導(dǎo)語(yǔ)
自然界中，為何螢火蟲會(huì)同步閃爍？為何不同材料的表面生長(zhǎng)遵循相似規(guī)律？2025年玻爾茲曼獎(jiǎng)授予Mehran Kardar和Yoshiki Kuramoto，表彰他們分別通過(guò)KPZ方程和Kuramoto模型解答了這些難題。這兩個(gè)看似簡(jiǎn)單的模型揭示了非平衡系統(tǒng)從無(wú)序走向有序的普適規(guī)律，不僅統(tǒng)一解釋了從界面生長(zhǎng)到集體同步的多種現(xiàn)象，還為跨學(xué)科研究提供了強(qiáng)大理論框架，成為連接微觀相互作用與宏觀集體行為的橋梁。值得深思的是，這兩個(gè)模型當(dāng)中都存在著某種形式的scaling law。
研究領(lǐng)域：規(guī)模法則、標(biāo)度律、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)、非平衡相變、KPZ方程、Kuramoto模型、界面生長(zhǎng)、同步現(xiàn)象、復(fù)雜系統(tǒng)、集體行為
邱仲普| 作者
https://statphys29.org/boltzmann-medal/| 來(lái)源
2025年玻爾茲曼獎(jiǎng)：
表彰統(tǒng)計(jì)物理領(lǐng)域的杰出貢獻(xiàn)
玻爾茲曼獎(jiǎng)（Boltzmann Medal）是由國(guó)際純粹與應(yīng)用物理學(xué)聯(lián)合會(huì) （International Union of Pure and Applied Physics, IUPAP） 下屬的統(tǒng)計(jì)物理委員會(huì) （C3） 評(píng)選并頒發(fā)的國(guó)際統(tǒng)計(jì)物理學(xué)界最高榮譽(yù)之一，與昂薩格獎(jiǎng)齊名。該獎(jiǎng)項(xiàng)以?shī)W地利物理學(xué)家盧德維?！げ柶澛↙udwig Boltzmann）命名，旨在表彰在統(tǒng)計(jì)物理和相應(yīng)交叉領(lǐng)域作出卓越貢獻(xiàn)的科學(xué)家。根據(jù)官方公告，2025年的玻爾茲曼獎(jiǎng)將于2025年7月13日至18日在意大利佛羅倫薩舉辦的StatPhys29大會(huì)上隆重頒發(fā)，Mehran Kardar （梅赫蘭·卡達(dá)爾） 和Yoshiki Kuramoto （藏本由紀(jì)） 將共同獲此殊榮，以表彰他們?cè)诮y(tǒng)計(jì)物理與復(fù)雜系統(tǒng)研究方面的杰出貢獻(xiàn)。
值得一提的是，玻爾茲曼獎(jiǎng)通常每三年頒發(fā)一次，頒獎(jiǎng)儀式與國(guó)際統(tǒng)計(jì)物理大會(huì) （StatPhys） 同期進(jìn)行。按照傳統(tǒng)規(guī)定，曾獲得諾貝爾獎(jiǎng)或曾獲頒玻爾茲曼獎(jiǎng)的學(xué)者不會(huì)再次被授予此獎(jiǎng)。獲獎(jiǎng)?wù)叨嘣诜瞧胶鈶B(tài)統(tǒng)計(jì)力學(xué)、相變理論、量子統(tǒng)計(jì)理論等方面具有開創(chuàng)性研究，體現(xiàn)了該獎(jiǎng)對(duì)推動(dòng)統(tǒng)計(jì)物理核心理論與應(yīng)用進(jìn)展的不懈追求。
統(tǒng)計(jì)物理領(lǐng)域的眾多頂級(jí)科學(xué)家 ，如Rodney J. Baxter （Baxter-Wu模型、頂點(diǎn)模型和Yang-Baxter方程） ，Michael E. Fisher （Fisher標(biāo)度律和Fisher指數(shù)） ，Leo Kadanoff （Kadanoff塊變換，重整化群理論的奠基人） ，Benjamin Widom （Widom標(biāo)度律與液體的表面性質(zhì)） ，E.G.D. Cohen (非平衡穩(wěn)態(tài)問(wèn)題) ，H. Eugene Stanley （O(n)模型） ， Kurt Binder （有限尺度標(biāo)度） 都獲得過(guò)這一獎(jiǎng)項(xiàng)。
玻爾茲曼獎(jiǎng)的得主有不少后來(lái)也獲得了諾貝爾獎(jiǎng)，被認(rèn)為是諾獎(jiǎng)的風(fēng)向標(biāo)之一：如1982年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者Kenneth Geddes Wilson （因其在重整化群理論應(yīng)用于相變理論的基礎(chǔ)性貢獻(xiàn)） 曾在1975年獲得首屆玻爾茲曼獎(jiǎng)，2021年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者Giorgio Parisi曾在1992年獲得玻爾茲曼獎(jiǎng)，2024年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者John Joseph Hopfield （Hopfield網(wǎng)絡(luò)的提出者） 也曾獲得2022年度的玻爾茲曼獎(jiǎng)。
兩位獲獎(jiǎng)?wù)叩慕艹鲐暙I(xiàn)
下面，讓我們深入了解這兩位杰出科學(xué)家的學(xué)術(shù)背景以及他們的開創(chuàng)性研究成果如何推動(dòng)了統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的發(fā)展。
Mehran Kardar：界面生長(zhǎng)動(dòng)力學(xué)的理論先驅(qū)
Mehran Kardar，來(lái)源：http://www.mit.edu/~kardar/
Mehran Kardar教授生于伊朗，現(xiàn)為麻省理工學(xué)院 （Massachusetts Institute of Technology, MIT） 物理學(xué)教授，在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)、凝聚態(tài)物理和復(fù)雜系統(tǒng)領(lǐng)域做出了卓越貢獻(xiàn)。他與和張翼成教授 （https://pattern.swarma.org/master/790） 于1986年共同提出的KPZ方程是其最具影響力的成果之一。這一方程描述了界面在生長(zhǎng)過(guò)程中的動(dòng)力學(xué)行為，通過(guò)隨機(jī)偏微分方程捕捉了界面粗糙化的普適性質(zhì)，解釋了動(dòng)力學(xué)標(biāo)度性質(zhì)（Dynamic Scaling Properties）的普適性起源。KPZ方程不僅適用于解釋晶體生長(zhǎng)、燃燒鋒面?zhèn)鞑ズ屯牧鞯任锢憩F(xiàn)象，還與隨機(jī)矩陣?yán)碚?、可積系統(tǒng)等數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域建立了深刻聯(lián)系。近三十多年來(lái)，KPZ方程已發(fā)展成為研究非平衡統(tǒng)計(jì)物理的核心理論框架之一，其影響力已遠(yuǎn)超物理學(xué)范疇，擴(kuò)展至概率論、生物物理和材料科學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域。Kardar教授的研究工作體現(xiàn)了物理學(xué)中簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型如何能夠解釋復(fù)雜自然現(xiàn)象的強(qiáng)大力量。
值得一提的是，2021諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者Giorgio Parisi與Kardar和著名華人科學(xué)家、歐洲科學(xué)院院士張翼成共同提出了Kardar–Parisi–Zhang (KPZ) equation（即卡達(dá)爾–帕里西–張方程，它是一種描述界面生長(zhǎng)的動(dòng)力學(xué)標(biāo)度的隨機(jī)偏微分方程，被推測(cè)為眾多模型的背后的統(tǒng)計(jì)場(chǎng)論形式）
藏本由紀(jì) Yoshiki Kuramoto：同步現(xiàn)象研究的開拓者
Yoshiki Kuramoto（藏本由紀(jì)）教授是京都大學(xué)物理學(xué)家，在非線性動(dòng)力學(xué)和復(fù)雜系統(tǒng)領(lǐng)域做出了開創(chuàng)性貢獻(xiàn)。他于1975年提出的藏本模型 （Kuramoto Model） 徹底改變了科學(xué)界對(duì)同步現(xiàn)象的理解。同步 （synchronization） 是自然界中極為普遍的現(xiàn)象，從螢火蟲集體閃光、鳥群協(xié)調(diào)飛行到人類心臟細(xì)胞的節(jié)律性跳動(dòng)，都體現(xiàn)了獨(dú)立個(gè)體如何通過(guò)相互作用實(shí)現(xiàn)集體行為的協(xié)調(diào)一致。Kuramoto教授通過(guò)簡(jiǎn)潔優(yōu)雅的數(shù)學(xué)方程，成功描述了大量耦合振子如何從初始的雜亂無(wú)章狀態(tài)，隨著耦合強(qiáng)度的增加，逐漸實(shí)現(xiàn)相位同步，最終形成有序集體行為的過(guò)程。該模型之所以具有革命性意義，在于它不僅提供了理解同步現(xiàn)象的理論框架，還揭示了這一過(guò)程本質(zhì)上是一種非平衡相變現(xiàn)象，存在著臨界現(xiàn)象中普遍的scaling law。2001年，他還參與發(fā)現(xiàn)了嵌合體狀態(tài) （chimera state） ——一種在同一系統(tǒng)中同時(shí)存在同步和非同步區(qū)域的奇特現(xiàn)象，進(jìn)一步豐富了我們對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的認(rèn)識(shí)。
下面，讓我們從一些簡(jiǎn)單的模型和現(xiàn)象出發(fā)，分別簡(jiǎn)述兩位獲獎(jiǎng)?wù)咧饕ぷ鞯谋尘爸R(shí)、具體內(nèi)容和科學(xué)意義。
探秘KPZ方程：
從離散模型到連續(xù)世界的奇妙之旅
界面生長(zhǎng)模型：離散世界的生長(zhǎng)奧秘
為了描述界面的生長(zhǎng)，人們?cè)O(shè)計(jì)了一系列統(tǒng)計(jì)物理的離散模型。
1. 隨機(jī)落體模型
隨機(jī)落體模型和黏性落體模型的規(guī)則示意圖，來(lái)源：https://arxiv.org/abs/1606.06602
想象一排無(wú)限延伸的垂直柱子，每個(gè)柱子上方的方塊以完全獨(dú)立的方式下落 （即A,B子圖所示） 。方塊下落的時(shí)間間隔服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，且下落過(guò)程瞬間完成。用hr(t, x) 表示時(shí)間t時(shí)第x列的高度，這一過(guò)程構(gòu)成一組獨(dú)立的泊松過(guò)程。數(shù)學(xué)上可以計(jì)算，隨機(jī)落體模型的期望高度為E[hr(t, x)] = t，表明高度隨時(shí)間勻速增長(zhǎng)；其漲落特性由方差E[(hr(t, x)-t)2] = t 刻畫，標(biāo)準(zhǔn)差為，與布朗運(yùn)動(dòng)的位移漲落相似。動(dòng)態(tài)標(biāo)度律進(jìn)一步揭示其漲落滿足2:0:1標(biāo)度：
其中空間標(biāo)度指數(shù)為0，說(shuō)明各列的漲落完全獨(dú)立，互不影響。
2. 黏性落體模型
如果隨機(jī)落體模型是孤立的雨滴，黏性落體模型就是流淌的蜂蜜。
兩者非常類似，核心區(qū)別只是在于引入了方塊的吸附規(guī)則：下落的方塊不再直達(dá)底部，而是黏附于接觸到的首個(gè)方塊旁。 （即C,D子圖所示） 這種黏性徹底改變了界面動(dòng)力學(xué)行為。用hb(t, x)表示黏性落體模型的高度函數(shù)，其平均高度E[hb(t, x)] ∝ t 仍隨時(shí)間線性增長(zhǎng)，但漲落特性顯著不同 (即下圖所示) 。動(dòng)態(tài)標(biāo)度律表明，高度漲落wb(t, x)滿足3:2:1標(biāo)度：
時(shí)間標(biāo)度指數(shù)?-3與空間標(biāo)度指數(shù)?-2，反映了黏性導(dǎo)致的協(xié)作效應(yīng)——某一點(diǎn)的漲落會(huì)通過(guò)吸附規(guī)則向鄰近區(qū)域擴(kuò)散，形成空間關(guān)聯(lián)。
隨機(jī)落體模型和黏性落體模型的典型構(gòu)型，來(lái)源：https://arxiv.org/abs/1606.06602
3. Eden模型：種子生長(zhǎng)的隨機(jī)擴(kuò)張
Eden模型則展現(xiàn)了更復(fù)雜的生長(zhǎng)圖景。它最初定義在二維平面格點(diǎn)上，但其規(guī)則可推廣到任意維度。用hE(t, x)表示時(shí)間t時(shí)第x列的高度，其核心規(guī)則為：
初始種子：固定底邊的一排格點(diǎn)（hE(0, x) = 0）。
生長(zhǎng)規(guī)則：每一步從所有與現(xiàn)有種子相鄰的空白格點(diǎn)中，隨機(jī)選擇一個(gè)加入種子集合。
時(shí)間定義：設(shè)N為已加入的格點(diǎn)數(shù)，時(shí)間定義為t := N/x，使得平均高度隨時(shí)間線性增長(zhǎng)，這一點(diǎn)和之前的模型是一致的。
二維隨機(jī)曲線上的Eden生長(zhǎng)，色彩表示時(shí)間。來(lái)源：https://wap.sciencenet.cn/blog-863936-1429491.html?mobile=1
我們可以通過(guò)高度漲落的均方根定義界面粗糙度：
實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)系統(tǒng)規(guī)模x和時(shí)間t極大時(shí)，w(t, x)滿足普適標(biāo)度律：
其中標(biāo)度指數(shù)（粗糙度指數(shù)），z≈1.7（動(dòng)態(tài)指數(shù)）。人們?cè)陴ば月潴w模型中發(fā)現(xiàn)存在著類似的標(biāo)度形式（即scaling law）——這似乎暗示著雖然微觀規(guī)則細(xì)節(jié)不同，但是Eden模型和黏性落體模型的長(zhǎng)期和大尺度行為，存在著某種普適性
從離散到連續(xù)：KPZ方程的誕生
1.Edwards-Wilkinson方程：近平衡態(tài)的生長(zhǎng)
我們不禁要問(wèn)：表面生長(zhǎng)模型的空間連續(xù)形式是什么？是否存在一個(gè)統(tǒng)一的非平衡統(tǒng)計(jì)場(chǎng)論形式可以普適地描述諸多離散模型？
在KPZ方程提出之前，Edwards和Wilkinson提出了一個(gè)線性方程：
其中ν是擴(kuò)散系數(shù)，η(t, x) 是時(shí)空白噪聲。該方程描述近平衡態(tài)下的界面生長(zhǎng)，其漲落滿足Edwards-Wilkinson普適性，具有4:2:1動(dòng)態(tài)標(biāo)度律
Edwards-Wilkinson方程及其變體（如淬火EW方程）被認(rèn)為是一類空間離散系統(tǒng)的場(chǎng)論形式：自組織臨界理論中的Oslo模型、自旋系統(tǒng)中的XY模型 （在低溫自旋波近似下） 、同步系統(tǒng)中的Kuramoto模型 （在強(qiáng)耦合自旋波近似下，我們后文還會(huì)提到這個(gè)模型） 等。
但Edwards-Wilkinson方程只能描述近平衡的線性擴(kuò)散行為，如何統(tǒng)一地解釋遠(yuǎn)離平衡的表面生長(zhǎng)問(wèn)題呢？
2.KPZ方程：遠(yuǎn)離平衡表面生長(zhǎng)的本質(zhì)
1986年發(fā)表在《物理評(píng)論快報(bào)》上的文章引入了KPZ方程，它通過(guò)建立連續(xù)化場(chǎng)論模型揭示了生長(zhǎng)過(guò)程的本質(zhì)。Kardar等人提出的KPZ方程為：
其中：
? 擴(kuò)散項(xiàng)νΔh：對(duì)應(yīng)線性擴(kuò)散行為
? 非線性項(xiàng)：描述局部高度梯度對(duì)生長(zhǎng)速度
的反饋，對(duì)應(yīng)Eden模型中界面擴(kuò)張或者黏性落體模型中的黏性效應(yīng)
? 噪聲項(xiàng)：η(t, x)
KPZ方程中的非線性項(xiàng)，來(lái)源：Zhao D. and Liping L., A brief introduction to KPZ equation and KPZ universality, Sci. Sin.-Math. 49, 339 (2019).
很容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)KPZ方程中的非線性項(xiàng)系數(shù)λ = 0時(shí)，退化為Edwards-Wilkinson方程。
KPZ方程在一維情形下的解滿足3:2:1動(dòng)態(tài)標(biāo)度律，與黏性落體模型和Eden模型的實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。這一方程成功統(tǒng)一了離散模型的標(biāo)度行為，成為非平衡界面生長(zhǎng)理論的基石。
從隨機(jī)落體的獨(dú)立漲落、黏性落體的協(xié)作效應(yīng)，到Eden模型的界面粗糙化，這些離散模型揭示了生長(zhǎng)過(guò)程中隨機(jī)性與非線性競(jìng)爭(zhēng)的普適規(guī)律。KPZ方程通過(guò)連續(xù)化框架，將離散世界的奧秘轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，為理解晶體生長(zhǎng)、細(xì)菌群落擴(kuò)張等自然現(xiàn)象提供了核心工具。
Kuramoto Model：同步現(xiàn)象的本質(zhì)刻畫
我們?cè)诩前倏粕蟿?chuàng)建了Kuramoto Model的百科詞條，也歡迎大家點(diǎn)擊學(xué)習(xí)更詳細(xì)的關(guān)于該概念的介紹： https://wiki.swarma.org/index.php/Kuromoto%E6%A8%A1%E5%9E%8B
復(fù)雜系統(tǒng)由眾多相互作用的單元組成。在動(dòng)態(tài)演化進(jìn)程里，這些單元彼此協(xié)調(diào)，進(jìn)而涌現(xiàn)出集體行為模式。
同步，即兩個(gè)或更多事件同時(shí)發(fā)生，是自然界極為常見(jiàn)的現(xiàn)象之一。從無(wú)意識(shí)的實(shí)體到人類，同步現(xiàn)象廣泛存在，甚至以花樣游泳、跳水等形式成為奧林匹克運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目。同步對(duì)于生命而言至關(guān)重要，比如，起搏細(xì)胞必須同步放電，才能確保人類心臟正常跳動(dòng)。
同步屬于非平衡涌現(xiàn)形式中最為簡(jiǎn)單的一種，其本質(zhì)是通過(guò)微觀層面的耦合，達(dá)成系統(tǒng)宏觀狀態(tài)的一致性。對(duì)于物理學(xué)家而言，無(wú)生命系統(tǒng)中的同步現(xiàn)象極具吸引力。若將兩個(gè)完全相同的節(jié)拍器放置在架于兩個(gè)碳酸飲料罐上的木條上，便會(huì)觀察到，這些原本用于音樂(lè)節(jié)拍校準(zhǔn)的機(jī)械裝置，其節(jié)奏能在短短幾分鐘甚至幾秒鐘內(nèi)實(shí)現(xiàn)同步。然而，節(jié)拍器是如何“抉擇”達(dá)到共同節(jié)奏的？更為關(guān)鍵的是，它們?yōu)楹螘?huì)出現(xiàn)這種同步行為？
同步概念的早期歷史
為解答這些問(wèn)題，我們需回溯至17世紀(jì)，走進(jìn)克里斯蒂安·惠更斯的科學(xué)世界?；莞箍胺Q荷蘭歷史上最為杰出的科學(xué)家之一，他不僅對(duì)天文學(xué)、光學(xué)研究滿懷熱忱，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域也造詣?lì)H深。1673年，惠更斯出版了《擺鐘論》，這部著作在當(dāng)時(shí)的科學(xué)界具有舉足輕重的地位，艾薩克·牛頓更是贊譽(yù)惠更斯為“現(xiàn)代最優(yōu)雅的作家”。實(shí)際上，擺鐘正是惠更斯的發(fā)明成果。關(guān)于同步現(xiàn)象的科學(xué)研究，最早可追溯至1673年惠更斯對(duì)兩個(gè)耦合鐘擺同步現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)。據(jù)傳，這一發(fā)現(xiàn)源于他在某段臥病在床、閑暇無(wú)聊的時(shí)期，利用兩把椅子、兩個(gè)鐘擺和一個(gè)木條所開展的實(shí)驗(yàn)：
惠更斯的實(shí)驗(yàn)示意圖，Courtesy: Frederique Swist/IOP Publishing
在科學(xué)研究領(lǐng)域，現(xiàn)象觀察與實(shí)驗(yàn)研究往往先行一步。惠更斯雖然觀察到了鐘擺通過(guò)木條的耦合而趨于頻率一致，但關(guān)于同步的理論研究卻滯后。直到20世紀(jì)初，這一領(lǐng)域才迎來(lái)重大突破。這是由于動(dòng)力系統(tǒng)理論的建立，人們開始考察微分方程的漸進(jìn)和長(zhǎng)時(shí)行為，從意識(shí)到了極限環(huán)的概念。
極限環(huán)作為非線性耗散動(dòng)力系統(tǒng)中一類典型的時(shí)間振蕩解，本質(zhì)上和吸引子一樣，是動(dòng)力系統(tǒng)不變集的一種。令人驚奇的是，眾多看似毫無(wú)關(guān)聯(lián)的系統(tǒng)，其時(shí)間振蕩竟都能用極限環(huán)加以描述。由此，人們逐漸意識(shí)到，在形形色色的同步行為背后，極有可能潛藏著共通的物理機(jī)理。諸如螢火蟲同步閃光、蟋蟀齊聲鳴叫，乃至腦電波的節(jié)律變化，這些現(xiàn)象背后或許都受同一物理規(guī)律的支配 。
可解模型的曙光
1.Winfree模型：星螢錯(cuò)落同明滅
下一個(gè)重大突破在1967年。這一年，美國(guó)生物數(shù)學(xué)家Winfree，根據(jù)螢火蟲的同步閃爍現(xiàn)象，提出了Winfree模型——這一模型的核心洞見(jiàn)在于：在同步問(wèn)題中，極限環(huán)相互作用的關(guān)鍵自由度是相位，因此通過(guò)研究耦合的相位振子模型，就能揭示同步現(xiàn)象的動(dòng)力學(xué)本質(zhì)。
該模型的動(dòng)力學(xué)方程為：
其中，θi 表示第 i 個(gè)振子的相位，ω 是振子的自然頻率，服從某個(gè)單峰對(duì)稱分布，概率密度函數(shù)為g(ω）。X(θj) 被稱為相互作用函數(shù)，用于描述振子間相互作用的機(jī)制；Z(θi） 則是相位響應(yīng)函數(shù)（Phase Response Curve，PRC） 體現(xiàn)振子相位對(duì)外界作用的響應(yīng)特性。當(dāng)振子自然頻率的分布較窄時(shí)，振子之間會(huì)出現(xiàn)相互同步現(xiàn)象。
螢火蟲的同步閃爍現(xiàn)象 來(lái)源：https://swarma.org/?p=37648
這一模型的價(jià)值在于：上述不同物理背景、不同體系中的現(xiàn)象，都能借助耦合相振子系統(tǒng)的同步動(dòng)力學(xué)得到解釋。但這個(gè)模型實(shí)際上是不可解的，這是其科學(xué)意義上的局限性。那么，到底該如何從理論層面上徹底刻畫和解析同步現(xiàn)象的涌現(xiàn)的過(guò)程呢？
2.Kuramoto的突破性貢獻(xiàn)
1975年，日本物理學(xué)家藏本由紀(jì) （Yoshiki Kuramoto） 在非線性動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域已積累深厚研究基礎(chǔ)。他1970年于京都大學(xué)取得理學(xué)博士學(xué)位，師從Kazuhisa Tomita與Hajime Mori，早期鉆研相變統(tǒng)計(jì)力學(xué)，后因?qū)lya Prigogine等學(xué)者的耗散結(jié)構(gòu)研究產(chǎn)生思考，轉(zhuǎn)而深入非線性動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域。
正是在這樣的學(xué)術(shù)探索歷程中，他以化學(xué)振蕩現(xiàn)象為切入點(diǎn)，構(gòu)建了意義重大的藏本模型 （Kuramoto model） 。該模型突破傳統(tǒng)，采用最簡(jiǎn)形式的相位差正弦函數(shù)描述振子耦合，既精準(zhǔn)捕捉物理核心，又為后續(xù)數(shù)學(xué)分析搭建了有效框架。
和Winfree模型類似，Φj和Φi分別是個(gè)體j和個(gè)體i的相位，表示個(gè)體i相位隨時(shí)間的變化率，ωi表示個(gè)體i的自然頻率，K是耦合強(qiáng)度。
這個(gè)方程可以進(jìn)一步寫成平均場(chǎng)形式：
其中
。 這里R是序參量，表征系統(tǒng)的同步程度。
Kuramoto模型的三種狀態(tài)的示意圖（a，b，c）和序參量與耦合強(qiáng)度的關(guān)系，來(lái)源：Acta Physica Sinica, 69, 080502 (2020)
在Kuramoto模型中，耦合強(qiáng)度是驅(qū)動(dòng)振子群體演化的核心控制參量。（i）當(dāng)耦合強(qiáng)度為K=0時(shí)，大量振子因自然頻率不同，相位均勻散布于區(qū)間[0,2π]，通過(guò)序參量R表征，呈現(xiàn)R=0完全無(wú)序狀態(tài)。
(ii)隨著耦合強(qiáng)度K逐步增加，系統(tǒng)內(nèi)的同步機(jī)制開始顯現(xiàn)：更多振子開始實(shí)現(xiàn)同步，其平均頻率趨向統(tǒng)一，相位相互靠近并維持固定 (稱為鎖相群體)，分布均勻性被打破，序參量R脫離零值。這一過(guò)程的關(guān)鍵閾值是臨界耦合強(qiáng)度Kc：當(dāng)K≤Kc，系統(tǒng)維持無(wú)序，R始終幾乎為0；當(dāng)K≥Kc，同步被觸發(fā)，R非零，振子間形成有序的同步集團(tuán)，進(jìn)入部分同步態(tài)。
(iii)在強(qiáng)耦合條件下，振子相位高度聚集，形成整體同步態(tài)，這本質(zhì)上屬于非平衡相變現(xiàn)象——大量耦合振子通過(guò)相互作用，克服自然頻率差異引發(fā)的無(wú)序，最終涌現(xiàn)出完全同步的有序態(tài)。
Kuramoto 借助統(tǒng)計(jì)物理學(xué)方法與自洽方程，通過(guò)在臨界點(diǎn)處進(jìn)行泰勒展開，成功求解臨界耦合強(qiáng)度Kc，并揭示Kc附近序參量R的臨界行為（即在臨界區(qū)域 稱為同步相變的臨界指數(shù)——這其實(shí)是大自然中普遍存在的scaling law的又一體現(xiàn))，首次從理論層面系統(tǒng)闡釋了集體同步現(xiàn)象的復(fù)雜物理機(jī)制。
模型的拓展與應(yīng)用
以Kuramoto模型為代表的耦合隨機(jī)自然頻率振子系統(tǒng)，也已成為同步研究領(lǐng)域的范式性模型。在這一框架下，振子通過(guò)相互作用克服自然頻率異質(zhì)性，實(shí)現(xiàn)從無(wú)序到有序的同步相變，其物理本質(zhì)與非平衡統(tǒng)計(jì)力學(xué)中的相變機(jī)制高度契合。隨著研究的深入，模型的應(yīng)用邊界不斷拓展，已滲透至物理學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域。
后續(xù)的研究者通過(guò)調(diào)整模型參數(shù)與結(jié)構(gòu)，成功刻畫了現(xiàn)實(shí)世界中紛繁復(fù)雜的同步現(xiàn)象。例如，通過(guò)引入不同的耦合函數(shù)（如類正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、脈沖耦合等） ，模型能夠描述神經(jīng)脈沖同步、螢火蟲發(fā)光節(jié)律等生物現(xiàn)象；改變耦合網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（如小世界網(wǎng)絡(luò)、無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)、多層網(wǎng)絡(luò)和高階網(wǎng)絡(luò)） ，則可揭示電力系統(tǒng)振蕩、社交網(wǎng)絡(luò)意見(jiàn)傳播等集體行為的動(dòng)力學(xué)規(guī)律。值得關(guān)注的是，模型在強(qiáng)非線性條件下呈現(xiàn)的玻璃態(tài)同步、時(shí)滯效應(yīng)引發(fā)的行波/駐波態(tài)，以及慣性、阻挫、相移和外場(chǎng)等物理效應(yīng)的引入，均為理解凝聚態(tài)物理、激光陣列、集群運(yùn)動(dòng)等實(shí)際系統(tǒng)提供了理論工具。
Kuramoto模型的科學(xué)價(jià)值不僅在于其廣泛的適用性，更在于其及以后的變體模型引發(fā)的方法論層面的創(chuàng)新。自洽性方程的提出首次實(shí)現(xiàn)了同步相變的理論解析，主穩(wěn)定函數(shù)（MSF）為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步能力評(píng)估提供了普適框架，而OA擬設(shè)（Ott-Antonsen Ansatz）、WS變換（Watanabe-Strogatz Transformation）與重整化群方法的引入，則為處理高維非線性系統(tǒng)開辟了新路徑。這些理論工具的發(fā)展，使Kuramoto模型成為連接微觀個(gè)體行為與宏觀集體秩序的橋梁，為理解自然界從細(xì)胞代謝節(jié)律到星系旋轉(zhuǎn)等跨尺度同步現(xiàn)象提供了統(tǒng)一的動(dòng)力學(xué)視角。
近年來(lái)，這一領(lǐng)域與多個(gè)學(xué)科交叉，產(chǎn)生了一些系列新模型、新概念和新方法，如從統(tǒng)計(jì)物理視角，對(duì)同步相變的臨界性質(zhì)的進(jìn)一步探索，即考察臨界維數(shù)、除序參量外其他臨界指數(shù)與普適類 （Daido,1988PRL; Hong等, 2007PRL; Qiu等, Unpublished） ；引入新的內(nèi)稟自由度——D維 Kuramoto模型 (Chandra等，2019PRX；Dai等，2021PRL；Zou等，2023PRL) ，發(fā)現(xiàn)了其行為發(fā)現(xiàn)了其行為對(duì)D的奇偶性的新穎依賴性；同步與集群的交叉領(lǐng)域——集群振子模型(O’Keeffe等，2017NC) 等。它們與諸多領(lǐng)域深度融合，進(jìn)一步加深了我們對(duì)于同步現(xiàn)象和理論的理解。
這部分關(guān)于集群振子和Kuramoto模型的擴(kuò)展的一些內(nèi)容，會(huì)在集智俱樂(lè)部正在組織的上做一些專題解讀和介紹，歡迎大家加入讀書會(huì)一起來(lái)交流。
結(jié)語(yǔ)
KPZ方程描述的界面生長(zhǎng)與Kuramoto模型刻畫的振子同步，前者揭示了開放系統(tǒng)在噪聲驅(qū)動(dòng)下自發(fā)形成復(fù)雜結(jié)構(gòu)的普適性，后者則證明無(wú)序個(gè)體通過(guò)簡(jiǎn)單規(guī)則實(shí)現(xiàn)同步相變的涌現(xiàn)機(jī)制。這兩個(gè)看似迥異的物理圖景，卻都存在著某種形式的標(biāo)度律（scaling law）。事實(shí)上，從納米尺度的量子漲落到星系尺度的結(jié)構(gòu)形成，從神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練中的參數(shù)涌現(xiàn)到多智能體系統(tǒng)的集體決策，人們都發(fā)現(xiàn)若干簡(jiǎn)單的標(biāo)度指數(shù)可以概括描述不同規(guī)模的系統(tǒng)行為。這展示了統(tǒng)計(jì)物理學(xué)理論在解釋復(fù)雜系統(tǒng)行為方面的強(qiáng)大能力，我們或許因此觸碰到了自然界最深邃的奧秘——復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)多樣性背后，存在著超越具體物質(zhì)載體的普適性法則。這種抽象法則不僅是涌現(xiàn)現(xiàn)象背后深刻的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的曲折呈現(xiàn)，更是作為從數(shù)學(xué)實(shí)在到真實(shí)物理世界的映射方案的物理規(guī)律，在跨越不同層次時(shí)編碼的基本語(yǔ)法。
作為人類的一分子，科學(xué)家們居然能夠認(rèn)知到世界如此底層的規(guī)律。于是，我們不得不感嘆：
人，是宇宙的意義分泌器官。
本文為科普中國(guó)-創(chuàng)作培育計(jì)劃扶持作品 作者 | 邱仲普 審核 | 樊京芳（北京師范大學(xué)系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院教授） 出品 | 中國(guó)科協(xié)科普部 監(jiān)制 | 中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社有限公司、北京中科星河文化傳媒有限公司
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