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當(dāng)你無限地以不同的方向重復(fù)放置形狀以完全覆蓋一個表面時，就會形成彭羅斯瓷磚或鑲嵌（Penrose tiles or tesselations），但這種圖案永遠(yuǎn)不會重復(fù)。因為它缺乏平移對稱性（translational symmetry），所以被稱為非周期性鋪砌（non-periodic tiling）。

英國數(shù)學(xué)物理學(xué)家羅杰·彭羅斯（Sir Roger Penrose）因其在宇宙學(xué)和廣義相對論方面的工作而廣為人知，他在1970年代發(fā)現(xiàn)了三種不同類型的非周期性鋪砌。他并不是發(fā)現(xiàn)這種特殊圖案的第一人，但無疑是最受歡迎的一位，因為這種圖案以他的名字命名。

最初，數(shù)學(xué)界普遍認(rèn)為自然界不可能存在一種鋪砌方式，其中使用的形狀可以無限地排列而不重復(fù)自身，即所謂的非周期性鋪砌。這種信念基于長期的觀察和研究，因為大多數(shù)自然和人造鋪砌都表現(xiàn)出一定的周期性重復(fù)模式。

然而，1964年，哈佛大學(xué)的羅伯特·伯格打破了這一傳統(tǒng)觀點，他首次構(gòu)建了一套包含大約20,426種不同形狀的鋪砌集合，創(chuàng)造了一種鋪砌方式，這種方式能夠覆蓋平面而不重復(fù)任何圖案，從而挑戰(zhàn)并擴(kuò)展了數(shù)學(xué)家們關(guān)于鋪砌的傳統(tǒng)認(rèn)識。

“不重復(fù)任何圖案”的意思是，在鋪砌過程中，無論鋪砌多大的區(qū)域，所使用的形狀的排列組合方式都不會完全相同，即沒有一個特定的排列模式會在鋪砌中第二次出現(xiàn)。在傳統(tǒng)的、周期性的鋪砌中，一種特定的圖案或形狀排列會在不同的位置重復(fù)出現(xiàn)，形成一種規(guī)律的、重復(fù)的模式。

開始時，羅伯特·伯格構(gòu)建的集合需要超過兩萬種不同的形狀來實現(xiàn)非周期性鋪砌。然而，隨著時間的推移，數(shù)學(xué)家們逐漸發(fā)現(xiàn)可以大幅度減少所需形狀的數(shù)量而仍保持鋪砌的非周期性。

幾年后，伯格自己提出了一套一百零四塊瓦片，唐納德·克努特（Donald Knuth）將這個數(shù)字減少到九十二，拉斐爾·羅賓遜（Raphael Robinson）然后將數(shù)字減少到只有六個。最終，羅杰·彭羅斯通過更多的剪切和粘貼成功地將數(shù)字減少到兩個。約翰·康威（John Conway）將這兩個形狀命名為“風(fēng)箏（kites）”和“鏢（darts）”。這兩種形狀都涉及到了黃金分割。

風(fēng)箏和鏢的圖像

這是一個令人難以置信的實現(xiàn)，只有兩個瓷磚一直延伸到無限而不重復(fù)，因此它們能夠創(chuàng)造一個不斷變化的圖案。周期平鋪和非周期平鋪都有無限多的可能性。

構(gòu)造彭羅斯鋪砌的一個重要特征是局部的5重旋轉(zhuǎn)對稱性（the local 5 fold rotational symmetry）。

五重對稱曾被認(rèn)為是不可能的

我們在自然中看到的大多數(shù)晶體，例如糖、雪花、石英或鉆石等，都是對稱且周期性的。它們傾向于在整個晶體中保持相同的方向。

人們可以輕松地用三角形、正方形或六邊形周期性地鋪滿一個平面，但用五邊形卻永遠(yuǎn)做不到。因此，實現(xiàn)五重對稱的宣布在當(dāng)時震驚了科學(xué)家們。

幾何形狀的規(guī)則對稱性如此明顯地融入我們的大腦，以至于沒有人相信要超越它們。這很有趣，因為這種特殊類型的對稱性在周期晶體中是不可能的。最重要的是，它已被用來解釋“準(zhǔn)晶體”的組成。準(zhǔn)晶體代表了一種全新的物質(zhì)狀態(tài)，具有某些晶體的屬性和其他非晶態(tài)物質(zhì)的屬性。簡單來說，準(zhǔn)晶體源自于彭羅斯瓦片的三維類比。

五重對稱最初是在1980年觀察到的，存在于鋁錳合金（Al6Mn）中。此后，在其他材料中也發(fā)現(xiàn)了這類晶體。

并不是每個人都對準(zhǔn)晶體的發(fā)現(xiàn)感到信服。因為他們認(rèn)為自然法則永遠(yuǎn)不會允許這種現(xiàn)象。最重要的是，兩次獲得諾貝爾獎的著名科學(xué)家林納斯·鮑林（Linus Pauling）曾經(jīng)名言：

沒有準(zhǔn)晶體，只有準(zhǔn)科學(xué)家。

那么，彭羅斯是如何開始的呢？

他從將五邊形拼湊在一起開始。當(dāng)圍繞前一個五邊形添加更多五邊形時，他開始觀察空白空間。但他得到的形狀是一個可以完全適配到一個更大的五邊形中的形狀。然后他想到取原始的五邊形并將它們分解成更小的五邊形。

然后所有的空白空間開始隱藏在菱形圖案之下。他再次無限地細(xì)分圖案，然后得出結(jié)論，只需要菱形、星形以及星形或正義帽（Justice Cap）的一部分，就足以覆蓋任何給定平面上的所有空白空間，而不留下任何未覆蓋的部分。

他認(rèn)為這差不多就是五重對稱。當(dāng)彭羅斯得到這種圖案時，他想要簡化它。他成功地精煉了幾何形狀，將數(shù)量減少到兩種瓦片，一種是細(xì)菱形和“胖”菱形的配對，另一種是風(fēng)箏形和鏢形的配對，如下圖所示：

因此，彭羅斯鋪砌是回歸到一個長時間以來一直讓數(shù)學(xué)家們困惑的數(shù)學(xué)謎題。

下面給出了三種不同類型的彭羅斯鋪砌。

使用五邊形鋪砌 — P1型

P1型由五邊形和另外三種形狀構(gòu)成，一種是細(xì)長菱形、一種是星形，還有一種是正義帽形。這些形狀必須根據(jù)一些定義好的規(guī)則組合在一起，以覆蓋整個平面。

P1型

使用風(fēng)箏和鏢鋪砌 — P2型

P2型只使用兩種不同的形狀，即風(fēng)箏和鏢，以特定比例非周期性地填充平面。這兩種形狀可以從一個長對角線比為1比1/φ的單一菱形中獲得，其中φ是眾所周知的黃金比例。另外，風(fēng)箏也可以看作是兩個連接的黃金三角形。

P2型

有一個眾所周知的定理：

在所有由風(fēng)箏和鏢鋪砌的圖案中，每一種七個頂點類型都無限次出現(xiàn)。

這意味著如果給定頂點，圍繞它安排風(fēng)箏和鏢有七種可能的方式，如下圖所示。我們也可以稱它們?yōu)?個頂點鄰域。

風(fēng)箏和鏢鋪砌中形成一個頂點的所有7種方式

大車輪（C4）包含所有七種類型

使用菱形鋪砌 — P3型

P3型由兩種不同的菱形組成，這些菱形有尖銳的角。同樣，它們必須以避免周期性的方式放置在一起。關(guān)于這些形狀如何組合在一起的規(guī)則，是通過匹配顏色或其他方式來強制執(zhí)行的。

P3型

該圖案特別構(gòu)造，無論地形多么多樣，圖案永遠(yuǎn)不會重復(fù)。

彭羅斯瓷磚與黃金比例

研究表明，黃金比例在所有展示五重對稱性的對象的尺寸中扮演著突出的角色。還表明，在所有無理數(shù)中，黃金比例是最無理性的，因此，在數(shù)論、搜索算法、函數(shù)的最小化、網(wǎng)絡(luò)理論、某些材料的原子結(jié)構(gòu)以及生物有機體的生長中有獨特的應(yīng)用?！聿榈隆·鄧?yán)?，《黃金比例與斐波那契數(shù)列》

彭羅斯鋪砌最重要也是最常見的特征是黃金比例的涉及。

你認(rèn)為黃金比例是如何出現(xiàn)在這個圖案中的呢？你知道彭羅斯鋪砌的圖案包含一種五重對稱。黃金比例與五邊形有著根本的關(guān)聯(lián)。更準(zhǔn)確地說，它是直接構(gòu)建在它們的構(gòu)造中的。五邊形的對角線與邊的比率恰好是黃金比例。

另一個有趣的事實是，在任何鋪砌中，風(fēng)箏與鏢的數(shù)量比接近黃金比例。因此，黃金數(shù)的無理性行為提供了證據(jù)，表明該圖案無論如何都不可能是周期性的。因為，如果圖案是周期性的，那么它可以表示為兩個整數(shù)的比例。

從古希臘的畢達(dá)哥拉斯和歐幾里得，到中世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家皮薩的萊昂納多和文藝復(fù)興時期的天文學(xué)家約翰內(nèi)斯·開普勒，再到當(dāng)代科學(xué)家如牛津物理學(xué)家羅杰·彭羅斯，歷代最偉大的數(shù)學(xué)思想家們已經(jīng)在這個簡單比例及其性質(zhì)上花費了無數(shù)小時……

生物學(xué)家、藝術(shù)家、音樂家、歷史學(xué)家、建筑師、心理學(xué)家，甚至神秘主義者都對其普遍性和吸引力的基礎(chǔ)進(jìn)行了思考和辯論。事實上，可以公平地說，黃金比例激發(fā)了數(shù)學(xué)史上所有學(xué)科思想家的靈感，這是其他任何數(shù)字所無法比擬的。

公共場所的所有類型的彭羅斯鋪砌

這些非周期性鋪砌也已經(jīng)應(yīng)用于建筑以及裝飾目的。下面展示了一些作為例子的地板鋪砌。