重要，因此任務(wù)簡化為識別包含λ的對稱分離子空間。
隨后，作者發(fā)現(xiàn)這個子空間由兩個最大對稱向量張成，因?yàn)樗修D(zhuǎn)移矩陣元素都是正的，這使得最終得到了一個解析的2×2矩陣。
因此，任意q的一維J_1-J_2 Potts模型的精確解，就這樣被找到了，而且過程出奇的簡單！
o3-mini-high具體起了什么作用
下面我們就來看看，o3-mini-high是如何在這項(xiàng)研究中推導(dǎo)出關(guān)鍵方程，對q=3的情況精確求解，從而確定了裝飾伊辛模型中UNPC的臨界溫度的。
首先，o3-mini-high證明，根據(jù)其知識，1D J_1-J_2 Potts模型尚未被精確求解。
接著，模型被提示使用1D J_1-J_2三態(tài)Potts模型的之字形梯形版本。
在這種情況下，AI正確地給出了以下哈密頓量表達(dá)式：
隨后，AI正確地生成了以下傳遞矩陣的表達(dá)式。
其中，(a, b)是由一對自旋組成的「梯級」?fàn)顟B(tài)，(a', b')是鄰近梯級狀態(tài)。
假設(shè)一組梯級狀態(tài)按以下順序排列：(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)。
若使用簡寫符號，則傳遞矩陣可以明確地表達(dá)為如下形式。
對于上面這個T'矩陣，AI被提示說，一定要確保，從而糾正它的錯誤，并且識別出S_3的對稱群。
然后，AI被提示將T'進(jìn)行塊對角化。
它發(fā)現(xiàn)，T'可以通過變換下列這個矩陣來進(jìn)行塊對角化，從而得到。
因此，得到的塊對角化傳遞矩陣的前2×2塊由
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