前言：很多人知道楊振寧的名氣很大，卻不知道他的最大貢獻是什么，往往津津樂道于他的私生活，這是舍本逐末的做法。同時對多數(shù)人來說，張量是數(shù)學中比較難理解的，而愛因斯坦引力場方程和楊—米爾斯方程就更加難以理解。如果看不懂數(shù)學和物理部分，就直接看文中的郵票和后記，你會感興趣的。
廣義相對論中的引力場方程，和量子力學中規(guī)范場論的楊—米爾斯方程（楊就是楊振寧），在物理史上都具有劃時代的意義，都是使用數(shù)學中的張量來描述的，可以說不懂張量就難以理解相對論和規(guī)范場論。
愛因斯坦引力場方程，人類探索宇宙的理論基礎
通過本文我們就最簡單的學習一下張量，以便理解這兩個偉大的方程，為便于理解，我們并不打算使用官方語言來解釋。
楊振寧最偉大的成就，就是這個公式
1-張量是一種數(shù)學語言：
簡單的說張量就是一組有序數(shù)，是一組有序數(shù)的表現(xiàn)方式，或者說是記號。與向量、矩陣一樣，張量也是一種表現(xiàn)方式，其本質(zhì)就是一組有序的數(shù)字。
張量是比向量和矩陣更高級的記號，它向下包含了向量和矩陣，凡是向量和矩陣能表示的，張量都能更簡潔地表示。
1-1.張量的表示方法
比如下面這三個張量
從左至右分別是1、2、3階張量，小數(shù)字寫在上面就是上標，寫在下面就是下標
因為輸入法的原因，我們文本中用符號“_”表示張量下標，用符號“^”表示張量上標。那么上面的張量分別寫作——
X_i是一個1階張量，G_uv是一個2階張量，F(xiàn)_uv^a是一個3階張量。上、下標的數(shù)量就是張量的階，即出現(xiàn)了幾個上下標張量就是幾階。如果我們不提是幾階張量，就默認是2階。
1-1-1. 零階張量為標量，即沒有方向的量，比如時間t、溫度T。
1-1-2. 一階張量是矢量，比如Xi =[X1,X2……,Xn]就是一組n個元素的數(shù)組，i為指標。比如i=1,2,3時，定義向量a即空間矢量OP，數(shù)組形式表示的向量a=[x,y,z]，其中的x、y、z叫做元素（或稱為分量），可以理解為向量a在三維坐標系上的投影。
OP即空間矢量（或稱向量），是1階張量
向量a還可以寫成矩陣形式
1階張量用矩陣或數(shù)組表示，只有一行或一列
1-1-3. 二階張量可用矩陣表示，比如理論力學中的應力計算中，應力張量表示為σ_ij， i和j兩個下標我們稱之為指標，i=1,2,3，j=1,2,3，可以展開成為3×3=9個元素的矩陣，每個元素是有兩個指標表示的矢量，力學中代表了受力物體不同表面、不同方向的應力。
用2階張量表示的應力
展開成3×3矩陣，形式如下
應力張量展開成矩陣形式
1-1-4. 三階以上的張量也可用矩陣表示，用張量記號的目的無非是書寫簡單、便捷。比如3階張量δ_mnk，就是有m×n×k個元素的矩陣……4階直到n階張量都是一樣的道理。
1-1-5. 對于張量的結構，我們用集郵冊為例，來形象的理解一下。
集郵冊的封面，沒有任何郵票，理解為0階張量，即標量。
集郵冊封面就是0階張量，即標量
翻開集郵冊，沒有分隔槽的頁面是用來存放二到數(shù)張小型張或聯(lián)票的，理解為1階張量即矢量，排成一行或者一列。
集郵冊內(nèi)存放小型張的大頁面，就是1階張量，即矢量（或稱向量）
帶分隔槽的頁面，理解為2階張量即矩陣，20張郵票排成了4行5列，其中的i=1,2,3,4表示行，j=1,2,3,4,5表示列，i和j就是指標，每一張郵票就是元素或分量。
集郵冊內(nèi)存放郵票的頁面，就是2階張量
整本集郵冊，每頁20張郵票，共有30頁，理解為3階張量，這30頁的每一頁就是增加的分量k=1,2,……,30。
整本集郵冊，就是3階張量
如果我們有5本這樣的集郵冊，那么就增加第4個指標m=1,2,3,4,5，這就構成了4階張量。那么我們表示這5本集郵冊的全部信息，書寫就變得簡潔了，用張量Y_mkij表示。Y表示張量代號，索引第m本的第k頁的第i行第j列，就能找到某一張郵票。
5本同樣的集郵冊，就組成了4階張量
1-2. 張量的分類
比如下面運算中這三個張量
從左至右分別是混合張量、逆變張量、協(xié)變張量
1階張量g_i的指標i在下方，稱為協(xié)變張量。1階張量g^j指標j在上方，稱為逆變張量。2階張量g_i ^j上下都有指標，稱為混合張量。隨著某一個量的變化，隨之一致變化的即為協(xié)變，隨之相反變化的即為逆變。
協(xié)變和逆變的區(qū)別在于是否隨坐標系改變而改變
協(xié)變和逆變大家可能覺得不好理解，舉個例子，見上圖。平面斜角坐標系中，x_1和x_2（均為下標）坐標系中，矢量a的分量a^1和a^2向量模值減小，稱之為逆變；增加角度后的x ^1和x^2（均為上標）坐標系中，矢量a的分量a_1和a_2向量模值增加，稱之為協(xié)變。
1-3.張量的各類運算結果也用一個張量來表示，主要運算如下。
1-3-1. 張量的加減
加減很簡單，對應的分量加減即可。例如：
張量的加法運算
1-3-2. 張量的點乘
嚴謹?shù)恼f法叫縮并，點乘是降階的。
如a有4階b有2階， a點乘b得到的就是4-2=2階
如a有2階b有1階， a點乘b得到的就是2-1=1階（矩陣乘向量）
如a有2階b有2階， a點乘b得到的就是2-2=0階（矩陣乘矩陣）
點乘結果的階數(shù)就是階數(shù)大的減去階數(shù)小的，比如C、G兩個張量：
張量的點乘
1-3-3. 并乘/張量積
并乘是升階的，并乘結果的階數(shù)就是階數(shù)大的加上階數(shù)小的。
張量并乘寫法一
并乘除了寫圈圈里面一個叉，還可以什么都不寫，就緊貼著。
張量并乘寫法二
i和j都是自由下標，結果為2階張量，所以這是9個分量。
張量的并乘運算
1-3-4. 張量的叉乘
叉乘是不升不降的。例如向量的叉乘
張量的叉乘
這里e_i代表坐標軸的單位向量，e_ijk叫做置換符號(又叫里奇符號，后面的引力場方程會再次出現(xiàn)以這位數(shù)學家命名的張量符號）
張量的置換
1-3-5. 用張量記號簡寫求偏導
張量也可以簡寫求偏導操作，例如：
(??/?x, ??/?y, ??/?z)
就可以簡寫為??/?i，或者?i
注意：張量的乘法運算中，交換順序結果會改變，即AB≠BA。
張量還有很多運算方式，因篇幅限制就不細解了，我們只需知道張量的基本數(shù)學概念即可，因為我們的目的是理解后面的物理公式，下面就開始詳解愛因斯坦引力場方程和楊—米爾斯方程。
2-先看廣義相對論的愛因斯坦引力場方程：
愛因斯坦場方程
這是一個二階張量方程，R_uv為里奇曲率張量表示了空間的彎曲狀況；G_uv為愛因斯坦張量；T_uv為能量-動量張量，表示了物質(zhì)分布和運動狀況；g_uv為里奇度規(guī)張量；R為里奇曲率標量，G為萬有引力常數(shù)；c為光速；其中u、v= 0,1,2,3，表示四維時空。
2-1.其中能量-動量張量T_uv用4×4矩陣方式展開式如下：
能量-動量2階張量T_uv展開的4×4矩陣方式
其中1、2、3表示X/Y/Z軸組成的三維空間，0表示第四維度的時間。T_00表示能量密度除以光速的平方；T_01/T_02/T_03為動量密度，即相對論的質(zhì)量；T_10/T_20/T_30在此表示能量；
T_11/T_12/T_13/T_21/T_22/T_23/T_31/T_32/T_33為動量……
2-2.可能大家覺得上述指標u、v很難理解，請見以下詳解：
四維時空是由X/Y/Z軸和時間t軸構成的閔可夫斯基平直坐標系。
四維時空的模擬圖，時間t軸與XYZ軸均成45度
廣義相對論是用黎曼流體幾何描述的，具體到某一點的作用，就需要用該點切空間TxM中的一組切向量u和法向量v來表示。
黎曼流體幾何中任意一點，可以用的切空間TxM、切向量u和法向量v來表示
那么這兩個向量u、v在X/Y/Z軸投影的分量就可以用下圖表示。
指標1、2、3也可以用X、Y、Z 替換，藍色箭頭T理解為時間分量
由此可見，將張量展開成數(shù)組或矩陣，就是將作用量從黎曼流體空間轉(zhuǎn)化成笛卡爾平直空間的過程，這也是張量非常重要一個的幾何意義。
2-3.同上，里奇曲率張量R_uv的展開式，也可以用矩陣方式描述:
里奇曲率2階張量R_uv展開成矩陣
同樣是一個二階張量，它包含了時空曲率的所有信息，是一個在黎曼流形每點的切空間上的對稱雙線性形式。它是黎曼曲率張量的一個縮并，提供了一個數(shù)據(jù)去描述給定的黎曼度量所決定的體積，究竟偏離了歐幾里得空間多少的程度。
2-4.里奇度規(guī)張量g_uv是從黎曼度規(guī)張量縮并而來的，是指用來衡量度量空間中距離及角度的二階張量：
g_uv = ?x^α/?x^μ * ?x^β/?x^ν * g_αβ
將平直時空的度規(guī)變換到引力場中一般坐標系中，就需要引入度規(guī)張量，它是從狹義相對論的閔可夫斯基四維的平直坐標系轉(zhuǎn)變?yōu)槔杪黧w幾何坐標系，所需要的一個常量張量，非常復雜，我們簡單的知道這個概念即可。
下面的公式就是著名的場方程
2-5.愛因斯坦場方程的物理意義是：空間物質(zhì)的能量-動量T_uv = 空間的彎曲狀況R_uv，在任意參考系內(nèi)，質(zhì)量都會產(chǎn)生引力，引力會彎曲時空。
舉個例子，太陽和地球下灰色的桌布表示時空，太陽擁有足夠大的質(zhì)量因此能產(chǎn)生較大的引力，會使時空彎曲。彎曲后的時空，距離太陽越近的地方桌布凹陷的越深，就是時空彎曲程度越大；地球距離太陽較遠，時空彎曲程度較?。欢x太陽很遙遠或無窮遠處，時空彎曲程度很小，桌布基本上是平的。愛因斯坦場方程，就是對這個時空彎曲效應的量化描述。
天體的時空彎曲效應就是由場方程來量化的
3- 大名鼎鼎的楊—米爾斯方程形式如下，是以楊振寧和他的學生米爾斯的命名的偉大公式。
楊—米爾斯方程的一般形式
3-1．要理解該方程，需要先簡單了解一下李群：
從代數(shù)上定義，李群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數(shù)結構；是可用來建立許多其他代數(shù)系統(tǒng)的一種基本結構。設G是一個拓撲群，同時是一個微分流形，若G作為群的群乘法與逆映射都是光滑的，則G稱為李群。
這樣說大家可能覺得十分抽象，那么從幾何上看，SU(N)作為李群，它不僅僅是矩陣群，它同時也是一個N2-1維的彎曲流形，即一個高維的曲面。
曲面的切空間TΩ0SU(N)，就是李群SU(N)
我們將SU(N)視為高維的曲面，那么對于任意Ω0∈SU(N)，用表示TΩ0SU(N)在處的切空間。在數(shù)學上我們稱這個切空間為李代數(shù)，它是一個N2-1維的線性空間，其基底是N2-1個線性無關的埃爾米特矩陣，即：
埃爾米特矩陣
在物理中，我們稱這些李代數(shù)的基底{τa}是規(guī)范場的表示元，原因在于它們確實可以被用來表示規(guī)范場[1,2]，是規(guī)范場中最基本的物理量，就如同我們中學時所學的向量需要通過坐標系來表達一樣。當N=2的時候，這一組基底在標準模型中取用3 個泡利矩陣表示；當N=3的時候，這一組基底在標準模型中取用8個蓋爾曼矩陣表示。這兩種矩陣是我們討論強、弱相互作用時要使用的，它們?nèi)缦聢D所示：
泡利矩陣是對稱的，蓋爾曼矩陣是非對稱的
對李群這個概念，我們繼續(xù)沿用前面章節(jié)1-1-5的集郵的比方，李群中的數(shù)組就是每個人的多本集郵冊，那么李群就類似于多人組成的集郵協(xié)會，是個集合，或群體。
3-2.接下來就講解楊—米爾斯方程，它還可以寫成如下形式：
SU(2)和SU(3)群的楊米爾斯方程形式
那么上述兩個方程，從上到下從左至右，全部數(shù)學符號的意義如下：
￡_YM：楊—米爾斯張量而形式的拉格朗日量，是一個2階協(xié)變張量，即系統(tǒng)的動能T與勢能V的差值。
張量中的u、v：是指四維時空中的兩個指標u 、v = 1,2,3,4。其中1,2,3分別表示X/Y/Z坐標，4表示時間。
F_uv^a：是一個3階混合張量，表示規(guī)范場a中有u、v兩個指標的場強張量F，其中a、b、c的含義和關系見下。
?u和?v：即?ψ/?u和?ψ/?v，表示對四維時空中的u、v兩個指標求偏導，ψ是規(guī)范場中的波函數(shù)。
張量中a、b、c：符號a是李代數(shù)群的指標，表示SU(N)群所對應的規(guī)范場數(shù)量為N2-1；如SU(2)群弱相互作用對應的3個規(guī)范場，a=1,2,3；SU(3)群強相互作用對應的8個規(guī)范場，a=1,2,3……,8；指標a決定了指標b、c并構成了李群，它們之間滿足張量計算τ_b τ_c - τ_c τ_b = i f_bc^a τ_a，其中τ_a為李代數(shù)的基底（基底可以簡單的理解為矢量在坐標系中轉(zhuǎn)換的度量衡或轉(zhuǎn)換單位），i為復數(shù)，基底的變化還決定了b、c指標不同的取值范圍。
混合張量f_bc^a：是李代數(shù)結構常數(shù)，f_bc^a取決于基底τ_a的選擇，從上面a、b、c的張量計算式中就能看出a和b、c變換方向相反，所以構成了f_bc^a形式的混合張量。在非阿貝爾群中，這些常數(shù)反映了群元素的乘法不滿足交換律的特性。
符號g：SU(N)群的耦合常數(shù)，是粒子通過相互作用轉(zhuǎn)化過程強度的參數(shù)。
混合張量A_u^a、A_v^a、A_u^b、A_v^c：其中的張量指標u、v、a、b、c的定義同上，A為矢勢；前兩個二階混合張量表示粒子在規(guī)范場四維時空的矢勢；后兩個混合張量表示李群結構中的矢勢。
玻色子的自旋量子數(shù)為整數(shù)，而費米子的自旋量子數(shù)為半整數(shù)
3-3.數(shù)學一旦清晰，就能從物理上解釋楊—米爾斯方程：
楊—米爾斯方程從SU(N)規(guī)范變換也可以給出拉格朗日作用量—即G_v^a的泛函（泛函是指將函數(shù)本身作為一個變量元，形成一個新的函數(shù)），那么G_v^a就是規(guī)范場：
楊米爾斯方程的規(guī)范場變換式
3-3-1.量子力學的框架是：四種基本相互作用都會輻射場粒子，這種在發(fā)生相互作用的過程中輻射出來的場粒子就是媒介子，它是玻色子，也是場能量的攜帶者。按照規(guī)范場理論，媒介子就是由規(guī)范場來刻畫的基本粒子。在電磁相互作用中，媒介子是光子，規(guī)范場就是電磁場；在強相互作用中的媒介子有8種膠子，正好由SU(3)群8種規(guī)范場來描述，規(guī)范場是強核力場；而弱相互作用中的媒介子有3 種，即W+/W-/Z三種玻色子，而SU(2)規(guī)范場有3種，規(guī)范場是弱核力場。
按照量子電動力學，傳遞電磁力的媒介是光子
媒介子是參與相互作用的一些粒子，它們被認為在相互作用的過程中傳遞相應的相互作用，是兩個費米子發(fā)生相互作用的“媒介”。而費米子是構建物質(zhì)的基本粒子，包括夸克、質(zhì)子、中子等，由它們組成各種微觀粒子，費米子在規(guī)范場中由波函數(shù)ψ來刻畫，描述他們的運動方程是狄拉克方程。
按照弱電統(tǒng)一論，傳遞弱核力的是W+、W-和Z三種玻色子，均存在質(zhì)量
3-3-2.電磁場是U(1)規(guī)范場，是可交換的變換群即阿貝爾群。此時楊—米爾斯方程中的耦合常數(shù)g為零，那么方程右邊只剩下前面兩項，?_u G_a^v -?_v F_a^u物理意義就是規(guī)范場中粒子的拉格朗日作用量（動能-勢能）。我們可以從張量形式的麥克斯韋方程組，推導出楊—米爾斯方程，這個過程非常復雜，此處略。
按照量子色動力學，傳遞強核力的是膠子，在三個夸克之間以光速來回運動
3-3-3.SU(2)和SU(3)為非阿貝爾變換群的規(guī)范場。前面描述過，SU(2)群弱相互作用對應的3個規(guī)范場，a=1,2,3，對應的是W+、W-和Z三種玻色子形成的3個規(guī)范場；SU(3)群強對應相互作用的8種膠子，a=1,2,3……8，形成的8個規(guī)范場。
按照規(guī)范場論，膠子共有8種，其中每一種代表了一個規(guī)范場
比如SU(2)群的強度張量F_a^u（指標a=1,2,3表示三種玻色子的形成規(guī)范場；指標u=1,2,3,4表示X/Y/Z軸和時間軸）的矩陣展開為4×3矩陣：
強度張量F_a^u的矩陣展開式
其中每個分量代表了每個規(guī)范場在四維時空中的作用量，方程中的另外幾個張量也可以按照此方式展開。指標u、v的含義與前面愛因斯坦場方程第2-2章節(jié)的描述形同。
方程最右邊的g f_ij^a A_b^u A_c^v是二次項的規(guī)范勢，含義是SU(2)和SU(3)群中不同規(guī)范場的相互作用所形成的場勢能，體現(xiàn)了規(guī)范場的非線性特征。比如SU(2)群W±玻色子和Z玻色子形成的規(guī)范場，因為玻色子質(zhì)量、速度、動量等不同，形成不同的場勢能，這表明不同玻色子的作用量是不同的。
楊振寧和他的學生米爾斯
3-3-4. 楊—米爾斯方程采用張量和李群的數(shù)學方式，描述了規(guī)范場場強和能量的轉(zhuǎn)換數(shù)學關系，將U(1)×SU(2)×SU(3)作為規(guī)范理論，統(tǒng)一了電磁力、弱力和強力，具有劃時代的意義。
楊—米爾斯規(guī)范場理論得到的最重要結果之一是漸近自由，該結果可以通過假設耦合常數(shù)g(小非線性)，高能量和應用攝動理論得到。該理論明顯具有普適性，只要規(guī)范群有連續(xù)的參數(shù)，其取值范圍是有限的。關鍵在于適當選擇描述規(guī)范對稱性的連續(xù)群，以及粒子規(guī)范變換的具體形式，即τ_a的選擇。
方程準確的預測了方程中的玻色子種類a，指導弱電統(tǒng)一論和量子色動力學的研究方向，建立了標準模型，迄今為止所有的實驗，都沒有超過標準模型的預測，這的確是一項偉大的成就。
四種作用力有三種被楊-米爾斯規(guī)范場論所統(tǒng)一，唯獨萬有引力置身事外
愛因斯坦場方程和楊-米爾斯方程都是非線性的，而且都是將空間流體面，通過張量方式微分到笛卡爾平直空間坐標，對空間-時間-運動-能量來進行量化計算的。
但是兩個方程的張量形式和意義是有區(qū)別的：愛因斯坦場方程是將4階的黎曼張量縮并為2階的里奇張量來描述的，方程對應的是廣義相對論的基本原理，即物質(zhì)告訴時空怎么彎曲，時空告訴物質(zhì)怎么運動；楊-米爾斯方程則是通過李群代數(shù)的2階張量和3階張量二次項來描述的，方程對應的是規(guī)范場理論，即粒子的作用在某種規(guī)范變換下保持不變，這是一種量子場論。
兩個偉大的方程都是以張量形式表達的
楊-米爾斯方程雖然統(tǒng)一了電磁力、弱核力和強核力，但是無法與引力場方程自洽，最明顯的就是SU(N)群中未包括引力作用，這被少數(shù)物理學家夸張的戲稱為“物理學的烏云”。但是這并不妨礙廣義相對論和規(guī)范場論在各自的領域各行其道，獲得廣泛認可的同時，并對現(xiàn)代物理起到引路航標的作用。
左為閔可夫斯基，德國數(shù)學家，愛因斯坦的老師。右為學生時代的愛因斯坦，萌萌噠。
后記：正文中出現(xiàn)的閔可夫斯基四維時空，是以愛因斯坦的老師閔可夫斯基命名的。愛因斯坦上大學時學習平平還時常逃課，閔可夫斯基不喜歡愛因斯坦，稱他為懶豬。但是愛因斯坦用老師的四維時空理論建立了狹義相對論，并將老師的名字寫進書中，閔可夫斯基也因此名垂青史，這也算是一個趣聞。
人類歷史上最偉大物理學家排名 ：1.牛頓 2.愛因斯坦 3.麥克斯韋 4.楊振寧
目前多數(shù)觀點認為，在偉大的物理學家排名中，前四名依次是牛頓、愛因斯坦、麥克斯韋、楊振寧。這四人中，數(shù)學最好的是牛頓，因為他是微積分的發(fā)明者之一；最差的是愛因斯坦，他的場方程是求助了幾位數(shù)學家才完成的?？梢姅?shù)學在物理中的作用是非常巨大的，優(yōu)秀的物理學家往往是數(shù)學家，但是數(shù)學家往往較少是物理學家。數(shù)學作為最重要的工具，為其它學科提供的幫助，遠比我們想象的要大得多。
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