一二三四视频在线社区中文字幕2,欧美黄色精品国产,男人天堂网久久,日韩高清网页,91在线国产成人

奇妙的幾何世界里，有一個有趣又充滿挑戰(zhàn)的問題：怎樣才能把三維空間里的曲面，完美地攤平到二維平面上呢？這個看似不起眼的小問題，實則蘊含著幾何與拓?fù)鋵W(xué)奧秘。

剝一個橘子，再把果皮壓平

首先，請大家留意一下手邊，是不是恰好有一個圓潤飽滿的橘子。

如果沒有（那就去找一個橘子……哈哈哈開個玩笑活躍下氣氛），就在腦海中想象有這樣一個橘子。我們在橘子的表面畫上一些喜歡的符號，比如?，比如，也比如卡皮巴拉……

（對不起，扯遠(yuǎn)了）

言歸正傳。完成符號繪制后，我們試著盡可能完整地剝開橘子皮，將其平攤放在桌面上。原本處于立體橘子表面的那些符號，隨著橘子皮的攤平，也一同被展現(xiàn)在了桌面這個二維平面上。因為橘子皮是不可延展的，所以得到的橘子皮必定是“撕裂”的。

如果把橘子繪制成地球儀，剝皮、攤平后，就會得到一張“撕裂”版的世界地圖。攤平橘子皮的過程跟制作地圖的過程類似，由于地球和地球儀都是三維的球體，強行攤平必定會導(dǎo)致“撕裂”。那么，有沒有什么辦法能夠把橘子皮完美攤平呢？

圖片來源于網(wǎng)絡(luò)

給地球“拉個皮”

攤平橘子皮的問題，實際上是三維到二維轉(zhuǎn)換的問題。如果橘子皮富有彈性，那么只要輕輕一拉，就能夠?qū)崿F(xiàn)完美的“攤平”，繪制一張完美的地圖也會變得輕而易舉（很顯然這是不可能的）。

為了解決這個問題，智慧的科學(xué)家們想到從數(shù)學(xué)的角度出發(fā)，尋找一種三維曲面中的點與二維平面上的點的一一對應(yīng)關(guān)系，換個角度“攤平”橘子皮、繪制“完美”地圖。這種三維到二維的轉(zhuǎn)換關(guān)系，被稱為展平映射。

假設(shè)地球的內(nèi)部有一束光，它的外面包圍著一個圓柱面。隨著光的照射，光線將地球表面的每一個點精準(zhǔn)地投射到圓柱面上。那么當(dāng)圓柱面展開后，那些原本在球面上的點，在展開面上都會有一個對應(yīng)的全新位置。

圖片來源于網(wǎng)絡(luò)

換句話說，這個過程類似于“撥開橘子皮”、“把橘子皮攤平”的過程。就像給地球做了一場“拉皮手術(shù)”，把三維的地球延展到二維矩形面上來。

墨卡托投影法圖解。圖片來源：cdn.hujiulong.com/geohey/blog/mercator/play.html

這種繪制世界地圖的方法被稱為“墨卡托投影法”，是地圖投影的一種。地圖投影泛指將地球表面展平以便繪制地圖方法，其核心就是將球面上的點轉(zhuǎn)換為平面上的點。由于投影方式的不同，所形成的世界地圖“長相”也大相徑庭。

圓錐投影

方位投影

偽圓柱投影

折衷投影

不同地球投影法下得到的世界地圖

雖然投影的方式各不相同，但有一點是統(tǒng)一的：將球體投影到平面上，球面必然會有一定程度的變形。映射是不完美的，是有扭曲的。以墨卡托投影法為例，它犧牲了面積大小，保留了角度和形狀（也稱為共形映射）。這就導(dǎo)致了在這種投影下得到的地圖，在赤道一圈不會發(fā)生扭曲，而越靠近極點的地方面積扭曲就越大。

通過墨卡托投影法得到的世界地圖，越遠(yuǎn)離赤道形變越大。圖片來源：Tomas A, Eric H and Naty H. Real-Time Rendering. A K Peters/CRC Press

舉個例子，從地圖上看格陵蘭島的面積跟非洲差不多，但實際上，非洲的面積是格陵蘭島的14倍。

圖片來源于網(wǎng)絡(luò)

不規(guī)則曲面的“拉皮”

在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，也有著類似的應(yīng)用。比如通過CT掃描獲取腹部的斷層圖像，然后運用多視角幾何的方法，精心重建出三維的直腸曲面。為了讓醫(yī)生能夠更清晰地觀察，做出準(zhǔn)確的診斷，還需要將這個直腸曲面平展到平面上。

圖片來源：計算共形幾何（理論篇）；作者：顧險峰、丘成桐；出版社：高等教育出版社

但如果CT掃描后的直腸曲面展平后，觀察到的病灶變形嚴(yán)重的話（就像上面提到非洲和格陵蘭島那樣），例如腫瘤塊在映射過程中被放大或縮小，這樣的檢查圖像是無法幫助醫(yī)生做出準(zhǔn)確判斷的。因此，盡可能地減小扭曲程度是三維曲面展開的重要目標(biāo)。映射后的平面圖，需要盡可能的保留三維曲面所蘊含的細(xì)節(jié)信息，避免造成失真。

為了解決這一問題，這里需要引入一個計算機科學(xué)里的概念。大家是否見過鑿冰球的場景？晶瑩剔透的冰塊在調(diào)酒師的手中不停被敲掉棱角，最終得到一顆光滑的冰球。

圖片來源于網(wǎng)絡(luò)

這里我們強制設(shè)定，每一次敲擊形成的切面都是三角形的。那么在整個過程中，冰球就可以看成是無數(shù)個三角形組成的多面體。只要敲擊的次數(shù)足夠多，所形成的切面三角形足夠多，這個多面體就可以近似為一個球體。

同樣的，我們試著像鑿冰球一樣，把復(fù)雜曲面的表面分割成許多的三角形。只要這些三角形切得足夠小、無限的小，以至于每個三角形的彎曲程度小到可以忽略不計，就可以將每一個三角形看成平面。這樣由三角形組成的網(wǎng)格在計算機中被稱為三角網(wǎng)格（Mesh）。為了方便解答，這里對“大衛(wèi)頭”進(jìn)行了簡化：

左圖為三角網(wǎng)格下的“大衛(wèi)頭”

右圖為簡化版“大衛(wèi)頭”的側(cè)面和底面

要使映射的效果比較好，需滿足以下約束條件：

映射之后內(nèi)部三角形的邊不能相交；

圖片來源：Games301

映射后三角形的定向不能翻轉(zhuǎn)，否則會有錯亂的情況；

圖片來源：Games301

映射后的邊界不能相交。

圖片來源：Games301

分塊展平，逐個擊破

在三角網(wǎng)格的設(shè)定下，我們希望對三角網(wǎng)格進(jìn)行形變最小化、且能夠保留三維細(xì)節(jié)信息的平面展開。

想象一下，我們給“大衛(wèi)頭”三角網(wǎng)格模型上貼一大塊可以任意伸縮、受力均勻的橡膠皮。在對這塊橡膠皮進(jìn)行拉伸時，每一個網(wǎng)格之間都會對力進(jìn)行傳導(dǎo)，且對于這塊橡膠皮內(nèi)部的任意一點，作用在它身上的力是均衡的。

獨立來看任意一塊三角形區(qū)域，當(dāng)我們固定它的三邊，從外部向這塊橡膠皮的三條邊施力時，它內(nèi)部的點就會移動到使其受力均勻的位置。

將“大衛(wèi)頭”按照特定的形狀范圍（圓形）進(jìn)行二維展開

我們再進(jìn)一步假設(shè)，將整個“大衛(wèi)頭”橡膠皮的所有外邊界固定到一個圓周上（也可以固定成方形、矩形、平行四邊形……，as you wish）。隨著橡膠皮的拉伸，其內(nèi)部的頂點V將會“乖乖”移至與它相鄰的那些定點所構(gòu)成區(qū)域的中心區(qū)域，這個位置就叫做質(zhì)心，如下圖所示。

五個三角形網(wǎng)格均勻受力后，其內(nèi)部頂點v∈Vint會移動至質(zhì)心

通過每塊三角形橡膠皮之間作用力的相互傳導(dǎo)，這塊三維的不規(guī)則橡膠皮可以被“均勻”地拉伸成了二維平面。在這場“拉皮手術(shù)”中被攤平的橡膠皮，就是對“大衛(wèi)頭”這一不規(guī)則模型的曲面展開。在計算機領(lǐng)域，三角網(wǎng)格展平的算法被稱為“網(wǎng)格參數(shù)化算法”（Mesh Parameterization）。

使用C++ Eigen庫對稀疏線性方程組進(jìn)行求解得到的展平結(jié)果

網(wǎng)格參數(shù)化算法的推導(dǎo)過程

這里我們在上述展平結(jié)果的表面貼上一層規(guī)則的棋盤格，再復(fù)原到“大衛(wèi)頭”上，直觀地感受下三角形們不同的扭曲。同時，這也是網(wǎng)格參數(shù)化算法的一個實際應(yīng)用案例——紋理貼圖。

均勻的網(wǎng)格在不規(guī)則曲面上形成不同程度的扭曲

紋理貼圖是一種計算機圖形學(xué)技術(shù)，設(shè)計師可以在二維空間進(jìn)行模擬物體的表面紋理與細(xì)節(jié)信息的設(shè)計，再通過計算機手段將其投影到3D模型表面，從而賦予模型/角色更有深度的視覺體驗。在游戲相關(guān)的領(lǐng)域中，紋理貼圖經(jīng)常被用來對3D場景和對象進(jìn)行上色及紋理填充等。