今天，挪威科學(xué)和文學(xué)學(xué)院將2025年阿貝爾獎(jiǎng)授予柏原正樹（Masaki Kashiwara），以表彰“他在代數(shù)分析和表示論領(lǐng)域所作出的奠基性貢獻(xiàn)，特別是他在D-模理論的建立以及晶體基的發(fā)現(xiàn)?！?/p>
挪威科學(xué)與文學(xué)學(xué)院院長(zhǎng)Annelin Eriksen評(píng)價(jià)道：“在過去50余年里，柏原正樹持續(xù)重塑并深刻拓展了代數(shù)分析與表示論這兩個(gè)數(shù)學(xué)重要領(lǐng)域。他的研究始終站在當(dāng)代數(shù)學(xué)的前沿，激勵(lì)著一代又一代的數(shù)學(xué)家。”
柏原正樹通過原創(chuàng)性的思考，將代數(shù)與分析這兩個(gè)“數(shù)學(xué)大陸”連接在一起，隨后又把第三塊大陸——幾何學(xué)也納入其中。他的思想不僅深邃優(yōu)美，而且開辟出全新路徑，啟發(fā)許多數(shù)學(xué)家探索未知領(lǐng)域、解決新問題。（圖/Peter Badge/Typos1/The Abel Prize）
D-模與方程的存在性
D-模為研究線性偏微分方程組提供了一種代數(shù)語(yǔ)言。微分方程描述的是事物如何隨時(shí)間或空間變化。比如我們會(huì)用它們來解答“某輛車在某一點(diǎn)的速度是多少？”“它是在加速還是減速？”等問題。而像柏原正樹這樣的數(shù)學(xué)家研究的是線性偏微分方程組。他們關(guān)心的不在于如何求出具體解，而是關(guān)心這些方程是否有解，以及如果有，其解會(huì)具有什么樣的性質(zhì)。
并非每個(gè)微分方程在每個(gè)點(diǎn)上都存在可定義的解。例如，如果一個(gè)函數(shù)是 1/x，那么當(dāng) x = 0 時(shí)，1/x 就趨向于無窮大，這樣的點(diǎn)被稱為奇點(diǎn)。數(shù)學(xué)中的一個(gè)著名的未解問題——希爾伯特第21問，也被稱為黎曼–希爾伯特對(duì)應(yīng)問題，它探討的就是在復(fù)數(shù)域中具有奇點(diǎn)的特殊微分方程系統(tǒng)的解。（復(fù)數(shù)域是一個(gè)實(shí)數(shù)與虛數(shù)共存的數(shù)學(xué)空間。）
在復(fù)流形上，微分方程的解在奇點(diǎn)附近可能表現(xiàn)出“繞一圈，解就變”的奇特行為。這種現(xiàn)象稱為單值性，而具有此性質(zhì)的微分方程系統(tǒng)則被稱為單值系統(tǒng)。
希爾伯特第21問研究的是我們能否斷言某類特定的微分方程系統(tǒng)總具有單值性？以及，我們是否能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)這些具有奇異行為的奇點(diǎn)將在何處出現(xiàn)？
柏原正樹借助他的D-模理論，證明了在任意維度下，總存在一個(gè)唯一的微分方程，滿足所預(yù)測(cè)的性質(zhì)。
在建立黎曼–希爾伯特對(duì)應(yīng)的過程中，柏原正樹還成功建立了D-模與拓?fù)鋵W(xué)中的“層”之間的聯(lián)系。在與皮埃爾·夏皮拉（Pierre Schapira）長(zhǎng)達(dá)50余年的合作中，他們?cè)趯拥姆矫嫒〉昧松钸h(yuǎn)成果，也為表示論這一重要數(shù)學(xué)領(lǐng)域架起了一座新的橋梁。
表示論的世界
表示論是一門用代數(shù)手段研究對(duì)稱性的學(xué)科。
在日常生活中，我們熟悉各種各樣的對(duì)稱。例如，一個(gè)平面上的正方形瓷磚可具有多種對(duì)稱性——可以旋轉(zhuǎn)四分之一圈、半圈或一整圈；也可以沿對(duì)角線或邊的中點(diǎn)進(jìn)行鏡像反射；還可以在鋪砌的瓷磚地面上平移，形成平移對(duì)稱。
而立方體這樣的三維物體則具有更多的對(duì)稱性，因?yàn)樗梢栽谌S空間中向任意方向旋轉(zhuǎn)、反射或滑動(dòng)。在更高維的空間中，數(shù)學(xué)對(duì)象的對(duì)稱性可以更加復(fù)雜，具有更多“階”。
一個(gè)物體的各種對(duì)稱性之間的關(guān)系，可以通過代數(shù)的一個(gè)分支——群論來描述。挪威數(shù)學(xué)家尼爾斯·阿貝爾（Niels Henrik Abel）在群論方面做出了重要貢獻(xiàn)，阿貝爾群就是由他提出的，阿貝爾獎(jiǎng)也是以他而命名的。
雖然正方形、立方體等日常物體的對(duì)稱性是有限的，但像圓或球這樣的物體則具有無限多種對(duì)稱性。例如，你可以圍繞一個(gè)球體的任意軸旋轉(zhuǎn)，或者讓它在穿過中心的任意平面上反射。為了描述這種連續(xù)的對(duì)稱群，挪威數(shù)學(xué)家索菲斯·李（Sophus Lie）創(chuàng)立了李群的理論，而這一理論也成為了現(xiàn)代物理學(xué)和數(shù)學(xué)的重要支柱。
量子群與晶體基
為了在統(tǒng)計(jì)力學(xué)等領(lǐng)域使用李群，物理學(xué)家們發(fā)展出了量子群的概念。而柏原正樹則另辟蹊徑，提出了全新的應(yīng)用思路——他發(fā)明了晶體基，將量子群的抽象代數(shù)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為更加清晰可見的圖形，這又在表示論與圖論之間建起了新的橋梁。
圖論使用“邊”連接的“結(jié)點(diǎn)”來建模結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)。瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）在1736年開創(chuàng)了圖論，并用它解決了著名的“柯尼斯堡七橋問題”。
柯尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）被河流分隔，有兩座島通過七座橋連接對(duì)岸。問題是：是否存在一條路徑，可以恰好走過每座橋一次并回到起點(diǎn)？歐拉將問題抽象為圖形，將橋和地點(diǎn)表示為邊與點(diǎn)，最終證明：這樣的路徑是不存在的。
這種將現(xiàn)實(shí)問題抽象為圖的方法，如今被廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)科學(xué)、化學(xué)，甚至地圖著色等領(lǐng)域。
柏原正樹的晶體基將量子群所描述的組合對(duì)稱性轉(zhuǎn)化為圖。所有具有相同對(duì)稱性組合的對(duì)象，對(duì)應(yīng)于相同的圖。如果一個(gè)對(duì)象具有兩種不同的對(duì)稱性（例如一個(gè)結(jié)合了旋轉(zhuǎn)和平移的螺旋開瓶器），那么它的圖就會(huì)分裂為兩個(gè)不連通的部分。
今天，晶體基已經(jīng)成為整個(gè)表示論中不可或缺的核心工具。
數(shù)學(xué)世界的橋梁建造者
從D-模理論到黎曼–希爾伯特對(duì)應(yīng)，從晶體基到圖論結(jié)構(gòu)，柏原正樹始終站在多個(gè)數(shù)學(xué)分支的交匯處，不斷搭建橋梁、統(tǒng)一語(yǔ)言、激發(fā)靈感。
2025年阿貝爾獎(jiǎng)的頒發(fā)，不僅是對(duì)柏原正樹個(gè)人貢獻(xiàn)的高度肯定，也象征著數(shù)學(xué)內(nèi)部不同領(lǐng)域之間聯(lián)系的不斷加深與融合。
#創(chuàng)作團(tuán)隊(duì)：
整理：原原
#參考來源：
https://abelprize.no/
#圖片來源：
封面圖：Peter Badge/Typos1/The Abel Prize
首圖：Peter Badge/Typos1/The Abel Prize
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