我們都知道算術的四種基本運算：加法、減法、乘法和除法。在學校，我們都被迫一次又一次地機械地加減數(shù)字，直到這些運算的原理深深地印在我們的大腦中。

只是在很久以后，我們才發(fā)現(xiàn)，在實數(shù)上真正只有兩種基本運算，即加法和乘法。減法只是加上一個負數(shù)，除法只是乘以一個分數(shù)。

在這篇文章中，我們將探索算術的第五種運算，它幾乎和其他運算一樣自然。此外，我們將展示如何使用這種運算來構建一種我稱之為平行微積分的全新微積分。

在這種異類微積分中，x^2的平行導數(shù)是x/2，而ln(x)的平行導數(shù)是

甚至有平行泰勒級數(shù)和平行傅里葉級數(shù)，平行拉普拉斯變換等！

據(jù)我所知，這是一片未被探索的領域，我們即將踏上進入這個未被探索的數(shù)學世界的旅程。

平行加法和平行減法

讓我們首先定義平行加法和平行減法，并討論這種運算名稱中“平行”一詞從何而來。在文獻中，這種運算有幾種不同的表示法。對于作者來說，選擇一個有意義的表示法總是一個艱難的。

對于任何數(shù)x和y（在擴展的復平面（extended complex plane）中），我們定義它們的平行和為：

注意：

所以∞是這個運算的恒等元。

如果你不知道什么是擴展的復平面，它基本上是一種將所有的“無窮”折疊成一個點的方式。由于對于復數(shù)來說，這就像系緊一個袋子，擴展的復平面在拓撲上被視為一個球體，我們有時稱之為黎曼球面（Riemann sphere）。

對于實數(shù)，是射影擴展的實數(shù)線（projectively extended real line），它被看作是一個圓而不是一個數(shù)線，其中兩點-∞和∞重合（想象它們被粘在一起）。

因此，討論無窮遠點是有意義的，并且例如在除以零時沒有歧義。

解決了這個問題后，我們可以定義平行減法：

從幾何上來說，之所以稱之為平行加法，是因為它是涉及兩條平行線的某種測量的結果。在下面的圖解中，你可以幾何地看到它的來源。

• 圖解解釋了平行運算符，其中a Δ b = c。

從圖中我們可以看出，∞是正確的恒等元，因為如果我們將b延伸到無窮大，那么它的線將在a處與另一線相交。這些運算有一堆精彩的特性，我們現(xiàn)在將對平行加法陳述，但對平行減法也同樣適用。

• x Δ y = y Δ x（交換律）
• x (y Δ z) = xy Δ xz（分配律）
• (x Δ y) Δ z = x Δ (y Δ z)（結合律）
• x Δ ∞ = x（恒等律）
• x Δ 0 = 0
• x Δ x Δ ??? Δ x = x / n（n次平行求和等于除以n）。
• (x Δ y)2 = x2 Δ y2 Δ 1/2 xy

此外，我們還發(fā)現(xiàn)，它將分母中的和分解為分數(shù)的和：

其中一個我覺得它如此自然的原因是因為它回答了一個非常自然的問題。就像我們有冪規(guī)則和對數(shù)規(guī)則給出加法和乘法運算之間的對應或關系一樣，這個運算是在以下意義上乘以不同根或不同基對數(shù)的結果：

這些事實在某種程度上填補了冪規(guī)則工具箱中的空白，出于某種原因，很少有人提出需要這樣答案的問題。

通過上面的幾何圖像，很明顯，如果x和y是正實數(shù)，那么x Δ y < x且x Δ y < y，但是x Δ y = x - y呢？x/y的比率必須是多少才能使這成立？通過一點代數(shù)運算，你可以證明滿足這個方程的唯一比率是x/y = φ和x/y = -1/φ，其中φ = (1 + √5)/2是黃金比例。

這個話題的一個有趣的地方是無限平行級數(shù)的話題。例如，因為乘法和平行加法滿足分配律和結合律，我們可以證明

當|x| > 1。 這個結果當然是1 - 1/x。關于這個我們在討論平行泰勒級數(shù)時再詳細說明！

繼續(xù)探索這個運算的有趣事實（有平行多項式和平行根公式等）但這里的真正目的是將其與相應的微積分連接起來。

平行微積分

讓我們首先回顧一下導數(shù)的定義。給定一個連續(xù)函數(shù)f，我們定義其導數(shù)為：

如果極限存在的話（即對于所有x，無論我們讓h以哪個方向趨近，極限都需要相同）。

平行導數(shù)的定義完全類似于上述，除了用Δ替換+，用?替換-，并且讓h趨近于無窮大（這個運算的恒等元）。定義變?yōu)椋?/p>

只要極限存在！

注意，分子和分母都趨向于無窮大，所以是一個“∞/∞”表達式，就像導數(shù)是一個“0/0”表達式一樣。

首先明顯要檢查的是平行線性。即，如果h(x) = a f(x) Δ b g(x)，那么

所以平行導數(shù)遵循平行加法和平行減法。注意因為它不像我們從d/dx運算符習慣的那樣遵循常規(guī)的加法和減法。

我們可能想嘗試的下一件事是平行微分一些簡單的東西，比如f(x) = x^a。通過實際使用定義、一些規(guī)則并取極限，得到：

這讓我們想起了導數(shù)，只不過是除法代替乘法。特別是，我們注意到1/x的平行導數(shù)是-1/x2，就像我們習慣的那樣。

通過使用定義，我們可以找到兩個更有趣和實用的結果：

• 一個令人耳目一新的新結果。

• 一個更有趣的結果。

你可以通過使用洛必達法則自己發(fā)現(xiàn)這些。

在對更奇特的函數(shù)進行平行微分之前，我們需要一些工具（順便說一下，工具被稱為定理，但我們在這里不會那么正式）。就像我們有微分的規(guī)則，如乘積規(guī)則、商規(guī)則、鏈式規(guī)則等，我們有平行導數(shù)的類似規(guī)則。

平行乘積規(guī)則

事實證明，有一個平行微分的乘積規(guī)則。

作為一個例子，我們可以計算x ln(x)的平行導數(shù)

最強大的工具之一是平行鏈式規(guī)則：

平行鏈式規(guī)則

這兩個規(guī)則使我們能夠發(fā)現(xiàn)商規(guī)則，因為：

找到一個公共分母后，我們得到以下結果。

平行商規(guī)則

有了這種新的能力，我們現(xiàn)在可以找出如何平行微分函數(shù)的和（這聽起來比實際難）。

平行和規(guī)則

如果想要減法，你只需在表達式中翻轉兩個平行運算符。注意，這類似于微分一個平行和。

所以在某種意義上，這是一個表達式，說明它們是如何相關的。

平行泰勒級數(shù)

此時，你可能想知道平行微分算子的特征函數(shù)是什么樣的。特別是，我們可能想知道平行微分方程的解：

為了找到這個，我們需要來自分析學的一個基本工具，但在這個案例中是平行分析學，即這個平行世界中泰勒級數(shù)的等價物。

然而，為了使計算更容易，我們將我們的理論限制在麥克勞林級數(shù)（關于0的泰勒級數(shù)）上。

這里沒有足夠的空間深入探討理論或討論收斂問題。相反，我將陳述結果并讓有興趣的讀者去探索它。

如果函數(shù)f在x=∞時是無限連續(xù)可平行微分的，那么我們可以寫出其相應的平行麥克勞林級數(shù)：

如果f是平行解析的，在0的某個鄰域內(nèi)等于f(x)，我們可以更緊湊地寫成：

對于某個收斂集。注意，如果一些評估如f(∞)是無窮大，這也是可以的，因為我們使用的是投影擴展的實數(shù)或復數(shù)。

事實上，我們現(xiàn)在可以通過重復使用鏈式法則來驗證：

通過對兩邊進行平行積分（我們還沒有真正討論過），得到結果：

那么特征函數(shù)呢？這樣的函數(shù)的規(guī)范麥克勞林級數(shù)必須如下所示：

事實上，我們可以通過使用平行鏈式法則驗證e^(-1/x)的平行導數(shù)是其自身。

通過使用這個理論，很容易找到正弦和余弦的類比。事實證明，平行加法也有一個歐拉恒等式，而且很容易驗證以下內(nèi)容。

這些函數(shù)在我們的運算下的行為很像正弦和余弦。它們有一個4的平行導數(shù)周期，就像正弦和余弦，一個的平行導數(shù)給出另一個的正負。它們是1/(2π)周期的，甚至可以使用這些作為基函數(shù)和平行積分來發(fā)展平行傅里葉理論，我們將在一會兒討論這個。

平行積分

我們將定義一個函數(shù)f的平行原函數(shù)或不定積分簡單地為一個函數(shù)F = I，使得F的平行導數(shù)是f。

所以例如，如果f(x)=x，那么

對于某個常數(shù)C。注意，現(xiàn)在的符號使用Δ作為上標而不是?。積分也像其微分對應物一樣是平行線性的。

我們有一個平行積分分部法則！

平行分部積分

以下是分部積分的類似物：

讓我們嘗試使用這個公式來找到函數(shù)f(x) = x e^(-1/x)的原函數(shù)。

現(xiàn)在，通過平行乘積法則和平行加法的分配律的使用，很容易檢查這個結果。

結論

平行微積分在數(shù)學中有其位置！它是美麗的，我們只是觸及了它的表面。我們現(xiàn)在沒有時間進一步探索它，但我鼓勵你去探索像平行微分方程、平行傅立葉級數(shù)、平行積分變換等東西。

我希望你們在評論中有一些后續(xù)問題，這些問題能夠引發(fā)一些有趣的討論。也許甚至對讀者提出挑戰(zhàn)，比如：f(x)=sin(x)2的平行導數(shù)是什么，或者像高斯積分挑戰(zhàn)那樣的平行積分。