在數(shù)論的廣闊領(lǐng)域中，素?cái)?shù)的分布一直是一個(gè)引人入勝的謎題，無(wú)數(shù)的數(shù)學(xué)家投入了巨大的熱情和智慧去探索這個(gè)問(wèn)題。特別地，對(duì)于特定形式的算術(shù)數(shù)列中素?cái)?shù)的分布，學(xué)界已經(jīng)取得了一系列的重大進(jìn)展。我們將從基本的素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)π(x)講起，逐步深入到狄利克雷定理和狄利克雷L-函數(shù)，探索它們?nèi)绾螏椭覀兝斫獠⒐烙?jì)這類素?cái)?shù)的分布規(guī)律。
對(duì)于直到x為止的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)作為x的函數(shù)就記為
有了好的估計(jì)以后，就可以再來(lái)求mod q同余于a的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)。實(shí)際上，求π(x)也就可以說(shuō)是求mod 1同余于1的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)。把這個(gè)量記為
首先注意到，mod 4同余于2的素?cái)?shù)只有一個(gè)，而事實(shí)是，如果a和q有大于1的公因子，則在算術(shù)數(shù)列a，a+q，a+2q，…中最多只有一個(gè)素?cái)?shù)。用φ(q)來(lái)記在1≤a≤q中適合條件(a，q)=1的整數(shù)a的個(gè)數(shù)。
這里記號(hào)(a,q)表示a和q的最大公因子(gcd))
這時(shí)，在無(wú)窮多的素?cái)?shù)中，除了很少的有限多個(gè)以外，一定都屬于φ(q)個(gè)算術(shù)數(shù)列a，a+q，a+2q，…之一，這里1≤a≤q，而且(a,q)=1。計(jì)算顯示了素?cái)?shù)似乎是平均地分布在這φ(q)個(gè)算術(shù)數(shù)列中，所以可以猜想，在每一個(gè)這樣的算術(shù)數(shù)列中，素?cái)?shù)所占的比例極限是1/φ(q)。這就是說(shuō)，只要(a,q)=1，就可以猜想，當(dāng)x→∞時(shí)，
但是，甚至mod q同余于a的素?cái)?shù)有無(wú)限多個(gè)也不是顯然的，著名的狄利克雷素?cái)?shù)定理告訴我們這種素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)，就是說(shuō)，當(dāng)(a,q)=1時(shí)，在算術(shù)數(shù)列a，a+q，a+2q，…中包含了無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)。要開(kāi)始研究這種問(wèn)題，首先需要一種有系統(tǒng)的方法在確定一個(gè)整數(shù)是否mod q同余于a的，為此，狄利克雷提供了一種現(xiàn)在通稱為狄利克雷特征的函數(shù)。形式地說(shuō)，一個(gè)mod q的特征，就是一個(gè)由Z到C的函數(shù)，
它具有以下三個(gè)性質(zhì)，而這三個(gè)性質(zhì)的重要性是逐漸遞增的：
- 當(dāng)n和q有大于1的公因子時(shí)，χ(n)=0；
- χmod q是周期的；
- χ是乘法的，即對(duì)任意的整數(shù)m和n，x(mn)=x(m)x(n))。
mod q的特征的一個(gè)容易但又重要的例子是這樣一個(gè)函數(shù)χ(n)：當(dāng)(n,q)=1時(shí)，它的值為1，否則為0。這個(gè)特征稱為主特征（principal character）記作χ_g。如果q是一個(gè)素?cái)?shù)，則另一個(gè)這樣的例子是勒讓德符號(hào)
如果n是q的倍數(shù)，就令
如果n是q的平方剩余，就令它為1；而如果n是q的平方非剩余，就令它為-1。
一個(gè)整數(shù)n稱為mod q平方剩余，就是指nmod q同余于一個(gè)完全平方，否則就稱它為平方非剩余。
如果q是一個(gè)合數(shù)，則有一個(gè)稱為勒讓德-雅可比符號(hào)的函數(shù)，作為勒讓德符號(hào)的推廣，也是一個(gè)特征。這也是一個(gè)重要的例子，它以一個(gè)不太直接的方式幫助我們識(shí)別出mod q的平方數(shù)。
這些特征都是實(shí)值的，但是這只是特例而非通則。下面是q=5時(shí)一個(gè)真正復(fù)值的特征的例子。令
如果n≡0(mod 5)，等于i如果n≡2(mod 5)，等于-1如果n≡4(mod 5)，等于-i如果n≡3(mod 5)，等于1如果n≡1(mod 5)。為了看出它是一個(gè)特征，只要注意到2(mod 5)的各次冪分別是2，4，3，1，2，4，3，1，…，而i的各次冪分別是i，-1，-i，1，i，-1，-i，1，….
可以證明，只有恰好Φ(q)個(gè)不同的mod q的特征。它們對(duì)于我們的用處來(lái)自上面說(shuō)的它們的限制，以及以下的公式，其中是對(duì)所有的mod q的特征求和，而且
這個(gè)公式能為我們做些什么？理解mod q同余于a的整數(shù)的集合，就是理解了一個(gè)當(dāng)n≡a(mod q)時(shí)為1而其他時(shí)候?yàn)?的函數(shù)，上式右方就是這個(gè)函數(shù)。然而這個(gè)函數(shù)用起來(lái)并不是特別好用，而特征是好用得多的函數(shù)，因?yàn)樗鼈兙哂谐朔ㄐ再|(zhì)。所以我們通過(guò)上式的左方把右方的函數(shù)寫成特征的線性組合。這個(gè)線性組合中，相應(yīng)于特征χ(n)的系數(shù)就是
由這個(gè)公式就可以得到
左方的和數(shù)就是我們?cè)缜翱紤]所有素?cái)?shù)時(shí)和數(shù)的自然的修正。如果對(duì)于其右方每一個(gè)和式
都能得到一個(gè)好的估計(jì)，就能夠估計(jì)此式的右方了。我們處理這些和式的辦法很像以前的做法，這樣得到類似于下面的顯式的公式，
不過(guò)其中出現(xiàn)的不再是黎曼ζ(s)的零點(diǎn)，而是狄利克雷L函數(shù)
的零點(diǎn)。這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)很像ζ(s)。特別是χ的乘法性質(zhì)在這里特別重要，因?yàn)樗鼘⒔o出類似于
的公式：
就是說(shuō)狄利克雷L函數(shù)L(s,χ)也有一個(gè)歐拉乘積。我們也相信“廣義黎曼假設(shè)”成立，即L(ρ,χ)=0在臨界帶形中的零點(diǎn)p都適合條件Re(ρ)=1/2。這將蘊(yùn)含著對(duì)于直到x為止的mod q同余于a的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)可以估計(jì)如下：
所以，蘊(yùn)含著我們希望得到的估計(jì)，只要x稍大于q2即可。
在什么樣的范圍內(nèi)可以無(wú)條件地——即不必借助廣義黎曼假設(shè)——證明(1)式？雖然可以或多或少地把素?cái)?shù)定理的證明翻譯到這個(gè)背景下來(lái)，我們發(fā)現(xiàn)，它只對(duì)于很大的x給出(1)式。事實(shí)上，x需要大于一個(gè)以q為冪的指數(shù)，這就比從廣義黎曼假設(shè)得出的“只要x稍大于q2”要大得多。我們就看見(jiàn)，在這里出現(xiàn)了一種新類型的問(wèn)題，就是要找到可以得出好的估計(jì)的x的范圍的一個(gè)好的起點(diǎn)，這個(gè)起點(diǎn)應(yīng)是模q的函數(shù)。在我們對(duì)于素?cái)?shù)定理的探求中沒(méi)有這樣的類似物。
順便說(shuō)一下，哪怕只是證明“只要x稍大于q2”即可得出(1)式，也遠(yuǎn)非當(dāng)前的數(shù)學(xué)方法之所能及，何況這也似乎還不是最好的答案。計(jì)算揭示了只要x稍大于q，(1)式就可能成立。所以，想要告訴我們素?cái)?shù)分布的精確的性態(tài)，甚至黎曼假設(shè)及其推廣也還是力所不逮。
在整個(gè)20世紀(jì)中，花了大量的思索想把狄利克雷L函數(shù)的零點(diǎn)約束在Re(s)=1的附近。結(jié)果是對(duì)于確定能使(1)式成立的x的范圍，有了很大的改進(jìn)，條件是沒(méi)有西格爾零點(diǎn)在。對(duì)于以
為特征χ的L函數(shù)
這個(gè)假想的零點(diǎn)將是一個(gè)實(shí)數(shù)β，而且β>1-c/√q?？梢宰C明，這種西格爾零點(diǎn)哪怕是存在的，也是極為罕見(jiàn)的。
西格爾零點(diǎn)的罕見(jiàn)是Deuring-Heilbronn現(xiàn)象的推論，這個(gè)現(xiàn)象就是：L函數(shù)的零點(diǎn)，猶如賦有同號(hào)電荷的粒子，是互相排斥的，這個(gè)現(xiàn)象也類似于不同的代數(shù)數(shù)互相排斥這個(gè)事實(shí)，這是丟番圖逼近這個(gè)學(xué)科的基礎(chǔ)的一部分。
當(dāng)(a,q)=1時(shí)，最小的mod q同余于a的素?cái)?shù)有多大？盡管有可能有西格爾零點(diǎn)存在，我們?nèi)匀豢梢宰C明，如果q充分大，則一定有小于q^5.5的這樣一個(gè)素?cái)?shù)存在。如果沒(méi)有西格爾零點(diǎn)存在，要得到這樣一個(gè)結(jié)果并不太難。如果沒(méi)有西格爾零點(diǎn)存在，就又回到了類似于下面的顯式公式，
但是是關(guān)于L(s,χ)的零點(diǎn)的。如果β是一個(gè)西格爾零點(diǎn)，則在這個(gè)顯式公式中，有兩個(gè)明顯的大項(xiàng)：
時(shí)，看來(lái)它們幾乎可能相抵消（因?yàn)棣陆咏?），但是如果我們仔細(xì)一點(diǎn)，就會(huì)得到
這是一個(gè)比以前小的主項(xiàng)，但是不難證明，它的貢獻(xiàn)仍然比所有其他零點(diǎn)合起來(lái)的貢獻(xiàn)更大，因?yàn)镈euring-Heilbronn現(xiàn)象蘊(yùn)含著這個(gè)西格爾零點(diǎn)會(huì)排斥其他零點(diǎn)，把它們驅(qū)向左方的遠(yuǎn)處，如果
仍是這兩項(xiàng)告訴我們，如果(1-β)logx很小，則直到x處，就會(huì)有兩倍我們所希望的素?cái)?shù)mod q同余于a。
狄利克雷的類數(shù)公式指出，當(dāng)q>6時(shí)，
類數(shù)總是一個(gè)正整數(shù)，這就蘊(yùn)含了
另一個(gè)推論是當(dāng)且僅當(dāng)
h_-q才很小。這會(huì)給予我們關(guān)于西格爾零點(diǎn)的信息，因?yàn)榭梢宰C明
這蘊(yùn)含了當(dāng)且僅當(dāng)
即西格爾零點(diǎn)β時(shí)，
當(dāng)h_-q=1時(shí)，這種聯(lián)系更加直接，可以證明西格爾零點(diǎn)β近似于
這些聯(lián)系說(shuō)明，得出h_-q的好的下界，等價(jià)于得出西格爾零點(diǎn)的范圍的好的界限。西格爾證明了對(duì)于任意的ε>0，必存在一個(gè)常數(shù)
使得
他的證明不能令人滿意，因?yàn)檫@個(gè)證明的本性給不出
的顯式的值來(lái)。為什么？因?yàn)樗淖C明分成兩個(gè)部分，第一部分假設(shè)廣義黎曼假設(shè)成立，這時(shí)一個(gè)顯式的值很容易得出。第二部分用廣義黎曼假設(shè)的第一個(gè)反例得出了一個(gè)下界。所以，如果廣義黎曼假設(shè)是成立的，[則不能用第二部分]，但是它還沒(méi)有得到證明，[所以也不能用第一部分]，這樣，西格爾的證明就不能用來(lái)探求顯式的界限了?？梢杂蔑@式的東西來(lái)證明的和不能用顯式的東西來(lái)證明的，在解析數(shù)論中，二者之間形成了一個(gè)既寬又深的鴻溝，這種鴻溝的出現(xiàn)，總是來(lái)自應(yīng)用西格爾的結(jié)果。
一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式在以整數(shù)值代入以后不能總是取素?cái)?shù)值。為了看到這一點(diǎn)，注意如果p可以整除f(m)，則它也可以整除f(m+p)，f(m+2p)，….然而有許多富于素?cái)?shù)值的多項(xiàng)式，一個(gè)著名的例子是，
當(dāng)x=0，1，2，…，39時(shí)，它的值都是素?cái)?shù)。幾乎肯定還有一些二次多項(xiàng)式，能夠相繼地取更多的素?cái)?shù)值，雖然它的系數(shù)應(yīng)該是很大的。如果我們要問(wèn)一個(gè)比較受限制的問(wèn)題，即何時(shí)多項(xiàng)式
對(duì)于x=0，1，2，…，p-2都取素?cái)?shù)值，則Rabinowitch給出了驚人的答案：當(dāng)且僅當(dāng)h_-q=1時(shí)會(huì)是這樣，這里q=4p-1。高斯做過(guò)大量的關(guān)于類數(shù)的計(jì)算，而且預(yù)言只有9個(gè)q值使得h_-q=1，其中最大的是163=4×41-1。在1930年代，研究者們利用Deuring-Heilbronn現(xiàn)象證明了最多還有一個(gè)q雖然使h_-q=1，卻不在高斯的清單上；而正如這種方法通常會(huì)出現(xiàn)的那樣，對(duì)于這個(gè)假定存在的額外的反例q的大小，卻得不出其界限。直到1960年代，Baker和Stark才證明了這第10個(gè)q不存在，他們所用的方法都與這里所講的方法相距甚遠(yuǎn)
事實(shí)上，Heegner在1950年代給出了正確的證明，但是他走在時(shí)代前面這么遠(yuǎn)，使得數(shù)學(xué)家們很難領(lǐng)會(huì)他的論證，并相信其所有細(xì)節(jié)都是對(duì)的。
在1980年代，Goldfeld，Gross和Zagier給出了迄今最好的結(jié)果，證明了
這一次用的是另一種L函數(shù)的零點(diǎn)排斥
的零點(diǎn)的Deuring-Heilbronn現(xiàn)象。
除了極少有的模q以外，素?cái)?shù)很好地分布在算術(shù)數(shù)列中，Bombieri和維諾格拉多夫開(kāi)發(fā)了這個(gè)思想而證明了當(dāng)x略大于q2時(shí)（就是在我們“總能”從廣義黎曼假設(shè)得出的范圍內(nèi)），（1）式“幾乎總能”成立，更精確地說(shuō)，對(duì)于給定的大的x，上式對(duì)于“幾乎所有”小于
以及所有適合(a,q)=1的a總是成立的。所以，不能排除有無(wú)窮多個(gè)反例的可能性。但是因?yàn)檫@與廣義黎曼假設(shè)矛盾，我們不相信會(huì)是這樣。
Barban-Davenport-Haberstam定理給出了一個(gè)較弱的結(jié)果，但是這個(gè)結(jié)果對(duì)所有的可行的范圍都成立：對(duì)任意給定的大的x，對(duì)“幾乎所有”的對(duì)子q和a，只要q≤x/(logx)2和(a,q)=1，估計(jì)式(1)恒成立。
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