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掛谷猜想（Kakeya conjecture）預(yù)測了讓一條線段指向每一個(gè)方向至少需要多大的地方。在一種又一種數(shù)字系統(tǒng)中，數(shù)學(xué)家們證明它都是正確的，但有一個(gè)重要的例外數(shù)系，仍未獲證。

作者：Kevin Hartnett（量子雜志特約作家）2022-7-26

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2025-1-28

小樂數(shù)學(xué)科普：掛谷猜想專題系列——新數(shù)系將幾何問題指向?qū)崝?shù)解——譯自Quanta Magazine量子雜志

掛谷宗一（Sōichi Kakeya，1886 - 1947）猜想看上去像是一個(gè)腦筋急轉(zhuǎn)彎。將一根針平放在桌子上。你至少需要預(yù)留多大的面積才能使它旋轉(zhuǎn)指向所有可能的方向？

最明顯的可能答案是直徑等于針長的圓。但這顯然是錯(cuò)誤的。在過去的一個(gè)世紀(jì)里，努力理解這種錯(cuò)誤的方式揭示了，這個(gè)看似有趣的小問題實(shí)際上是一個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)本質(zhì)的深刻而挑釁性的數(shù)學(xué)問題——那些實(shí)數(shù)軸上的無限刻度作為該問題首次提出時(shí)空間中的坐標(biāo)。

這已經(jīng)通過近年來對掛谷猜想取得的最顯著進(jìn)展變得清晰起來。這些研究成果將原始問題中從數(shù)學(xué)家們一直受阻的實(shí)數(shù)領(lǐng)域轉(zhuǎn)移到幾何和算術(shù)世界，在這些世界中，線段由一些更易于處理的替代數(shù)字系統(tǒng)定義。

創(chuàng)新精神激發(fā)了數(shù)學(xué)家們新的使命感。

掛谷猜想讓人感覺如此困難，但似乎每過幾年就會出現(xiàn)一個(gè)解，”麻省理工學(xué)院數(shù)學(xué)家拉里·古斯（Larry Guth，1977 -）說，他已經(jīng)研究這個(gè)問題超過15年?！八坪醣任宜娺^的任何其他問題都更有希望?！?/p>

緊繃擠壓

現(xiàn)代版本的掛谷猜想與1917年由掛谷宗一（Sōichi Kakeya，1886 - 1947）提出的原始陳述相去甚遠(yuǎn)。他對在二維平面上將給定長度的一維線段旋轉(zhuǎn)到最終指向所有方向所需的最小面積感到好奇。

一個(gè)直徑等于線段長度的圓盤足以讓線段旋轉(zhuǎn)到所有方向——只需像旋轉(zhuǎn)撥號盤一樣旋轉(zhuǎn)線段。但較小的形狀也可以實(shí)現(xiàn)。

例如，取一個(gè)高等于線段長的等邊三角形。通過執(zhí)行一系列本質(zhì)上是（汽車）三點(diǎn)掉頭的操作，你可以移動線段——因?yàn)樗且痪S的，所以面積為零——圍繞三角形移動并實(shí)現(xiàn)所需的掃描。能夠?qū)崿F(xiàn)這種所有指向的一組點(diǎn)被稱為掛谷集（Kakeya集）。

掛谷想了解掛谷集可能的最小面積。1919年，Abram Besicovitch（艾布拉姆·貝西科維奇，1891 - 1970）給出了令人驚訝的答案：它可以無限小。他證明了可以構(gòu)造出將等邊三角形設(shè)計(jì)推向極致的掛谷集。你最終會得到一個(gè)在所有方向上輻射出的尖刺（spike），而不是三角形的三個(gè)角尖。

“在極限情況下，它看起來像一只奇特的刺猬，”普林斯頓大學(xué)的教授、這項(xiàng)新證明的作者Zeev Dvir（澤夫·德維爾）說。結(jié)果是一個(gè)復(fù)雜的分形排列，其面積可以任意縮小——這相當(dāng)于沒有任何面積。

普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)家和計(jì)算機(jī)科學(xué)家Zeev Dvir與他的學(xué)生Manik Dhar 一起證明了某些有限數(shù)系的掛谷猜想。

圖源：David Kelly Crow

在掛谷宗一提問兩年后，貝西科維奇的構(gòu)造就冒出來消除了他的問題。但幾十年后，數(shù)學(xué)家們設(shè)計(jì)了一個(gè)經(jīng)過修訂的問題版本，這個(gè)版本的證明要復(fù)雜得多。

廣泛虛空

貝西科維奇證明了掛谷集可以具有零面積，但除了面積之外，還有其他方式來描述形狀的大小。貝西科維奇設(shè)計(jì)的集合仍然包含點(diǎn)，而在1970年代，關(guān)于這些點(diǎn)如何高效排列的問題重新出現(xiàn)。

這個(gè)問題被稱為掛谷猜想（與原始的掛谷問題不同），它預(yù)測，如果你有一些小方塊布料，并嘗試將它們放置在掛谷集合上，使得這些方塊完全覆蓋集合，在某種非常精確的意義上，你將需要很多方塊才來完成覆蓋。

集合中的點(diǎn)的排列方式讓它們更容易或更難以被覆蓋的程度，被兩個(gè)密切相關(guān)的稱為豪斯多夫（Hausdorff）維度和閔可夫斯基（Minkowski）維度的度量所刻畫。這些維度概念為數(shù)學(xué)家們提供了一個(gè)嚴(yán)格的框架來探索掛谷集——在貝西科維奇證明僅通過測量面積不足以理解它們的本質(zhì)屬性之后，仍繼續(xù)研究它們的一種方式。

掛谷猜想預(yù)測，掛谷集的豪斯多夫維數(shù)和閔可夫斯基維數(shù)都必須盡可能大。盡管這兩種測度維數(shù)的確切定義是技術(shù)性的，但猜想背后的直覺相當(dāng)簡單：要使線條無處不在，你需要很多東西。

“每個(gè)方向都有一條線段，想象一下你試圖把它們都擠壓到某個(gè)東西里。該怎么壓縮呢？”古斯說。

實(shí)數(shù)問題

掛谷猜想發(fā)生在歐幾里得空間中，其中的點(diǎn)由實(shí)數(shù)定義——這些數(shù)可以有一個(gè)無限長的十進(jìn)制展開，如19.1777…或π。隨著時(shí)間的推移，越來越清楚的是，這些實(shí)數(shù)值坐標(biāo)是掛谷猜想如此難以解決的一個(gè)重要原因。

掛谷宗一（Sōichi Kakeya，1886 - 1947）的罕見照片

圖源：東京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)研究生院

究竟是實(shí)數(shù)的什么性質(zhì)導(dǎo)致了這樣的阻礙并不完全清楚，但有些特征很突出。

首先，實(shí)數(shù)是連續(xù)的，這意味著你無法在任何離散區(qū)間內(nèi)觀察它們而不失去算術(shù)運(yùn)算的能力。（例如，如果你將自己限制在1和2之間的區(qū)間內(nèi)，你就會失去加法，因?yàn)樵搮^(qū)間內(nèi)兩個(gè)數(shù)的和將超出這個(gè)區(qū)間。）

其次，實(shí)數(shù)也是不可數(shù)的無限多的（uncountably infinite），這意味著無論你如何放大它們，你都會在每一個(gè)尺度上看到相同的東西。

“在實(shí)數(shù)中，有些數(shù)可以非常接近于零，但實(shí)際上并不為零。這某種意義上是技術(shù)關(guān)鍵所在，”不列顛哥倫比亞大學(xué)的約書亞·扎爾（Joshua Zahl）說。

實(shí)數(shù)的難度驅(qū)動數(shù)學(xué)家考慮在更小數(shù)系中設(shè)定的掛谷猜想版本。例如，這些數(shù)系可能只有1到5的整數(shù)值。雖然這些數(shù)系看起來不像實(shí)數(shù)，但它們具有許多相同的基本算術(shù)性質(zhì)——它們允許加、減、乘、除。

它們也足夠豐富，可以支持使用線性代數(shù)技術(shù)來定義線條，一旦你有了線條，你就可以詢問一個(gè)略微修改過的掛谷猜想：在這些數(shù)系中，一個(gè)點(diǎn)集的最小大小是多少，使得你可以構(gòu)造出每個(gè)方向的線條？

托馬斯·沃爾夫（Thomas Wolff）在1996年提出了類似的問題 https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.329.7921 。從那時(shí)起，數(shù)學(xué)家們將其視為一個(gè)可以讓他們更接近解答掛谷猜想的框架。

“想法是，這個(gè)問題可能更容易，也許你應(yīng)該嘗試開發(fā)解決這個(gè)問題的技術(shù)，用來獲得處理實(shí)際歐幾里得情況的想法，”普林斯頓大學(xué)的Manik Dhar說，他是兩篇關(guān)于掛谷猜想最新論文的作者。

選擇一個(gè)數(shù)字

為了定義這些小數(shù)系之一，首先請你選擇一個(gè)數(shù)字。比如選擇9，在這種情況下，你的數(shù)系包含從1到9的所有整數(shù)?；蛟S你可能選擇的是17、25或83。

你的選擇很重要。特別是，這個(gè)數(shù)（稱為模數(shù) modulus）是否為質(zhì)數(shù)，以及它不是質(zhì)數(shù)的方式，對數(shù)系的行為以及可能應(yīng)用于掛谷猜想的方法都有很大影響。

普林斯頓大學(xué)博士生Manik Dhar與他的導(dǎo)師Zeev Dvir一起證明了某些有限數(shù)系的掛谷猜想

圖源：David Kelly Crow

2008年，Dvir解決了模素?cái)?shù)的有限數(shù)系中的掛谷猜想 https://www.cs.princeton.edu/~zdvir/papers/Dvir09.pdf ，這是Wolff在1996年所考慮的特殊情況。這些數(shù)系被稱為有限域（finite field），在數(shù)學(xué)中特別強(qiáng)大，用于解決難題。

Dvir證明了在有限域上，掛谷集必定具有最大的可能維數(shù)（這里的維度是以一種在有限設(shè)置中有意義的方式重新定義的）。他的證明只有兩頁長，主要依賴于這樣一個(gè)事實(shí)：當(dāng)模數(shù)是素?cái)?shù)時(shí)，有限數(shù)系內(nèi)的任何集合都是多項(xiàng)式方程的解（或根）——這意味著集合可以用方程描述，而實(shí)數(shù)掛谷集則不能。

Dvir的證明代表了掛谷猜想上的第一次重大進(jìn)展，讓數(shù)學(xué)家們暫時(shí)對未來在歐幾里得掛谷猜想方面的后續(xù)進(jìn)展充滿希望。

然而什么結(jié)果都沒發(fā)生?！叭藗兌挤浅＜樱覀兌急M力了，但就是不行，”古斯說。

然后，十多年后，Dvir歸來。

素?cái)?shù)乘積

2020年11月，Dvir和他的研究生Dhar解決了模不同素?cái)?shù)乘積的有限數(shù)系中的掛谷猜想，其中模數(shù)是任何由不同素?cái)?shù)乘積組成的數(shù)，如15（即3×5） https://arxiv.org/abs/2011.11225 。這些數(shù)系要求Dhar和Dvir超越多項(xiàng)式方法。取而代之的是，他們將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于稱為矩陣（matrix）的數(shù)字表格的問題。

在這些矩陣中，列代表點(diǎn)，行代表方向。如果特定點(diǎn)有特定方向的線條，則在矩陣中相應(yīng)的位置寫1。（否則輸入0。）這樣，矩陣就編碼了一組線條的性質(zhì)?，F(xiàn)在你可以計(jì)算該矩陣的性質(zhì)，以確定該集合的性質(zhì)。特別是，矩陣的“秩”（rank）與線條集合的大小直接相關(guān)。

Dhar和Dvir證明了這些矩陣的秩很高，這意味著線條的集合很大，意味著對于這些特定的數(shù)系，掛谷猜想是正確的——任何包含所有方向線條的點(diǎn)的集合都需要很大。

不到一年后，Bodan Arsovski推廣了Dhar和Dvir的結(jié)果。2021年8月，他證明了模素?cái)?shù)冪的有限數(shù)系中的掛谷猜想，其中模數(shù)是一個(gè)質(zhì)數(shù)的冪，例如9（即32） https://arxiv.org/abs/2108.03750 。

這蘊(yùn)含了p進(jìn)數(shù)系的掛谷猜想，p進(jìn)數(shù)系（p-adics）是一個(gè)無限數(shù)系，并且在某種程度上更類似于實(shí)數(shù)。 https://www.quantamagazine.org/how-the-towering-p-adic-numbers-work-20201019/

倫敦大學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)家Bodan Arsovski的證明蘊(yùn)含了稱為p-adics（p進(jìn)）無限數(shù)系的掛谷猜想

圖源：Ana Arsovska

在Arsovski的論文 https://doi.org/10.1090/jams/1021 之后，數(shù)學(xué)家們投入了大量精力，試圖確定他的方法是否可以被修改并應(yīng)用于實(shí)數(shù)的情況。

幾個(gè)月的努力毫無成效后，很明顯：至少現(xiàn)在，他們做不到。

“實(shí)數(shù)域和p進(jìn)域的行為存在一些細(xì)微差異，這使得類比有些斷裂，”威斯康星大學(xué)麥迪遜分校的博士生Alejo Salvatore說。

自Arsovski的工作以來，又出現(xiàn)了兩個(gè)劇情轉(zhuǎn)折。

去年十月，Dhar證明了掛谷猜想對于任何模數(shù)的有限數(shù)系都是正確的 https://arxiv.org/abs/2110.14889 。

然后在二月，Salvatore確認(rèn)了該猜想對于更奇特的數(shù)系是正確的，該數(shù)系稱為正特征局部域（local fields of positive characteristic，其中有限域增加了一個(gè)變量） https://arxiv.org/abs/2202.11344 。

有不同方式來思考這一系列結(jié)果。一種方式是，希望勢頭持續(xù)：既然數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明了對一個(gè)又一個(gè)數(shù)系該猜想是正確的，也許下一個(gè)就是實(shí)數(shù)。

但另一種方式是退一步問：既然數(shù)學(xué)家已經(jīng)在如此多的其他情況下證明了該猜想，為什么他們還沒有能夠在實(shí)數(shù)上證明掛谷猜想呢？

至少有一位數(shù)學(xué)家認(rèn)為后一種解釋可能是所有解釋中最顯然接近事實(shí)的。

“我不再相信掛谷猜想是真的，”古斯說。

參考資料

https://www.quantamagazine.org/new-number-systems-point-geometry-problem-toward-a-real-solution-20220726/

https://en.wikipedia.org/wiki/Kakeya_set

https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.329.7921

https://www.cs.princeton.edu/~zdvir/papers/Dvir09.pdf

https://arxiv.org/abs/2011.11225

https://arxiv.org/abs/2108.03750

https://www.quantamagazine.org/how-the-towering-p-adic-numbers-work-20201019/