偶然看到一個數(shù)學(xué)視頻，讓我感到震驚，視頻中介紹的一個我從未聽說過的定理。這個定理的美妙之處在于，盡管它已經(jīng)超過2500年未被發(fā)現(xiàn)，但這并不是因為它難以證明，而是因為之前沒有人注意到其中的模式。這讓我意識到，即使是深入研究數(shù)學(xué)的人，也可能對自己所熱愛的領(lǐng)域內(nèi)存在的知識一無所知。這讓我更加確信，知識的海洋是無邊無際的，即使是在古老的數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，仍然有著無數(shù)未被發(fā)現(xiàn)的寶藏等待著我們?nèi)ヌ剿鳌＿@種發(fā)現(xiàn)新知的過程既是挑戰(zhàn)也充滿了樂趣。
這個定理非常簡單，簡單到連學(xué)生都能夠輕松理解。但是，盡管其原理直觀易懂，關(guān)于它的深入了解卻相當(dāng)有限。這種基本而簡單的數(shù)學(xué)知識，長時間以來一直未被人們注意，直到20世紀(jì)中葉，一個名為阿爾弗雷德·莫斯納的數(shù)學(xué)家做出了被認(rèn)為是開創(chuàng)性的發(fā)現(xiàn)。
讓我們從一些非常簡單的情況開始。考慮奇數(shù)自然數(shù)的部分和，即
1 = 1,
1+3 = 4,
1+3+5 = 9,
1+3+5+7 = 16,
1+3+5+7+9 = 25。
你發(fā)現(xiàn)規(guī)律了嗎？得到的是平方數(shù)，所以奇數(shù)的部分和是平方數(shù)！古希臘人知道這一點(diǎn)，他們甚至提供了這一發(fā)現(xiàn)的一個視覺證明。
在上圖中，彩色的球代表前4個奇數(shù)，我們清楚地看到前幾個奇數(shù)的和給出了一個平方數(shù)。
莫斯納采取了一個獨(dú)特的方法來處理某個已知的數(shù)學(xué)概念。他不僅僅是從另一個角度重新考慮了這個概念，而且還采用了一種創(chuàng)造性和系統(tǒng)化的方法去重構(gòu)這個概念。這個過程類似于編制算法，意味著他通過設(shè)定一系列明確的步驟和規(guī)則，以一種幾乎可以編程的方式來深入探討和論證數(shù)學(xué)理論。他對上述的構(gòu)造如下：
想象從所有的自然數(shù)開始： 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,…
然后每隔1個數(shù)字移除1個數(shù)字，即得到的是奇數(shù)序列。所以新的數(shù)字序列是： 1, 3, 5, 7, 9, …
并取部分和得到平方數(shù)1, 4, 9,...
但當(dāng)我們使用這種方法時，它更容易泛化（這是數(shù)學(xué)家喜歡做的事情）。
- 現(xiàn)在再次取所有的自然數(shù)，每隔2個數(shù)字移除1個數(shù)字，得到數(shù)字序列： 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13,…
- 取部分和得到一個新的序列： 1, 3, 7, 12, 19, 27, 37, 48, 61,…
- 再次，每隔1個數(shù)字移除1個數(shù)字得到： 1, 7, 19, 37, 61,…
- 再次取部分和得到： 1, 8, 27, 64, 125,…
- 你認(rèn)出這些數(shù)字了嗎？它們是立方數(shù)！1=13, 8=23, 27=33,…
這個計算可以在以下圖像中構(gòu)建：
這個模式繼續(xù)下去。如果我們開始時從自然數(shù)中去掉每第n個數(shù)字（每隔1個數(shù)字移除1個數(shù)字），取部分和形成一個新序列，從該序列中去掉每第n-1個數(shù)字，并取部分和，去掉第n-2個數(shù)字等等，最終會得到一個由原數(shù)n的各個冪組成的數(shù)列。
我怎么從沒聽說過這個？如此簡單，如此美麗。
這才剛剛開始，事實證明，這里還有更多的東西可以發(fā)現(xiàn)。例如，如果你開始時移除其他有趣的數(shù)字序列，那么會產(chǎn)生什么序列呢？有沒有一個通用的模式？
在上圖中，三角數(shù)（1,3,6,10,15,21）從自然數(shù)中被移除，得到
取部分和得到：
接著，移除第下標(biāo)為三角數(shù)的數(shù)，得到：
繼續(xù)取部分和得到：6,24,50,96,154,225,326
最終，每個序列的第一個數(shù)字為：1, 2, 6, 24, 120, …，這些就是階乘，即2 = 2?1, 6 = 3?2?1, 24 = 4?3?2?1等等。
注意，三角數(shù)是形式為1+2+3+???+n的數(shù)字，它們被轉(zhuǎn)換為形式為1?2?3???n的數(shù)字。這是巧合嗎？
還要注意，如果我們移除形式為n, 2n, 3n, 4n, … 的數(shù)字，其中n > 1，那么輸出將是1^n, 2^n, 3^n, 4^n, …，所以這里輸入和輸出之間有某種指數(shù)關(guān)系?？磥硪话愣裕绻覀儗⑤斎胄蛄兄械拿總€數(shù)字乘以一個數(shù)m，輸出序列中的元素都將變?yōu)樘嵘絤的冪。
實驗
為了測試這個想法，我用Python編寫了一個程序，能夠根據(jù)要刪除的輸入數(shù)字序列輸出這些序列。我甚至考慮過除加法之外的其他運(yùn)算。
事實證明，如果從自然數(shù)中開始移除平方數(shù)，即形式為n2的數(shù)字，那么會得到一個輸出2, 12, 144, 2880, … 這些是形式為n! (n+1)!的數(shù)字。
相反，如果你移除序列2, 6, 12, 20, 30, 42,… 即形式為n(n+1)的數(shù)字，那么你會得到序列1, 4, 36, 576, 14400,… 這些是形式為(n!)2的數(shù)字。
所以看起來這里存在某種雙重關(guān)系。另一方面，鑒于我們之前的發(fā)現(xiàn)，階梯結(jié)果并不令人驚訝，因為形式為n(n+1)的數(shù)字只是三角數(shù)乘以2。
通過使用上述程序，我能夠發(fā)現(xiàn)幾個其他有趣的關(guān)系。包括：
- 如果輸入序列是{2^k} = {1, 2, 4, 8, 16, 32, …}，那么輸出序列似乎是{3, 8, 60, 3456, 11612160,…}，這是n階二叉樹的獨(dú)立集合數(shù)量。
- 如果選擇移除五邊形數(shù)，即形式為n(3n-1)/2的數(shù)字，那么會得到一個形式為(n!)2(n+1)!的數(shù)字序列。
- 如果輸入序列是四面體數(shù)，即前幾個三角數(shù)的和，那么輸出序列是超階乘，即前幾個階乘的乘積。
- 如果輸入序列是方錐數(shù)1, 5, 14, 30, 55, 91, …，那么輸出序列由某些n×n矩陣的行列式組成。
最后
在反思古代數(shù)學(xué)家的工作時，我認(rèn)識到他們未能證明所有數(shù)學(xué)情況的原因是，他們的數(shù)學(xué)思維被限制在了三個維度之內(nèi)。他們將數(shù)字視為與真實世界的幾何形狀直接相關(guān)，并且沒有探索超過立方數(shù)的更高次冪。雖然他們的數(shù)學(xué)研究沒有延伸到這些更高的維度，但從他們的立場來看，如果他們在數(shù)列中考慮去除每隔兩個數(shù)后的第三個數(shù)，他們可能會注意到這些數(shù)與構(gòu)成立方體的層級結(jié)構(gòu)有關(guān)。這種結(jié)構(gòu)在幾何上可以解釋為向立方體添加新的層，就像給立方體增添外殼一樣。盡管如此，他們對數(shù)的這種三維幾何理解在當(dāng)時已經(jīng)是相當(dāng)先進(jìn)的了。
熱門跟貼