由中點(diǎn)想到
2024年秋海淀區(qū)九年級(jí)數(shù)學(xué)第27題
記得在張欽博士工作研題系列視頻中，不止一位教師在教學(xué)思考中提到了中點(diǎn)的相關(guān)解題方法，誠(chéng)然，在初中幾何綜合題里，題目一旦給出了中點(diǎn)條件，那么涉及到的知識(shí)點(diǎn)關(guān)聯(lián)就比較廣泛了，例如三角形的中線、線段的垂直平分線、直角三角形斜邊上的中線、三角形中位線、平行四邊形對(duì)角線互相平分、垂徑定理等。
學(xué)生在思考解決問(wèn)題的方法時(shí)，需要根據(jù)題目條件去聯(lián)想所需定理，然后在腦子里尋找它們之間的關(guān)系，在錯(cuò)綜復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中尋找出一條解題之道。
題目
在△ABC中，AD⊥BC，AD+CD=1/2BC，將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接DE.
(1)如圖1，當(dāng)AD=DC=1時(shí)，補(bǔ)全圖形，并求DE的長(zhǎng)；
(2)如圖2，取AE的中點(diǎn)F，連接DF，用等式表示線段DF與AC的數(shù)量關(guān)系，并證明.
解析：
01
(1)AD=DC=1，再加上AD⊥BC，顯然△ADC是一個(gè)等腰直角三角形，然后針對(duì)條件AD+CD=1/2BC的解讀很關(guān)鍵，不妨將AD也放在BC上觀察，截取DG=AD，由AD+CD=1/2BC可得DG+CD=1/2BC，即CG=1/2BC，說(shuō)明點(diǎn)G是BC中點(diǎn)，再連接AG，CE，如下圖：
先判斷△ACG是一個(gè)等腰直角三角形，結(jié)合AB旋轉(zhuǎn)90°后得到AE，因此可證明△ABG≌△AEC；
由AD=DC=1，可進(jìn)一步得到DG=1，而B(niǎo)C=4，BG=2，由全等可知CE=2，因此在Rt△DCE中，由勾股定理求出DE=√5；
02
(2)作圖如下：
一般在給學(xué)生講題的時(shí)候，若有輔助線，則應(yīng)分析輔助線是如何想到的，而不是一上來(lái)就給出輔助線去講解，本題需要學(xué)生作圖，因此上圖就是學(xué)生按題目條件作圖之后的結(jié)果，我們借此來(lái)分析如何尋找DF與AC的數(shù)量關(guān)系；
我們將前一問(wèn)中的部分特殊點(diǎn)畫(huà)出來(lái)，例如BC中點(diǎn)G，這樣我們可得到一個(gè)等腰Rt△ADG，其中DF與其直角邊AD構(gòu)成了一個(gè)三角形，對(duì)△ADF，將其繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，邊AD落在邊GD上，那DF會(huì)落在何處？
再來(lái)看Rt△ACD，取其斜邊上的中點(diǎn)H，連接DH，如下圖：
觀察△DGH和△DAF，我們來(lái)證明它們?nèi)龋?/p>
第一個(gè)條件是GD=AD，第二個(gè)條件來(lái)找相等的邊，由G、H分別是BC，AC邊上中線，所以GH是△ABC中位線，故GH=1/2AB，而點(diǎn)F是AE中點(diǎn)，則AF=1/2AE，而AB=AE，所以GH=AF；第三個(gè)條件來(lái)找?jiàn)A角，由中位線可知GH∥AB，所以∠DGH=∠B，而∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAF=90°，所以∠DGH=∠DAF；
故△DGH≌△DAF，得到DF=DH，在Rt△ACD中，DH是斜邊上中線，所以DH=1/2AC，所以DF=1/2AC.
解題思考
學(xué)生在思考這道題的時(shí)候，也有通過(guò)觀察猜測(cè)DF=1/2AC的，不過(guò)接下來(lái)的路就分成了兩條，一條是取AC中點(diǎn)，順利抵達(dá)終點(diǎn)，另一條是倍長(zhǎng)DF，如下圖：
這一路并不好走，倍長(zhǎng)DF至點(diǎn)H后，需要證明DH=AC，學(xué)生也的確構(gòu)造出了這么一對(duì)三角形，△ACD和△DHM，但在尋找全等條件時(shí)卡頓了；
因此我們?cè)谒伎家坏李}的證明思路時(shí)，突破口非常關(guān)鍵，雖然類似這樣的問(wèn)題，截長(zhǎng)或補(bǔ)短都是可行的，但限于題目條件，可能有的路并不容易，所以需要預(yù)判自已思路接下來(lái)會(huì)如何走，如同下棋一樣，往后多看幾步，思考得越多，解題時(shí)走的彎路就越少。
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