本文作者蔣迅，【遇見數(shù)學(xué)】感謝蔣老師的投稿及一直來的關(guān)注和支持！
一、ChatGPT的選擇
在寫了“有趣的三位數(shù)”后，我突發(fā)奇想，有哪些有趣的4位數(shù)字呢？現(xiàn)在有了聊天機(jī)器人，也許我可以請教它。于是我（在2024年7月）問了ChatGPT。老實(shí)說，ChatGPT給的答案真的不怎么樣。我反復(fù)提出了更細(xì)致的描述，它還是沒有任何提高，甚至開始胡說八道了。
哈哈，這家伙還挺保守的。這次只給了六個(gè)，其中一個(gè)重復(fù)了，四個(gè)給錯(cuò)了，只對了一個(gè)。我說：“你能不能給我更多，尤其是一些大于5000的?！盋hatGPT大概是不耐煩了，下面是它給的八個(gè)“有趣的素?cái)?shù)”。
5051, 5113, 5437, 5603, 5867, 6343, 6521, 6733. (錯(cuò)得離譜！我放棄。）
2024年11月，我再次向ChatGPT提出了同樣的問題。他的回答質(zhì)量明顯提高了。它先是問我要哪個(gè)領(lǐng)域的四位數(shù)，然后分別按回文數(shù)、完全平方數(shù)、完全立方數(shù)、斐波那契數(shù)、素?cái)?shù)和具有特殊性質(zhì)的數(shù)回答了我的要求。我進(jìn)一步要求他給出一些有故事的數(shù)。這一次他的回答已經(jīng)讓我比較滿意了。它給出的是：1729，1089，8128，6174，1260，1001，1456，和3435。
二、我選擇的四位數(shù)
下面是我選出的有故事的四位數(shù)。除特別指明處外，所有的數(shù)字都是10進(jìn)制。
先說說1729吧。這是一個(gè)連ChatGPT都推薦的數(shù)。它源于拉馬努金的著名故事：在拉馬努金病重期間，研究數(shù)論的英國數(shù)學(xué)家哈代（G. H. Hardy）前往探望。哈代說：“我乘的士來，車牌號碼是1729，這數(shù)真沒趣，希望不是不祥之兆?！崩R努金答道：“不，那是個(gè)很有趣的數(shù)?？梢杂脙蓚€(gè)立方之和來表達(dá)而且有兩種表達(dá)方式的數(shù)之中，1729是最小的?！保?729 = 13 + 123 = 93 + 103 ），后來利特爾伍德（John Edensor Littlewood）回應(yīng)這宗軼聞?wù)f：“每個(gè)整數(shù)都是拉馬努金的朋友?！痹俸髞恚藗儼严?729這樣能以不同的方法表示成兩個(gè)正立方數(shù)之和的正整數(shù)稱為的士數(shù)，也稱為哈代 - 拉馬努金數(shù)。最小的能以n種方式寫成兩個(gè)正立方數(shù)之和的正整數(shù)稱為第n個(gè)的士數(shù)（taxicab number）。
在“有趣的三位數(shù)”一文中，我們看到了四個(gè)水仙花數(shù)（narcissistic number）。水仙花數(shù)也稱為超完全數(shù)字不變數(shù)（pluperfect digital invariant, PPDI）、自戀數(shù)、自冪數(shù)、阿姆斯壯數(shù)或阿姆斯特朗數(shù)（Armstrong number），用來描述一個(gè)N位非負(fù)整數(shù)，其各位數(shù)字的N次方和等于該數(shù)本身?，F(xiàn)在來到四位數(shù)，我們有三個(gè)水仙花數(shù)（也叫四葉玫瑰數(shù)）。這很容易驗(yàn)證，比如上述等式。一般地，我們可以寫出一個(gè)程序來找出所有的水仙花數(shù)?？偣仓挥?8個(gè)（十進(jìn)制的）水仙花數(shù)。如果把水仙花數(shù)的定義稍作推廣，我們還可以得到一些有趣的結(jié)果。比如，讓我們允許根號，那么1764是一個(gè)水仙花數(shù)，計(jì)算出乎意料，因?yàn)椋ù颂幵W(wǎng)頁可能缺失相關(guān)計(jì)算內(nèi)容） 。
我們還談到了幾乎整數(shù)。在四位的情況中，我們要說兩對數(shù)組。大家知道，費(fèi)馬大定理說的是不定方程x? + y? = z?在n > 2時(shí)無解。但當(dāng)（此處原網(wǎng)頁表述似乎不完整，可能缺失相關(guān)條件）時(shí)，我們有：
這兩組數(shù)都是《辛普森一家》中的鏡頭?！缎疗丈患摇愤€有許多數(shù)學(xué)故事：從圓周率到梅森素?cái)?shù)，從歐拉方程到世界七大數(shù)學(xué)難題之一的NP完全問題。這部由美國?？怂箯V播公司出品的情景喜劇動畫片不僅僅是超現(xiàn)實(shí)幽默，還蘊(yùn)藏著數(shù)不清的數(shù)學(xué)難題及科學(xué)知識。
黑洞數(shù)6174
下面說說黑洞數(shù)6174。請讀者在心里想一個(gè)四位數(shù)，但這四位數(shù)字不能完全相同，也就是說不能是1111，2222這樣的數(shù)。比如我們選了2024?，F(xiàn)在重新把這四位數(shù)按從大到小排列得到一個(gè)數(shù)，再把這四位數(shù)按從小到大排列得到另一個(gè)數(shù)。對于2024，我們得到了4220和0224。用大數(shù)減去小數(shù)，我們獲得一個(gè)新的數(shù)字，比如：4220 - 0224 = 3996。用這個(gè)數(shù)重復(fù)上面的步驟，一直進(jìn)行下去，我們就會得到6174。一旦得到了這個(gè)數(shù)，這個(gè)過程就永遠(yuǎn)停留在這個(gè)數(shù)字上。超模君選了1314，下面是他的計(jì)算過程：
發(fā)現(xiàn)黑洞數(shù)6174的是印度數(shù)學(xué)家卡布列克（Dattatreya Kaprekar，1905 - 1986）。他平時(shí)喜歡擺弄數(shù)字。后來于1955年提出了這個(gè)數(shù)字，所以也被稱為卡布列克常數(shù)。日本大阪經(jīng)濟(jì)大學(xué)教授西山豊（Yutaka Nishiyama）認(rèn)為，6174真是個(gè)“謎一樣的數(shù)字”。在一篇網(wǎng)上文章中，西山教授解釋說，他用電腦查證是否所有的四位數(shù)都能在有限步驟內(nèi)得出6174。他的發(fā)現(xiàn)是，根據(jù)卡普雷卡爾的算法，所有四位數(shù)（只要四位數(shù)不重復(fù)）最多只需要7步運(yùn)算就會得出6174?！叭绻?步還沒有得出6174，那一定是你算錯(cuò)了。重來一遍吧?！?/p>
所有的四位數(shù)都有它自己獨(dú)特的地方。這個(gè)網(wǎng)站 (erich-friedman.github.io/numbers.html) 描述了從0到9999每一個(gè)數(shù)的各自特點(diǎn)。還有其他網(wǎng)站描述整數(shù)的特性?；诖死碛?，我無法理解為什么ChatGPT會如此失敗。但我們更喜歡那些有故事的四位數(shù)。讓我們最后再介紹一個(gè)四位數(shù)——雷劈數(shù)。
雷劈數(shù)是自然數(shù)的一類，若正整數(shù)N（在進(jìn)位下）的平方可以分割為二個(gè)數(shù)字，而這二個(gè)數(shù)字相加后恰等于N，那么N的平方就是（ 進(jìn)位下的）一個(gè)雷劈數(shù)。例如452 = 2025，而20 + 25 = 45，那么45就是一個(gè)雷劈數(shù)。雷劈數(shù)也叫做卡布列克數(shù)，算是另一類卡布列克數(shù)。傳說卡普利加在一次旅行中遇到猛烈的暴風(fēng)雨。在電閃雷鳴過后，他看到路邊一塊牌子被雷電劈成了兩半，一半上寫著30，另一半寫著25。這時(shí)，卡普利加的腦中忽然發(fā)現(xiàn)了一個(gè)絕妙的數(shù)學(xué)關(guān)系：(30 + 25)2 = 3025，把劈成兩半的數(shù)加起來，再平方，正好是原來的數(shù)字。在四位數(shù)字里還有兩個(gè)雷劈數(shù)。
不同于篩選其他特征的數(shù)字，尋找雷劈數(shù)可以有幾種邏輯的方法。比如說，我們設(shè)該數(shù)的前兩位為x，后兩位為y，根據(jù)定義，有(100x + y)2 = 100m + n（m、n為分割后的兩個(gè)數(shù)），即10000x2 + 200xy + y2 = 100m + n。該方程的判別式（此處原網(wǎng)頁可能缺失相關(guān)判別式內(nèi)容）必須是完全平方數(shù)，而y2本身也必須是平方數(shù)的尾數(shù)，故可求得y等于1或25，從而求得四個(gè)結(jié)果2025，3025，9801和0001。0001不是四位數(shù)，所以舍去。所以一共有三個(gè)雷劈數(shù)：2025，3025，9801。
突然發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的事實(shí)：那么多有趣的四位數(shù)都來自印度。
讓我們說一個(gè)跟我們中國人有關(guān)的數(shù)字吧：2184。這是我在原奧數(shù)教練田廷彥老師寫的“計(jì)算出乎意料 ”一文上讀到的。順便提一句，田老師的這篇文章里介紹了我的書《數(shù)學(xué)都知道》。自豪一下。
有這樣一個(gè)猜想：對任意若干個(gè)連續(xù)正整數(shù)n，必有一個(gè)與其他所有數(shù)都互質(zhì)。田老師把它稱為“ 親不認(rèn)”猜想。當(dāng)n = 2的時(shí)候是顯然的；當(dāng)n = 3時(shí)，需要一些討論；當(dāng)n > 3時(shí)，這個(gè)題目就是一道奧數(shù)題了。英年早逝的中國第一屆IMO金牌得主張浩說這個(gè)猜想不成立，但沒有詳談。后來中國奧數(shù)集訓(xùn)隊(duì)的隊(duì)員們找到了反例。這個(gè)反例是從2184開始的，一直到2200，總共17項(xiàng)。也就是說，這連續(xù)17個(gè)數(shù)中，已經(jīng)沒有一個(gè)數(shù)與其他所有數(shù)都互質(zhì)了，“16親不認(rèn)”不成立。2184就這樣把一個(gè)猜想給否定了。田老師進(jìn)一步追問：除了17個(gè)連續(xù)正整數(shù)，還有哪些數(shù)有反例，反例的數(shù)是否無限？
最后說說1024。這是我在遇見數(shù)學(xué)公眾號讀到的：“數(shù)學(xué)中的那些奇妙整數(shù)，每一個(gè)背后藏著什么數(shù)學(xué)奧秘？ ”。索性把圖片和文字都復(fù)制過來吧： 1024 是 2 的 10 次方（21? ），它定義了計(jì)算機(jī)存儲的基本單位——千字節(jié)（KB, KiloByte）。當(dāng)你下載一個(gè) 1MB（兆字節(jié)）的文件時(shí)，其實(shí)是在處理 1024KB 的數(shù)據(jù)。這個(gè)數(shù)字的倍數(shù)（如 2048、4096）在計(jì)算機(jī)內(nèi)存分配和文件系統(tǒng)設(shè)計(jì)中無處不在。而 256 是2? ，表示 8 位二進(jìn)制數(shù)的所有可能值（從 0 到 255）。它在數(shù)字圖像（RGB 色彩模型）、網(wǎng)絡(luò)協(xié)議（IP 地址）等領(lǐng)域發(fā)揮著關(guān)鍵作用。
其實(shí)我可能更愿意選擇2048。這是一款我以前喜歡的一個(gè)游戲，而且它來自于另一個(gè)游戲“1024”。另一方面，這是一個(gè)我們都可以期待的年月。到2048年，大家一定會大張旗鼓地慶祝。
三、ChatGPT選擇的四位數(shù)
最后讓我們把ChatGPT選擇的四位數(shù)補(bǔ)充介紹一下。
1089是一個(gè)神奇的逆轉(zhuǎn)數(shù)字：取任意一個(gè)非回文的三位數(shù)，將原數(shù)字反序排列，和原數(shù)字相減后取絕對值；算出的數(shù)字若只有二位數(shù)，前面加一個(gè)零，再將此數(shù)字和反序排列后的數(shù)字相加。你一定得到1089。這個(gè)神奇的運(yùn)算是英國牛津大學(xué)耶穌學(xué)院的教授大衛(wèi)·艾奇遜（David Acheson）在10歲時(shí)閱讀一本科普書時(shí)讀到的。他說任何一個(gè)10歲的學(xué)生都會被這個(gè)事實(shí)驚訝得目瞪口呆。這也說明了數(shù)學(xué)科普的重要性。
8128是一個(gè)完全數(shù)。完全數(shù)（perfect number），又稱完美數(shù)或完備數(shù)，是一些特殊的自然數(shù)：它所有的真因子（即除了自身以外的約數(shù)）的和，恰好等于它本身。比如，8128的真因子是1，2，4，8，16，32，64，127，254，508，1016，2032，和4064。正好有：1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 = 8128。8128是四位數(shù)中唯一的完全數(shù)。完全數(shù)的發(fā)現(xiàn)歸功于古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得。
他是通過（此處原網(wǎng)頁可能缺失相關(guān)表達(dá)式內(nèi)容）的表達(dá)式發(fā)現(xiàn)前四個(gè)完全數(shù)的：6，28，496，和8128。再下一個(gè)就到了8位數(shù)了：33550336。一個(gè)偶數(shù)是完美數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它具有如下形式：（此處原網(wǎng)頁可能缺失相關(guān)形式內(nèi)容） ，其中p是素?cái)?shù)，此事實(shí)的充分性由歐幾里得證明，而必要性則由歐拉所證明。目前還不知道有沒有奇完全數(shù)，但是當(dāng)代數(shù)學(xué)家奧斯丁·歐爾證明，若有奇完全數(shù)，則其形式必然是（此處原網(wǎng)頁可能缺失相關(guān)形式內(nèi)容）或（此處原網(wǎng)頁可能缺失相關(guān)形式內(nèi)容）的形式，其中p是素?cái)?shù)。
1260是一個(gè)高合成數(shù)。所謂高合成數(shù)是指那些整數(shù)，任何比它小的自然數(shù)的因子數(shù)目均比這個(gè)數(shù)的因子數(shù)目少。據(jù)說這個(gè)詞是由拉馬努金所創(chuàng)建。他在1915年寫過一篇相關(guān)論文。但也有人認(rèn)為柏拉圖已有提出此一概念，柏拉圖認(rèn)為城市理想的人口數(shù)為5040，因?yàn)檫@個(gè)數(shù)的因子數(shù)量多過任何一個(gè)比小于它的數(shù)。出于這個(gè)考慮，我認(rèn)為ChatGPT應(yīng)該給我5040，而不是1260，因?yàn)?040更有故事，更漂亮：（此處原網(wǎng)頁可能缺失相關(guān)內(nèi)容） ?；氐?260，它有36個(gè)因子：
如果用素分解的話，1260 = 22 × 32 × 5 × 7 。一共有5個(gè)四位高和合成數(shù)：1260, 1680, 2520, 5040, 7560 。1260是最小的一個(gè)。
1001既是一個(gè)10進(jìn)制回文數(shù)，也是二進(jìn)制回文數(shù)。注意這里不是說把10進(jìn)制的1001轉(zhuǎn)成2進(jìn)制時(shí)仍為回文數(shù)，因?yàn)椋?001?? = 1111101001? 。返回來說，2進(jìn)制的1001也不是10進(jìn)制的回文數(shù)，因?yàn)?001? = 9?? 是一個(gè)個(gè)位數(shù)。還有一個(gè)同時(shí)是10進(jìn)制回文數(shù)也是二進(jìn)制回文數(shù)的數(shù)是1111。有人把回文數(shù)稱作沙拉扎數(shù)（Scheherazade Numbers）。沙拉扎是《一千零一夜》中那位講故事的王妃，即宰相女兒之名。有了《一千零一夜》故事做支撐，我感覺ChatGPT的選擇是挺好的。一般地，某基數(shù)的回文數(shù)在另一基數(shù)通常不是回文數(shù)，正像我們看到的1001和1111 。然而，有些數(shù)字在幾套進(jìn)制都是回文數(shù)（稱為＂協(xié)回文＂，copalindromic）。在四位數(shù)中，我們有：1991?? = 7C7?? 。還有其他的10進(jìn)制4位數(shù)的協(xié)回文數(shù)嗎？ChatGPT不知道。有誰知道？
3435是一個(gè)閔希豪森男爵數(shù)。閔希豪森男爵數(shù)是一個(gè)以給定數(shù)基b為底的自然數(shù)，其值等于其各個(gè)數(shù)字的自身次方和。比如，3435 = 33 + 4? + 33 + 5? 就是這樣一個(gè)數(shù)。似乎它沒有太多故事可以發(fā)掘。有意思的是，閔希豪森男爵是德國作家魯?shù)罓柗?埃里希?拉斯伯在《閔希豪森男爵敘述他在俄羅斯的奇妙旅行和戰(zhàn)役》虛構(gòu)出來的德國貴族。盡管這部小說的主人公是基于一個(gè)真實(shí)的人物男爵希耶洛尼斯?卡爾?弗里德里希?馮?閔希豪森。盡管這位真實(shí)的男爵對他被莫名其妙地虛構(gòu)進(jìn)了小說里，他也無能為力?？墒?435怎樣跟閔希豪森男爵發(fā)生了關(guān)系了呢？原來，德國哲學(xué)家弗里德里希?尼采（Friedrich Wilhelm Nietzsche）在1886年哲學(xué)專題論文中使用男爵從沼澤中自救的冒險(xiǎn)來比喻完全形而上學(xué)的自由意志信仰。
1968年，德國哲學(xué)家漢斯?阿爾伯特?fù)?jù)此創(chuàng)造閔希豪森三難困境一詞來描述哲學(xué)問題固定得從前提中得出結(jié)論。這些前提依舊源自其他前提，并永遠(yuǎn)持續(xù)下去，這導(dǎo)致無窮倒退只能被循環(huán)邏輯或宗教教義中斷。這個(gè)問題是根據(jù)男爵用頭發(fā)將自己從沼澤拉起來的類似矛盾故事來命名。這個(gè)故事啟發(fā)了數(shù)學(xué)家達(dá)恩范伯克爾（Daan van Berkel）創(chuàng)造出閔希豪森數(shù)這個(gè)數(shù)學(xué)名詞：把每一位數(shù)都提到冪上，合起來發(fā)現(xiàn)又回到了這個(gè)數(shù)。已經(jīng)證明，以任意整數(shù)為基的數(shù)系里的閔希豪森男爵數(shù)都是有限的。事實(shí)上，3435是唯一一個(gè)4位數(shù)閔希豪森男爵數(shù)，而且是唯一找到的10進(jìn)位閔希豪森男爵數(shù)（如果我們把0這樣的平凡例子除外的話）。更大的數(shù)字的提升都會變得更快，不會再回到數(shù)字本身。
1456是另一個(gè)ChatGPT推薦的數(shù)字。它推薦的理由是，這個(gè)數(shù)字1456和它的反向數(shù)6541的和是回文數(shù)7997。我感覺這個(gè)理由過于牽強(qiáng)，就不展開了。
結(jié)束語
本文介紹了一些有故事的四位數(shù)，作為以前已經(jīng)介紹過的三位數(shù)的補(bǔ)充，也作為以后讀者對5位數(shù)，6位數(shù)，…的擴(kuò)展。
推薦蔣迅老師新書《數(shù)學(xué)都知道4》
數(shù)學(xué)文化在科學(xué)文化的構(gòu)建和培育中不僅占有一席之地，而且是重中之重。數(shù)學(xué)教育要做好最根本的三件事兒：數(shù)學(xué)知識的來龍去脈、數(shù)學(xué)的精神實(shí)質(zhì)和思想方法、數(shù)學(xué)的人文內(nèi)涵。本書從生活實(shí)際出發(fā)，緊緊圍繞數(shù)學(xué)這一主題，自然延伸到與之交叉和滲透的若干領(lǐng)域和方面，試圖通過新穎的內(nèi)容、通俗的文字、珍貴的圖片、具有趣味性和啟發(fā)性的問題等，呈現(xiàn)給讀者一幅幅數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與科技、數(shù)學(xué)與藝術(shù)、數(shù)學(xué)與教育等共通互融的立體畫面。
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