人生最終的價(jià)值在于覺醒和思考的能力，而不只在于生存。
——亞里士多德
很多父母抱怨孩子學(xué)數(shù)學(xué)不會(huì)思考，看一眼題目，不會(huì)就放棄，根本不去想想和自己已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)有什么區(qū)別和聯(lián)系，也不知道要先努力搞懂題目的意思，再嘗試去解決。好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維方式，不是一下子就能培養(yǎng)起來(lái)的，需要長(zhǎng)期堅(jiān)持。
拿到題目后，如果發(fā)現(xiàn)自己不熟悉這類題型，沒思路……不要怕，拿出紙筆，畫畫，算算。
先從簡(jiǎn)單的情況開始解決，然后逐步推廣，找規(guī)律，最后再去解決原來(lái)的問(wèn)題。
解完題后想一想，這個(gè)解是否合理？是否還有其他解？是否可以將問(wèn)題推廣變化一下？
培養(yǎng)這些基本的思考和學(xué)習(xí)習(xí)慣，非常有利于培養(yǎng)大家的學(xué)習(xí)興趣和探索精神。經(jīng)探索后成功的喜悅，會(huì)讓大
家體會(huì)到思考的樂(lè)趣和成就感，這比直接告訴大家怎么做一道題要強(qiáng)百倍。一般而言，我們對(duì)認(rèn)真探索過(guò)的題目，印象會(huì)更深刻。養(yǎng)成會(huì)思考和敢嘗試的好習(xí)慣之后，理想的分?jǐn)?shù)只是“副產(chǎn)品”。
01
兔子數(shù)列
我們來(lái)探討這樣一個(gè)典型問(wèn)題：兔子數(shù)列的個(gè)位周期性。小學(xué)三年級(jí)至六年級(jí)的孩子都可以在父母的幫助下來(lái)探索。
這個(gè)兔子數(shù)列的正式名字叫斐波那契數(shù)列（Fibonacci sequence）——大名鼎鼎！之所以這么叫，是因?yàn)橐獯罄麛?shù)學(xué)家斐波那契在引入這個(gè)數(shù)列時(shí)是這么介紹的：農(nóng)民飼養(yǎng)的兔子總數(shù)會(huì)逐月按這個(gè)數(shù)列增加。兔子數(shù)列如下：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…
一個(gè)自然的問(wèn)題是：滿一年（第 12 個(gè)月）的時(shí)候，農(nóng)民伯伯一共會(huì)有多少兔子？
觀察這個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)：從第 3 個(gè)數(shù)開始，任何一個(gè)數(shù)都是它前面兩個(gè)數(shù)的和。比如，第 3 個(gè)數(shù) 2=1+1，是第 1 個(gè)數(shù)和第 2 個(gè)數(shù)之和。同樣，第 10 個(gè)數(shù) 55=21+34。于是我們可以推知，滿一年時(shí)，即第 12 個(gè)月的兔子總數(shù)是第 10 個(gè)月和第 11 個(gè)月兔子總數(shù)之和，即 55+89=144。按這個(gè)規(guī)律，可以逐步求出兔子數(shù)列中任意一個(gè)位置的數(shù)，而且可以看出，這些數(shù)會(huì)越來(lái)越大，且增長(zhǎng)迅速。
但如果僅僅這樣介紹，是不會(huì)在大家腦海里留下多少印象的。于是，大家可能會(huì)遇到下面這樣的找規(guī)律題目，來(lái)鞏固理解：
(1) 1, 3, 4, 7, 11, 18, ____________, 47
(2) 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, ____________, …
我們應(yīng)該容易看出來(lái)問(wèn)題 (1) 的答案是 11+18=29。而且，我們可以按一個(gè)數(shù)等于前兩個(gè)數(shù)的和來(lái)驗(yàn)證 29 是對(duì)的，因?yàn)?47=18+29。問(wèn)題 (2)稍微難了一點(diǎn)點(diǎn)，這可以叫“三階兔子數(shù)列”了，因?yàn)槠湟?guī)律是從第 4 個(gè)數(shù)開始，任何一個(gè)數(shù)都是它前面 3 個(gè)數(shù)之和。注意到這個(gè)特點(diǎn)，答案就是 7+13+24=44。
如果就學(xué)到這里，那還只能算作知識(shí)的灌輸，屬于一階學(xué)習(xí)：大家只是學(xué)了一種有一定特點(diǎn)的數(shù)列，沒太多印象，下次見了面能否認(rèn)得出來(lái)還不好說(shuō)。
02
初步擴(kuò)展
這時(shí)候，我們需要更進(jìn)一步，進(jìn)入二階學(xué)習(xí)：兔子數(shù)列實(shí)際給出了一種構(gòu)造數(shù)列的方法，即一個(gè)數(shù)可以由它的“鄰居”數(shù)構(gòu)造出來(lái)。這其實(shí)也是常見的找規(guī)律題。既然認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，我們何不發(fā)揮想象力，構(gòu)造出不同的數(shù)列呢？比如，任何類似于下述規(guī)律的具體數(shù)列（簡(jiǎn)要起見，用表示數(shù)列的第n個(gè)數(shù)）：
這樣放飛想象力，大家可以在輕松愉快的氣氛中學(xué)到數(shù)列的某些本質(zhì)東西：前后數(shù)（即前后項(xiàng)）之間的關(guān)系。甚至，可以順手把等差數(shù)列和等比數(shù)列引入進(jìn)來(lái)。
03
再次擴(kuò)展
通過(guò)二階學(xué)習(xí)的初步擴(kuò)展，大家一般可以掌握三四成了，但我們還可以進(jìn)一步加深學(xué)習(xí)和體會(huì)。這樣就進(jìn)入了三階學(xué)習(xí)：實(shí)際體驗(yàn)和深度擴(kuò)展。為什么兔子數(shù)列那么大名鼎鼎呢？它可不是浪得虛名哦，因?yàn)樗臀覀兊娜粘Ｉ詈涂茖W(xué)技術(shù)都有很多關(guān)系。我們?cè)诰W(wǎng)上搜索一下，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：
(1) 向日葵的葵花籽排列和數(shù)量滿足兔子數(shù)列（圖 4.1 左）； (2) 蝸牛殼的曲線也跟兔子數(shù)列有關(guān)（圖 4.1 右）； (3) 某些細(xì)菌的生長(zhǎng)數(shù)量也和兔子數(shù)列有關(guān)； (4) 股票的價(jià)格變化也和兔子數(shù)列有關(guān)； (5) 蒙娜麗莎畫像等藝術(shù)品的比例也和兔子數(shù)列有關(guān)。
圖 4.1 生活中的兔子數(shù)列
再回到數(shù)學(xué)上，兔子數(shù)列還有很多特殊的數(shù)學(xué)性質(zhì)。
(1) 前后兩個(gè)數(shù)的比值越來(lái)越接近黃金分割（近似值為 0.618）。 更嚴(yán)格地說(shuō)，兔子數(shù)列的每一項(xiàng)都是正整數(shù)，但其前后項(xiàng)之比的極限卻是黃金分割，而黃金分割是無(wú)理數(shù)。 (2) 兔子數(shù)列的每一項(xiàng)都是正整數(shù)，但它的通項(xiàng)公式卻要用到無(wú)理數(shù) [圖片]。
通項(xiàng)公式指用一個(gè) n的函數(shù)來(lái)表示第n項(xiàng)，比如，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式就是：
事實(shí)上，兔子數(shù)列的數(shù)學(xué)特性和應(yīng)用非常多，甚至有一本雜志就是專門研究兔子數(shù)列的。
這樣的學(xué)習(xí)體驗(yàn)和深度擴(kuò)展，可以結(jié)合生活中的例子、閱讀科普書以及觀看科普視頻開展。開展得好，有利于培養(yǎng)大家觀察生活的好習(xí)慣，增強(qiáng)好奇心，提高學(xué)習(xí)興趣。
04
兔子數(shù)列個(gè)位數(shù)字的周期
在上面的三階學(xué)習(xí)中，復(fù)雜的數(shù)學(xué)性質(zhì)不太容易有效地被傳遞給低年級(jí)孩子，而僅僅滿足于“科普”水平也顯得不夠——起于科普，但不能止于科普。我們還需要選擇合適的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行實(shí)際探索，發(fā)現(xiàn)并解決問(wèn)題，這就是四階學(xué)習(xí)。關(guān)于兔子數(shù)列，下面就是一個(gè)進(jìn)行四階學(xué)習(xí)的好題目。
兔子數(shù)列個(gè)位數(shù)字的周期性問(wèn)題：考察兔子數(shù)列中每個(gè)數(shù)的個(gè)位是否有周期性？如果有，周期是什么？
我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)周期確實(shí)存在，但很長(zhǎng)，是 60。在這個(gè)過(guò)程中，有幾個(gè)問(wèn)題值得關(guān)注：你能否快速準(zhǔn)確地寫出這幾十個(gè)個(gè)位數(shù)？能否準(zhǔn)確地找出周期？是否檢查或驗(yàn)證至少一次？對(duì)于小學(xué)中年級(jí)的孩子來(lái)說(shuō)，大家可能還需要父母幫些忙；但高年級(jí)的孩子如果能自己順利完成，說(shuō)明你們的學(xué)習(xí)習(xí)慣不錯(cuò)，值得贊一個(gè)！
在這個(gè)過(guò)程中，還有個(gè)“聰明的偷懶”方法：我們不需要寫出這 60 多個(gè)具體的兔子數(shù)哦，因?yàn)槲覀冊(cè)谶@里關(guān)心的只是它們的個(gè)位數(shù)字，否則到后面，每項(xiàng)的值越來(lái)越大，不好計(jì)算，容易出錯(cuò)。而這樣的“偷懶”是值得鼓勵(lì)的，這說(shuō)明大家抓住了問(wèn)題的一個(gè)關(guān)鍵——個(gè)位數(shù)字。具體來(lái)說(shuō)，我們先逐個(gè)寫出兔子數(shù)列各項(xiàng)的個(gè)位數(shù)字：
1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4, 3, 7, 0, 7, 7, 4, 1, 5, 6, 1, 7, 8, 5, 3, 8, 1, 9, 0, 9, 9, 8, 7, 5, 2, 7, 9, 6, 5, 1, 6, 7, 3, 0, 3, 3, 6, 9, 5, 4, 9, 3, 2, 5, 7, 2, 9, 1, 0, 1, 1, 2, 3,…
可以看出，兔子數(shù)列個(gè)位數(shù)字的周期是 60，因?yàn)閺牡?61 項(xiàng)起，個(gè)位數(shù)字又從 1, 1, 2, 3,…開始重復(fù)兔子數(shù)列的開頭 4 個(gè)數(shù)了。但如果我們到此為止，滿足于算出正確答案，那就浪費(fèi)了一道好題目，更浪費(fèi)了一次探索發(fā)現(xiàn)的好機(jī)會(huì)。這時(shí)，我們可以繼續(xù)問(wèn)幾個(gè)值得思考的問(wèn)題。
(1) 我們是怎么看出來(lái)周期是 60 的？ (2) 如果隨便更改兔子數(shù)列的頭兩個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字，得到不同的具體兔子數(shù)列，那它們的個(gè)位數(shù)字的周期會(huì)是多少呢？
理解了問(wèn)題 (a)，大家就能確認(rèn)怎么找周期。在原始的兔子數(shù)列中，我們注意到，出現(xiàn)一個(gè) 1 不一定就意味著發(fā)現(xiàn)了周期。比如，第 8 項(xiàng)、第 19 項(xiàng)和第 22 項(xiàng)的個(gè)位數(shù)字都是 1，但 7、18、21 都不是周期，因?yàn)樗鼈兒筮叺臄?shù)不能完整地重復(fù)出現(xiàn)數(shù)列的開頭幾項(xiàng)。進(jìn)一步想想，為什么我們能確定周期一定是 60 呢？就因?yàn)榈?60 項(xiàng)后面的 4 項(xiàng)重復(fù)了兔子數(shù)列的開頭 4 項(xiàng)嗎？這樣一問(wèn)，有些人可能就“懵圈”了，但他們也會(huì)開始思考：怎么說(shuō)明 60 一定是周期呢？有什么辦法？辦法當(dāng)然是有的。如果大家能自主說(shuō)出下面兩種方法之一，那就很棒了。
檢查周期的方法一：繼續(xù)算吧，看從第 61 項(xiàng)起能否把數(shù)列頭 4 項(xiàng)及其之后的 56 項(xiàng)的個(gè)位數(shù)字都重復(fù)出來(lái)。這是可行的，但是比較累。
檢查周期的方法二：其實(shí)，一旦第 61 項(xiàng)和第 62 項(xiàng)出現(xiàn) 1, 1，就說(shuō)明后面各項(xiàng)會(huì)重復(fù)第 3 項(xiàng)至第 60 項(xiàng)的 58 個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字了！這是因?yàn)?，兔子?shù)列中的數(shù)是由其前面的兩個(gè)數(shù)決定的，這樣一來(lái)，第 63 項(xiàng)的個(gè)位數(shù)字一定等于 1+1，正好重復(fù)了第 3 項(xiàng)。接下來(lái)各項(xiàng)也一樣。如果能領(lǐng)悟到這一點(diǎn)，可以說(shuō)，大家進(jìn)入了初步的“頓悟”境界，抓到了問(wèn)題的一些本質(zhì)特性。我們不但較深刻且簡(jiǎn)潔地掌握了兔子數(shù)列的本質(zhì)，而且能初步體會(huì)發(fā)現(xiàn)的美和快樂(lè)。這樣來(lái)解釋數(shù)列的周期是 60，要比方法一高明很多。方法一是踏實(shí)的基本功，有必要，但是笨拙、不靈巧，也沒有抓住本質(zhì)。
確定了原始兔子數(shù)列的周期是 60 之后，我們就可以解決問(wèn)題 (b) 了。這個(gè)問(wèn)題就有些創(chuàng)新性和一定的研究?jī)r(jià)值了，就連大人也會(huì)感覺：“題目意思我懂，但該怎么解決呀？沒見過(guò)類似的題目，也不知道可以用上什么方法?！?/p>
在嘗試解答之前，大家不妨再次張開想象的翅膀，來(lái)猜測(cè)一下：如果有不同的開頭項(xiàng)，那么兔子數(shù)列各項(xiàng)的個(gè)位數(shù)字會(huì)出現(xiàn)什么樣的周期？我的猜想是：100 的因子或 100 以內(nèi)與 100 的公約數(shù)大于 1 的數(shù)。這個(gè)猜想其實(shí)有點(diǎn)兒快進(jìn)了，怎么會(huì)一下就說(shuō)到 100 了呢？因?yàn)槲乙呀?jīng)看出來(lái)：
規(guī)律 (1) 不同的開頭，兔子數(shù)列的個(gè)位周期不會(huì)大于 100。
大家思考一下，兔子數(shù)列完全由頭兩項(xiàng)決定，所以只要在后面的位置上，頭兩項(xiàng)再次出現(xiàn)，周期就出現(xiàn)了，因?yàn)槠浜笠欢〞?huì)重復(fù)其余的部分。而前后兩項(xiàng)的個(gè)位數(shù)字的不同排列一共只有 100 種可能，我們把數(shù)字連寫來(lái)表示連續(xù)的個(gè)位數(shù)字，即 00, 01, ..., 98, 99。這樣一來(lái)，最多把這 100 種不同的排列全部展示后，就一定會(huì)出現(xiàn)重復(fù)，所以周期不可能大于 100。換句話說(shuō)，以任意兩個(gè)個(gè)位數(shù)開頭的兔子數(shù)列，其周期都只能是 1~100 中的某個(gè)數(shù)。
領(lǐng)略到這一點(diǎn)，我們對(duì)兔子數(shù)列的認(rèn)識(shí)又高了一個(gè)層次，因?yàn)檫@讓我們對(duì)一下摸不著頭腦的問(wèn)題 (b) 有了一個(gè)思索范圍：以任意兩個(gè)個(gè)位數(shù)開頭的兔子數(shù)列的個(gè)位周期都小于或等于 100。
這是一個(gè)簡(jiǎn)要而有力的斷言，使得我們對(duì)問(wèn)題的整體有了感覺：這些周期沒那么大，只在 100 以內(nèi)。在數(shù)學(xué)中，這樣簡(jiǎn)要而有力的著名斷言和猜想有很多，比如勒讓德猜想，即任意兩個(gè)連續(xù)的平方數(shù)之間至少存在一個(gè)素?cái)?shù)；再如猜想，即存在無(wú)窮多個(gè)形如的素?cái)?shù)，其中n是正整數(shù)。這兩個(gè)猜想與前文提到的哥德巴赫猜想和孿生素?cái)?shù)猜想一起，合稱為“蘭道問(wèn)題”。
知道了以任意兩個(gè)個(gè)位數(shù)開頭的兔子數(shù)列的個(gè)位周期都小于或等于 100，就像知道了一座商場(chǎng)外在的大小和樣子，但距離我們了解整座商場(chǎng)還差一大截，比如，商場(chǎng)每層都賣什么東西呢？里面的布置如何呀？對(duì)于兔子序列的周期也一樣，我們現(xiàn)在要繼續(xù)研究它的細(xì)節(jié)，這就是問(wèn)題 (b)。但我們現(xiàn)在可以把問(wèn)題 (b) 細(xì)化，問(wèn)得更具體一點(diǎn)，變成下面的問(wèn)題：
(c) 以任意兩個(gè)個(gè)位數(shù)開頭的兔子數(shù)列，都有哪些周期？周期可以是 1~100 中的任何數(shù)嗎？最大周期是多少？最小周期是多少？100 以內(nèi)的數(shù)有沒有被跳過(guò)的？
回顧一下，現(xiàn)在我們已經(jīng)知道每個(gè)這樣的周期都只能是 1~100 中的數(shù)，而且以 11（我們還是把數(shù)字連寫來(lái)表示連續(xù)的個(gè)位數(shù)字）開頭的兔子數(shù)列，其周期是 60。由于兩個(gè)不同個(gè)位數(shù)的開頭只有 100 種情況，即 00, 01,…, 98, 99，因此其周期最多也就能對(duì)應(yīng)到 1~100 這 100 個(gè)數(shù)。所以最特殊的情況是，每一個(gè)開頭對(duì)應(yīng)一個(gè)不同的周期，也就是說(shuō)，不同的開頭對(duì)應(yīng)不同的周期。而如果某些不同的開頭對(duì)應(yīng)了相同的周期，那一定有些可能的周期數(shù)被跳過(guò)。
沒有人告訴我們更進(jìn)一步的信息，那我們就自己來(lái)找出這些周期吧！一共有 100 種不同的開頭，周期最大也不會(huì)超過(guò) 100。把每種情況都算出來(lái)可能會(huì)有點(diǎn)累，但也不是做不了（可能花上一個(gè)下午）?，F(xiàn)在就按本章開頭所講的思路來(lái)做：先從簡(jiǎn)單的情況開始解決，然后找規(guī)律，逐步推廣，最后再去解決完整的問(wèn)題 (c)。最簡(jiǎn)單的兩個(gè)個(gè)位數(shù)開頭肯定是 00，于是我們很容易就能列出對(duì)應(yīng)兔子數(shù)列的個(gè)位數(shù)列。
00 開頭：000000…
都是 0 呀，因?yàn)榈?3 項(xiàng)的個(gè)位數(shù)字起，都是 0+0=0。所以，以 00 開頭的周期就是 1。太簡(jiǎn)單了！那現(xiàn)在來(lái)看第二個(gè)開頭——01。
01 開頭：0112358314…
這里我們只列舉出了該個(gè)位數(shù)列的頭 10 項(xiàng)，就可以發(fā)現(xiàn)它只是比以 11 開頭的數(shù)列多了第 1 項(xiàng) 0，其他位置就是重復(fù)以 11 開頭的數(shù)列了。思考一下，這是什么意思？是否就此可以斷定，以 01 開頭的數(shù)列周期一定是 60 或 61 呢？思考并解決這個(gè)疑問(wèn)，我們就會(huì)得到結(jié)論：以 01 開頭的周期也是 60，因?yàn)楦鶕?jù)兔子數(shù)列中的一個(gè)數(shù)完全由它前面的兩個(gè)數(shù)決定這一特點(diǎn)，一旦第 2 項(xiàng)和第 3 項(xiàng)出現(xiàn)的是 11，后面的數(shù)字就是重復(fù)開頭為 11 的數(shù)列。這樣，我們?cè)僖淮巍巴祽小?，沒有完整列舉以 01 開頭的完整數(shù)列，就判斷出其周期是 60。其實(shí)，完整算出這整個(gè)周期也沒問(wèn)題，只是辛苦一些。到此，我們就發(fā)現(xiàn)以 00 開頭的周期是 1，而以 01 和 11 開頭的周期都是 60。
接下來(lái)，我們就要急著去找以 02 開頭的數(shù)列的周期嗎？
不，這里不該著急，而是要停下來(lái)想一想：為什么以 01 開頭和以 11 開頭的數(shù)列的個(gè)位周期都是 60？還有以其他數(shù)字開頭的數(shù)列也具有周期 60 嗎？再思考一下，孩子或許就能發(fā)現(xiàn)：
規(guī)律(2) 原始兔子數(shù)列個(gè)位的前 61 個(gè)數(shù)字串中，以任意兩個(gè)連續(xù)的數(shù)字開頭的兔子數(shù)列，其個(gè)位數(shù)字的周期都是 60。
比如，我們剛發(fā)現(xiàn) 01 就是以 11 開頭的原始兔子數(shù)列的第 60 項(xiàng)和第 61 項(xiàng)的組合。同樣，第 2 項(xiàng)和第 3 項(xiàng)的組合是 12，第 3 項(xiàng)和第 4 項(xiàng)的組合是 23，于是以 12 和 23 開頭的兔子數(shù)列，其周期也是 60。原因是什么呢？其實(shí)并不復(fù)雜，因?yàn)檫@是周期的特點(diǎn)。如同一個(gè)星期有 7 天，這也是一個(gè)周期，我們可以說(shuō)，從本周一到本周日（兩邊都包含）是一個(gè)星期，也可以說(shuō)，從本周二到下周一是一個(gè)星期，或者，從本周三到下周二是一個(gè)星期，等等。
規(guī)律 (2) 這個(gè)關(guān)于周期的一般性認(rèn)識(shí)，不僅加深了我們對(duì)周期性的理解，而且，我們馬上就可以得出一大批周期是 60 的不同開頭組合——整整有 60 個(gè)呀！興奮吧？因?yàn)槲覀冇忠淮温斆鞯赝盗藨校哼@ 60 個(gè)不同開頭的周期不用一個(gè)一個(gè)去算了，都是 60。
這樣，在一共 100 個(gè)不同的開頭中，需要再研究的情況只剩 39 個(gè)了（不要忘記，我們也知道以 00 開頭的周期太簡(jiǎn)單了，就是 1）。現(xiàn)在，我們要做的自然就是找出下一個(gè)不知道周期的開頭。哦，為了找出這個(gè)開頭，我們需要做點(diǎn)兒統(tǒng)計(jì)工作。表格是幫助我們進(jìn)行有序思考的最好幫手之一，不妨拿出坐標(biāo)紙或方格紙，畫一個(gè) 10×10 的表格，我們把它叫作周期表。然后，把 00 和所有周期為 60 的開頭都填寫進(jìn)去，并做上不同的標(biāo)記。這樣我們馬上就看出，下一個(gè)不知道周期的開頭是 02。計(jì)算一下，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)開頭對(duì)應(yīng)的周期是 20——一個(gè)新的周期。
02 開頭對(duì)應(yīng)的周期是 20：02246066280886404482 02…
毫不奇怪，我們自然可以再用規(guī)律 (2) 推知，還有 19 個(gè)不同開頭的數(shù)列，其個(gè)位數(shù)字的周期也是 20。這些不同的開頭就是在以 20 開頭的序列中，前 21 項(xiàng)里任意兩個(gè)連續(xù)位的組合，也就是說(shuō)，除了 02，還有 22, 24, 46, 60, 06, 66, 62, 28,…。于是，我們又找到了 20 個(gè)周期為 20 的開頭組合。收獲不小吧！把這些數(shù)逐個(gè)填入周期表中，空位就只剩 19 個(gè)了。
繼而，我們看出 05 開頭的周期還不清楚，但這個(gè)非常簡(jiǎn)單。
05 開頭對(duì)應(yīng)的周期是 3：055 055 0…
再次用規(guī)律 (2)，我們就知道：05, 55, 50 這 3 個(gè)不同的開頭對(duì)應(yīng)的周期都是 3。把它們也填在表中，這樣就還剩下 16 個(gè)開頭對(duì)應(yīng)的周期是我們不知道的了。接下來(lái)，如法炮制，找出現(xiàn)在第一個(gè)未知周期的開頭是 13，就可以找出 12 個(gè)周期是 12 的不同開頭——又逮住一“小窩”！原因如下。
13 開頭對(duì)應(yīng)的周期是 12：134718976392 13…
把這些數(shù)填入表中，乘勝追擊，就可以找出最后 4 個(gè)周期是 4 的不同開頭，分別是 26, 68, 84, 42。原因如下。
26 開頭對(duì)應(yīng)的周期是 4：2684 26…
至此，我們可以開心地慶祝勝利了：我們徹底解決了以不同個(gè)位數(shù)開頭的兔子數(shù)列個(gè)位數(shù)字的周期性問(wèn)題，即圓滿回答了原始問(wèn)題、問(wèn)題 (a)、問(wèn)題 (b) 和問(wèn)題 (c)。最后總結(jié)一下主要結(jié)論。
規(guī)律 (1) 滿足第一項(xiàng)和第二項(xiàng)是非負(fù)整數(shù)且后一項(xiàng)是前兩項(xiàng)之和的兔子數(shù)列，其個(gè)位數(shù)字的周期不會(huì)大于 100。
規(guī)律 (2) 如果以兩個(gè)個(gè)位數(shù)字，開頭的兔子數(shù)列的個(gè)位數(shù)字的周期是n，開頭的兔子數(shù)列的個(gè)位數(shù)字的周期是 n開頭的兔子數(shù)列的個(gè)位數(shù)字的周期是
那么以
開頭的這n個(gè)兔子數(shù)列的個(gè)位數(shù)字的周期也都是n。
規(guī)律 (3)所有以兩個(gè)個(gè)位數(shù)字開頭的兔子數(shù)列一共有 100 個(gè)，其中 60 個(gè)數(shù)列的個(gè)位數(shù)字的周期是 60；20 個(gè)數(shù)列的周期是 20；12 個(gè)數(shù)列的周期是 12；4 個(gè)數(shù)列的周期是 4；3 個(gè)數(shù)列的周期是 3；1 個(gè)數(shù)列的周期是 1。因此，這些兔子數(shù)列個(gè)位數(shù)字的最大周期是 60，最小周期是 1。除了 1, 3, 4, 12, 20, 60 之外，其他的數(shù)都不是周期。
《寫給孩子的數(shù)學(xué)之美》
作者：昍爸、昍媽
數(shù)學(xué)之美是什么？數(shù)學(xué)之美在哪里？學(xué)會(huì)欣賞數(shù)學(xué)的美，才能真正理解數(shù)學(xué)
展現(xiàn)數(shù)學(xué)均衡有序的思維之美、簡(jiǎn)潔精確的邏輯之美、度量萬(wàn)物的直觀之美、探索奧秘的創(chuàng)造之美
本書從孩子們感興趣的數(shù)學(xué)知識(shí)出發(fā)，以代數(shù)（數(shù)論）和幾何為基本知識(shí)點(diǎn)，闡述了運(yùn)算、邏輯、證明、歸納、類比、遞歸、數(shù)形關(guān)聯(lián)等簡(jiǎn)單、實(shí)用而經(jīng)典的數(shù)學(xué)思維，向讀者們展現(xiàn)數(shù)學(xué)豐富多變的形式之美、簡(jiǎn)潔精確的邏輯之美、數(shù)形結(jié)合的奇妙之美、解答萬(wàn)物奧秘的創(chuàng)造之美。
作者力圖以孩子們能讀懂、能理解、感興趣的語(yǔ)言和形式，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的非凡魅力，同時(shí)拓展讀書的知識(shí)面，引領(lǐng)大家學(xué)會(huì)思考，喜愛思考，讓數(shù)學(xué)成為知識(shí)的寶庫(kù)和攀登思維高度的階梯。
01
《喚醒心中的數(shù)學(xué)家：幫你愛上數(shù)學(xué)的生活手賬》
作者：[美] 蘇珊·達(dá)戈斯蒂諾（Susan D'Agostino）
譯者：何婧譽(yù)
好奇心、求知欲、創(chuàng)造力，比天賦更重要！
數(shù)學(xué)不僅是一種計(jì)算工具，它還邀請(qǐng)我們進(jìn)行深入、愉快的思考。
如果你像作者一樣，經(jīng)歷過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的挫折，這本數(shù)學(xué)與生活的手賬將激發(fā)你的好奇心，讓你收獲數(shù)學(xué)與生活的啟示，愛上思考與學(xué)習(xí)。
·美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)“歐拉圖書獎(jiǎng)”獲獎(jiǎng)作品
·《歡樂(lè)數(shù)學(xué)》作者本·奧爾林、美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)前主席珍妮弗·奎恩推薦
·46篇思考筆記，300余幅手繪插圖，每章附有思考題，喚醒你的“數(shù)學(xué)力”
·從代數(shù)、幾何、邏輯學(xué)、數(shù)學(xué)史到生活中的趣事，展現(xiàn)豐富的數(shù)學(xué)思想
02
《數(shù)學(xué)的雨傘下》
作者：[法] 米卡埃爾?洛奈（Micka?l Launay）
譯者：歐瑜
驚訝！是思考的起點(diǎn)；
數(shù)學(xué)，是理解世界本質(zhì)與萬(wàn)物關(guān)聯(lián)的工具！
以數(shù)學(xué)為起點(diǎn)，以思考為快樂(lè)！
法國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)“達(dá)朗貝爾獎(jiǎng)”得主科普名作。
數(shù)學(xué)，是理解世界本質(zhì)與萬(wàn)物關(guān)聯(lián)的工具，它能制造兩個(gè)指南針：一個(gè)叫“實(shí)用”，一個(gè)叫“優(yōu)雅”。不懂得數(shù)學(xué)的意義，就無(wú)法真正學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)。
科學(xué)家為什么那么聰明？因?yàn)樗麄冇蟹欠驳乃伎挤椒ā?/p>
以數(shù)學(xué)為工具，以思考為快樂(lè)；培養(yǎng)自己的思考力、觀察力，成為真正的思考者。
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