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不論是微觀狀態(tài)的基本粒子，還是宏觀狀態(tài)的天體星系，我們?cè)诿枋銎淠芰繒r(shí)都有不同的表述方式，本文就將對(duì)這些物理過程做簡(jiǎn)單闡述。

德國(guó)物理學(xué)家普朗克（1858~1947），量子力學(xué)創(chuàng)始人，獲得1918年諾貝爾獎(jiǎng)

對(duì)自由狀態(tài)的基本粒子而言，其能量按照普朗克公式E=hf，h為普朗克常數(shù)f為頻率，該公式可以根據(jù)質(zhì)能方程推導(dǎo)出來(lái)。根據(jù)波粒二象性，當(dāng)速度v<<光速c時(shí)，可以簡(jiǎn)單的認(rèn)為粒子的能量E=1/2mv2=hf；當(dāng)v接近c(diǎn)時(shí)，E=mc2=hf；其意義為粒子的能量就是其動(dòng)能。非自由狀態(tài)的基本粒子，如果考慮到其它粒子的作用還應(yīng)加上勢(shì)能，比如其它粒子的電磁場(chǎng)對(duì)該荷子產(chǎn)生的電磁力而產(chǎn)生的場(chǎng)勢(shì)能，可根據(jù)庫(kù)侖公式F=k(q1)(q2)/r2和勢(shì)能公式U=qV，V是電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)，得到電子的勢(shì)能U=-k(q1)(q2)/r，其中q1為原子核的電量，q2為電子的電量，r為電子距離原子核的距離，根據(jù)這個(gè)公式，可以計(jì)算出電子在同位的勢(shì)能大小。

法國(guó)物理學(xué)家?guī)靵觯?736～1806），電荷的單位就是以他的名字命名的

對(duì)于微觀粒子和宏觀物質(zhì)，可以根據(jù)狹義相對(duì)論的質(zhì)增公式m=(m0)/sqrt[1-(v/c)2]和牛頓第二定律推導(dǎo)出質(zhì)能方程，其中m物體加速后的質(zhì)量，m0為物質(zhì)的靜質(zhì)量，sqrt為平方根符號(hào)。通過簡(jiǎn)單的積分運(yùn)算，質(zhì)能方程推導(dǎo)過程如下：

E=∫Fds=∫d(mv)/dt*vdt

=∫vd{(m0)/sqrt[1-(v/c)2]}

=(m0)c2/sqrt[1-(v/c)2]-(m0)c2

=mc2-(m0)c2

其意義為速度為v時(shí)物質(zhì)的能量可以表示為mc2，靜止時(shí)能量為(m0)c2，于是可得E=mc2。

對(duì)于復(fù)合粒子和宏觀物質(zhì)，才存在內(nèi)能，某種意義上我們可以簡(jiǎn)單的理解為的基本粒子動(dòng)能積分之和就是宏觀物體的內(nèi)能。

這位就不用介紹了，地球人都知道

比如三個(gè)夸克和膠子組成的質(zhì)子，可以簡(jiǎn)單的表示為能量E = 夸克之間的強(qiáng)核力產(chǎn)生的場(chǎng)勢(shì)能E1 + 夸克振動(dòng)的動(dòng)能 E2 + 膠子振動(dòng)的動(dòng)能E3，其中E1＞＞E2+E3。其實(shí)夸克內(nèi)部能量極其復(fù)雜遠(yuǎn)非這種簡(jiǎn)單表達(dá)方法，這里可以近似的用質(zhì)能公式和動(dòng)能公式計(jì)算，E=mc2+1/2mv2，即夸克的總能量為其內(nèi)能和夸克膠子振動(dòng)的動(dòng)能之和，其內(nèi)能就是夸克之間被膠子禁錮在一起的強(qiáng)力產(chǎn)生的結(jié)合勢(shì)能。

因此，我們通常所說的內(nèi)能E=mc2指的是復(fù)合粒子系統(tǒng)的總能量，而不是基本粒子的內(nèi)能，基本粒子使用該公式時(shí)表示其達(dá)到或接近光速運(yùn)動(dòng)，比如光子、膠子和引力子以光速運(yùn)行，中微子接近光速，強(qiáng)勢(shì)場(chǎng)中的電子也接近光速?；玖Ｗ訜o(wú)內(nèi)部結(jié)構(gòu)，因此沒有內(nèi)能只有動(dòng)能，基本粒子的動(dòng)能來(lái)自于強(qiáng)力場(chǎng)和電磁場(chǎng)等。

按照量子力學(xué)理論，不僅宏觀物質(zhì)，任何粒子也是遵守相對(duì)論質(zhì)增原理，比如質(zhì)子在粒子加速器中磁場(chǎng)的的加速下，速度增加后質(zhì)量也會(huì)增加。又比如電子吸收了一個(gè)光子，獲得能量并加速后，其質(zhì)量會(huì)增加。

美國(guó)物理學(xué)家蓋爾曼（1929～2019），夸克的發(fā)現(xiàn)者，獲得1969年諾貝爾獎(jiǎng)

從量子角度看，宏觀物質(zhì)和微觀粒子為什么加速后質(zhì)量和能量增加？物質(zhì)加速的能量無(wú)非來(lái)源于外部的引力場(chǎng)、電磁場(chǎng)、強(qiáng)力場(chǎng)、弱力場(chǎng)等作用，外部能量ΔE’可以轉(zhuǎn)化為物質(zhì)能量ΔE，然后轉(zhuǎn)化為物質(zhì)的動(dòng)能1/2(m0)v2，該動(dòng)能又轉(zhuǎn)化為物質(zhì)增加的質(zhì)量Δm。于是我們得到質(zhì)能方程的另外一種寫法，即

ΔE=mc2-(m0)c2

=Δmc2=1/2(m0)v2

m為物質(zhì)加速后的質(zhì)量，m0為物質(zhì)的靜質(zhì)量，ΔE為能量差即等于物質(zhì)獲得的動(dòng)能1/2(m0)v2。其意義就是物質(zhì)加速后增加的動(dòng)能等同于其質(zhì)量增加，這就是狹義相對(duì)論質(zhì)能方程的含義。當(dāng)然質(zhì)能方程還可以用以下公式描述可以更加清楚的解釋上述內(nèi)容，也可以質(zhì)能方程的泰勒展開式描述即E=mc2+1/2mv2+3/8m(v/c2)2+ ……第三項(xiàng)和之后的為勢(shì)能，在v＜＜c時(shí)可以忽略不計(jì)。因此可以說物質(zhì)的動(dòng)能和內(nèi)能是可以互相轉(zhuǎn)化的。

英國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家泰勒（1658～1731），提出了有限差分法和泰勒定理

例如，一個(gè)質(zhì)量為m中子衰變成質(zhì)量為m1質(zhì)子、n2個(gè)質(zhì)量為m2的電子、n3個(gè)質(zhì)量為m3的反中微子，那么在不考慮中子和質(zhì)子動(dòng)能和電子勢(shì)能的情況下，根據(jù)上述方程，于是可得中子的能量E=mc2=(m1)c2+1/2(n2)(m2)(v2)2+(n3)(m3)c2=(m1)c2+h(n2)(f2)+h(n3)(f3)，其中中微子的速度接近光速故其動(dòng)能為(m3)c2。因?yàn)殡娮雍头粗形⒆邮腔玖Ｗ忧业陀诠馑?，因此其能量可以用粒子?dòng)能和波動(dòng)能量同時(shí)來(lái)表達(dá)。從中可以看出，質(zhì)子的質(zhì)量小于中子的質(zhì)量，與觀測(cè)結(jié)果是符合的，質(zhì)子的確是最輕的重子。

而在夸克衰變成電子和光子的過程中，也可以用上面這種近似的方法來(lái)表示光子的能量，但是光子靜質(zhì)量為零，因此不能用動(dòng)能公式mc2來(lái)表達(dá)，只能使用E=hf表示。

法國(guó)物理學(xué)家德布羅意（1892～1987），首先提出粒子波的動(dòng)量和能量方程，獲得1929年諾貝爾獎(jiǎng)

對(duì)于恒星和行星等天體，雖然其內(nèi)部分別存在核聚變和內(nèi)部熱能，但是也可以簡(jiǎn)單估算其內(nèi)部能量E=mc2，據(jù)此我們可以估算恒星的壽命。恒星的壽命公式為T=1/10E/L=1/10Mc2/L，M為恒星的質(zhì)量c為光速L為恒星的光度，即恒星每秒輻射的能量；1/10為常量項(xiàng)，表示恒星內(nèi)部大約只有10%的物質(zhì)能夠直接參與核聚變。

對(duì)質(zhì)量分別為M和m的兩個(gè)孤立天體，m與M相距r時(shí)，根據(jù)萬(wàn)有引力公式和牛頓第二定律，對(duì)于質(zhì)量較小的天體動(dòng)能可表示為Ek=1/2mv2=GMm/2r，于是可得v=sqrt(GM/r)；取無(wú)窮遠(yuǎn)處為萬(wàn)有引力勢(shì)能零點(diǎn)，則引力勢(shì)能Ep=-GMm/r；于是可得天體的總機(jī)械能為E=Ek+Ep=1/2mv2-GMm/r=-GMm/2r，該機(jī)械能對(duì)研究天體的運(yùn)行軌道和星系合并等現(xiàn)象具有重要意義。

科學(xué)巨匠牛頓（1643～1727），英國(guó)物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家，因發(fā)現(xiàn)牛頓三大定律、萬(wàn)有引力定律和微積分而名垂青史

而對(duì)于黑洞而言，因?yàn)楣庾犹与x天體的過程就是克服引力的過程，光子的動(dòng)能=引力勢(shì)能，即上述Ek=Ep，1/2mv2=GMm/r并簡(jiǎn)單用光速c代入v，可得r=GM/c2，這就是史瓦西半徑，表示光距離黑洞的最小逃逸距離，一旦小于此半徑光將被黑洞吸收。其物理意義并不是黑洞的引力勢(shì)能大于光子的能量而吸收光，而是黑洞附近彎曲的空間曲率極大，光的行進(jìn)路徑被彎曲從而落入黑洞。

德國(guó)科學(xué)家史瓦西（1873～1916），首先推導(dǎo)出黑洞史瓦西半徑公式

上述全部能量計(jì)算中，并沒有考慮到其它物質(zhì)的影響，比如計(jì)算電子能量時(shí)，不僅有自己的動(dòng)能，該原子核電磁力產(chǎn)生的勢(shì)能，還有相對(duì)于其它原子核和其它電子的勢(shì)能，因此較為準(zhǔn)確的計(jì)算需要用到微擾法。比如，含有微擾的哈密頓量H=H0+λV，H0為本征值，λ為無(wú)量綱參數(shù)，V表示微弱的物理擾動(dòng)這里可以理解為場(chǎng)產(chǎn)生的勢(shì)能。如果微擾足夠弱時(shí)，可以將能量表示為E=E(0)+λE(1)+λ2E(2)+......E(0)為本征能量，后面幾項(xiàng)的冪級(jí)指數(shù)項(xiàng)為擾動(dòng)值，即1級(jí)、2級(jí)、3級(jí)......的近似值。

微擾法不僅用于量子的計(jì)算，也用于天體。比如地球不僅受到太陽(yáng)的引力作用，還受到其它行星的引力，也可以采用微擾法。但是通常情況下，我們只需對(duì)太陽(yáng)這個(gè)主要引力場(chǎng)計(jì)算引力勢(shì)能，就可以得到近似解。

計(jì)算八大行星的動(dòng)量和軌道，都要用到微擾法，因?yàn)樾行侵g也互相存在引力作用

涉及到復(fù)雜作用場(chǎng)的能量，比如愛因斯坦引力場(chǎng)方程

G_uv=R_uv - 1/2Rg_uv

=8πGT_uv/c^4

其中這是一個(gè)二階張量方程，R_uv為里奇張量表示了空間的彎曲狀況；G_uv為愛因斯坦張量；T_uv為能量-動(dòng)量張量，表示了物質(zhì)分布和運(yùn)動(dòng)狀況；g_uv為里奇度規(guī)張量；R為里奇曲率標(biāo)量；G為萬(wàn)有引力常數(shù)；c為光速。物理意義是：空間物質(zhì)的能量-動(dòng)量T_uv =空間的彎曲狀況R_uv。其中Tuv用矩陣方式展開式如下：

能量-動(dòng)量Tuv張量的4X4矩陣展開式，矩陣是數(shù)組的另一個(gè)表現(xiàn)形式

其中1、2、3表示X、Y、Z軸組成的三維空間，0表示第四維度的時(shí)間。T_00表示能量密度除以光速的平方；T_01、T_02、T_03為動(dòng)量密度，即相對(duì)論的質(zhì)量；T_10、T_20、T_30為能量；T_11、T_12、T_13、T_21、T_22、T_23、T_31、T_32、T_33為動(dòng)量……可見場(chǎng)方程中能量的表達(dá)方式極其復(fù)雜，目前還不能對(duì)該方程求解，只能在特定條件下求近似解。

而作為終極理論的弦理論，通常認(rèn)為弦的大小接近普朗克尺度，?2ψ/?x2 - (1/c2)?2ψ/?t2 = 0方程描述了弦的振動(dòng)，其中ψ表示弦的振動(dòng)幅度，x為弦的位置，t為時(shí)間，c為光速。這個(gè)二階偏微分方程表明，弦的振動(dòng)遵循波動(dòng)規(guī)律，正是這種振動(dòng)使得弦能夠產(chǎn)生各種基本粒子。

弦理論目前還是一種假想理論，它認(rèn)為萬(wàn)物都是由各種弦構(gòu)成的

為了更好地解釋基本粒子之間的相互作用，弦理論滿足如下場(chǎng)方程：R?? - 1/2g??R = κ(T?? - 1/2g??T)。其中R??是里奇張量，R是里奇標(biāo)量，κ是常數(shù)，T??是能量-動(dòng)量張量，g??是對(duì)稱度量場(chǎng)。這些方程描述了弦在高維時(shí)空中的運(yùn)動(dòng)以及與其他場(chǎng)的相互作用，我們所關(guān)心的弦在作用場(chǎng)的能量T??還是以很復(fù)雜的二階張量來(lái)表達(dá)的。簡(jiǎn)單的說對(duì)于弦的主弦振動(dòng)能量，依舊滿足質(zhì)能方程E=mc2，因?yàn)橄依碚撜J(rèn)為全部基本粒子都是由斷開或閉合的弦構(gòu)成的，即基本粒子都有內(nèi)部結(jié)構(gòu)。

本文并未描述熱能，因?yàn)闊崮艿谋举|(zhì)就是微觀粒子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，我們可以用粒子的動(dòng)能來(lái)描述熱能的大小。

比較弦理論只存在于理論而未經(jīng)證實(shí)，還是回到經(jīng)典量子力學(xué)，ih?ψ/?t=V(x,y,z)ψ-h2(?2ψ/?x2 +?2ψ/?y2+ ?2ψ/?z2) /2m是薛定諤方程的三維形式，這是個(gè)二階偏導(dǎo)微分方程，其中的ψ為波函數(shù)h是約化普朗克常數(shù)m為粒子質(zhì)量t為時(shí)間，與弦理論一維的振動(dòng)不同，是對(duì)三維空間求偏導(dǎo)，其中V(x,y,z）項(xiàng)就是粒子的勢(shì)能，即粒子所在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的勢(shì)能。其物理意義簡(jiǎn)單的說是，電磁場(chǎng)的能量產(chǎn)生了荷子的波動(dòng)，即粒子波的動(dòng)能來(lái)自于場(chǎng)勢(shì)能。

奧地利物理學(xué)家薛定諤（1887～1961），量子力學(xué)奠基人之一，獲得1933年諾貝爾獎(jiǎng)

最后來(lái)簡(jiǎn)單分析一下麥克斯韋方程組是如何表達(dá)能量的，高斯定律曲面積分形式：∫∫Eds=Q/ε；法拉第定律路徑積分形式：∫Edl=∫(dB/dt)ds；高斯磁定律曲面積分形式：∫∫Bds=0；安培麥克斯韋定律路徑積分形式：∫Bdl=uI+uε∫(dE/dt)ds。其物理意義最簡(jiǎn)單的說就是，電場(chǎng)E和磁場(chǎng)B是可以互相轉(zhuǎn)換的，因?yàn)殡妶?chǎng)和磁場(chǎng)分別代表著能量，所以其能量統(tǒng)稱為電磁能。

偉大的英國(guó)物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家麥克斯韋（1831～1879），因統(tǒng)一電磁理論而聞名于世

整個(gè)宇宙中，大到黑洞，小到弦，只有數(shù)學(xué)表達(dá)式而沒有系統(tǒng)理論的物理過程是毫無(wú)意義的，而只有理論描述卻沒有數(shù)學(xué)表達(dá)式是不完善的，二者是相輔相成的。能量存在于各類場(chǎng)中，那么可以得出，場(chǎng)的概念就是：充斥著各種量子的、符合不同數(shù)學(xué)函數(shù)的、滿足各自物理作用原理的、能量傳遞和交換的時(shí)空。而能量是在各類作用場(chǎng)中通過量子傳遞的，比如光子傳遞電磁能量，引力子傳遞引力勢(shì)能，膠子傳遞強(qiáng)核力的能量，W和Z玻色子傳遞弱核力的能量。

那么什么是能量呢？通過本文我們完全可以得出結(jié)論，不論是微觀粒子還是宏觀物體，能量等同于質(zhì)量，而能量和質(zhì)量都來(lái)自于粒子的波動(dòng)，因此可以說，能量的本質(zhì)就是量子的振動(dòng)。