【 1 】 我知我無知
蘇格拉底有句名言 ： “ 我只知道一件事 ， 那就是我一無所知 。 ”
這個(gè)說法本身就是悖論 ， 展現(xiàn)了自我參照的表述 （ self-referential statement ） 的復(fù)雜性 。 而這也是西方哲學(xué)先賢帶給我們的重要啟示 ： 你得問你以為你知道的一切 。 越是問東問西問長問短打破砂鍋問到底 ， 越會(huì)發(fā)現(xiàn)身邊正有一大波悖論呼嘯而過 。
【 2 】 二分法悖論 （ dichotomy paradox ）
概述 ： 運(yùn)動(dòng)是不可能的 。 你要到達(dá)終點(diǎn) ， 必須先到達(dá)全程的1/2處 ； 要到達(dá)1/2處 ， 必須先到1/4處 …… 每當(dāng)你想到達(dá)一個(gè)點(diǎn) ， 總有一個(gè)中點(diǎn)需要先到 ， 因此你是永遠(yuǎn)也到不了終點(diǎn)的 。
古希臘哲學(xué)家芝諾 （ Zeno ） 提出了一系列關(guān)于運(yùn)動(dòng)不可分性的哲學(xué)悖論 ， 二分法悖論就是其中之一 。 直到19世紀(jì)末 ， 數(shù)學(xué)家們才為無限過程的問題給出了形式化的描述 ， 類似于0.999 …… 等于1的情境 。
那么究竟我們是如何到達(dá)目的地的呢 ？ 二分法悖論只是空谷傳音般放大了問題 。 若想妥善解決這個(gè)問題 ， 還得靠物質(zhì) 、 時(shí)間和空間是否無限可分等等這些20世紀(jì)的衍生理論 。
腦洞 ： 無限二分16寸芝士乳酪蛋糕卻不能吃的快感 ， 你值得擁有 。
【 3 】 飛矢不動(dòng) （ arrow paradox ）
概述 ： 一根箭是不可能移動(dòng)的 。 飛行過程中的任何瞬間 ， 它都有一個(gè)暫時(shí)的位置 ， 由此可知一直動(dòng)的箭是所有不動(dòng)的集合 。
芝諾又一著名悖論 ， 他認(rèn)為時(shí)間的單位是瞬間 。 事實(shí)上 ， 運(yùn)動(dòng)不會(huì)發(fā)生在任何特定時(shí)刻 ， 并不意味著運(yùn)動(dòng)不會(huì)發(fā)生 。 戰(zhàn)國時(shí)期的詭辯學(xué)代表人物惠施也曾說 ： “ 飛鳥之影 ， 未嘗動(dòng)也 。 ”
“ 飛矢不動(dòng) ” 實(shí)際上暗示了量子力學(xué)的觀點(diǎn) 。 以狹義相對(duì)論為背景 ， 物體在靜止與運(yùn)動(dòng)時(shí)是不同的 。 根據(jù)相對(duì)論 ， 對(duì)于以不同速度移動(dòng)的物體 ， 觀察者會(huì)產(chǎn)生不同感受 ， 對(duì)周圍的世界也會(huì)持有不同看法 。
腦洞 ： 看到漂亮妞心動(dòng)3秒 ， 上去要電話慘遭拒絕 。 咳咳 ， 飛矢不動(dòng) ， 我沒心動(dòng) 。
【 4 】 忒修斯之船 （ Ship of Theseus paradox ）
概述 ： 如果忒修斯的船上的木頭被逐漸替換 ， 直到所有的木頭都不是原來的木頭 ， 這艘船還是原來的那艘船嗎 ？
基于同一性的古希臘著名悖論 ， 引發(fā)了赫拉克利特 、 蘇格拉斯 、 柏拉圖等的各種討論 。 近代啟蒙運(yùn)動(dòng)中 ， 英國的兩位大哲學(xué)家托馬斯 · 霍布斯 （ Thomas Hobbes ） 、 約翰 · 洛克 （ John Locke ） 也曾嘗試解答這個(gè)問題 。 答案始終是是非非 ， 難以一錘定音 。
腦洞 ： 人體細(xì)胞每七年更新一次 ， 七年后 ， 鏡子里是另一個(gè)你 。
【 5 】 上帝無所不能 ？
概述 ： 無所不能的上帝 ， 能不能創(chuàng)造出他自己搬不動(dòng)的石頭 ？
關(guān)于上帝無所不能的邏輯悖論不勝枚舉 。 教徒們有無數(shù)理由證明上帝的神圣 ， 而在他們看來 ， 這些悖論的理由根本無關(guān)緊要 。
腦洞 ： 裝備此邏輯 ， 與自稱為上帝的自戀狂魔們大戰(zhàn)幾百回合不掉血 。
【 6 】 托里拆利小號(hào) （ Gabriel s Horn ）
概述 ： 體積有限的物體 ， 表面積卻可以無限 。
17世紀(jì)的幾何悖論 。 意大利數(shù)學(xué)家托里拆利 （ Evangelista Torricelli ） 將y=1/x中x≥1的部分繞著x軸旋轉(zhuǎn)了一圈 ， 得到了上面的小號(hào)狀圖形 （ 注 ： 上圖只顯示了一部分圖形 ） 。 然后他得出 ： 這個(gè)小號(hào)的表面積無窮大 ， 可體積卻是 π 。
腦洞 ： 原來也有平胸不一定能為國家省布料的時(shí)候 。
【 7 】 理發(fā)師悖論 （ Russell s Paradox的別稱 ）
概述 ： 小城的理發(fā)師放出豪言 ： “ 我只幫城里所有不自己刮臉的人刮臉 。 ” 那么問題來了 ， 理發(fā)師給自己刮臉么 ？ 如果他給自己刮臉 ， 就違反了只幫不自己刮臉的人刮臉的承諾 ； 如果他不給自己刮臉 ， 就必須給自己刮臉 ， 因?yàn)樗某兄Z說他只幫不自己刮臉的人刮臉 。 兩種假設(shè)都說不通 。
赫赫有名的羅素悖論 ， 由英國數(shù)學(xué)家勃蘭特 · 羅素教授于20世紀(jì)初提出 。 這條悖論證明了19世紀(jì)的集合論是有漏洞的 ， 幾乎改變了數(shù)學(xué)界20世紀(jì)的研究方向 。
腦洞 ： 對(duì)于不刮胡子的女理發(fā)師不成立 。
【 8 】 第二十二條軍規(guī) （ Catch-22 ）
概述 ： 瘋子才能獲準(zhǔn)免于飛行 ， 但必須由本人提出申請(qǐng) ； 凡能意識(shí)到飛行有危險(xiǎn)而提出免飛申請(qǐng)的 ， 屬頭腦清醒者 ， 應(yīng)繼續(xù)執(zhí)行飛行任務(wù) 。 即 “ 如果你能證明自己發(fā)瘋 ， 那就說明你沒瘋 ” ， 諸如此類 。
《 第二十二條軍規(guī) 》 由約瑟夫 · 海勒 （ Joseph Heller ） 根據(jù)自己在二戰(zhàn)中的親身經(jīng)歷創(chuàng)作 。 該書的主角為了逃避危險(xiǎn)的作戰(zhàn)任務(wù)而裝瘋 ， 可逃避的愿望本身又證明了他的神志清醒 。
Catch-22已成為英語詞典中的常用詞匯 ， 用來形容自相矛盾的死循環(huán) ， 或是人們處于荒謬的兩難之中 。
腦洞 ： “ 一等獎(jiǎng) ： iPhone6 Plus ” ， 但是 “ 本商場擁有本次活動(dòng)的最終解釋權(quán) ” 。
【 9 】 有趣數(shù)悖論 （ Interesting Number Paradox ）
概述 ： 1是非零的自然數(shù) ， 2是最小的質(zhì)數(shù) ， 3是第一個(gè)奇質(zhì)數(shù),4是最小的合數(shù)等等 ； 如果你找不到這個(gè)數(shù)字有趣的特征 ， 那它就是第一個(gè)不有趣的數(shù)字 ， 這也很有趣 。
于是 ， 量子計(jì)算領(lǐng)域的研究猿納撒尼爾 · 約翰斯 （ Nathaniel Johnston ） 把這些有趣的整數(shù)定義為一個(gè)整體 ， 并將這些整體排成序列 ， 像是質(zhì)數(shù) 、 斐波那契數(shù)列 、 畢達(dá)哥拉斯數(shù)等 。 基于這個(gè)定義 ， 約翰斯在2009年6月的博客里提出 ， 第一個(gè)沒有出現(xiàn)在序列里的數(shù)字是11630 。 2013年11月序列更新之后 ， 他表示14228是最小的無趣數(shù) 。
腦洞 ： n只青蛙n張嘴 ， 2n只眼睛4n條腿 ， 撲通n聲跳下水 …… 你想起數(shù)列是個(gè)什么鬼了嗎 ？
【 10 】 飲酒悖論 （ drinking paradox ）
概述 ： 酒吧里會(huì)發(fā)生這種情況 ： 如果有人在喝酒 ， 那么每個(gè)人都在喝酒 。 乍看起來是一個(gè)人喝酒導(dǎo)致了所有人喝酒 。 實(shí)際上 ， 如果酒吧里至少有一個(gè)人沒在喝酒 ， 那么按照數(shù)學(xué)中的實(shí)質(zhì)條件 （ material conditional ） ， 對(duì)那些沒喝酒的人來說 ， 有些人在喝酒 ， 這些人中的每個(gè)人都在喝酒 ， 情況依然成立 。
實(shí)質(zhì)條件的示意圖如下 ：
“ 飲酒悖論 ” 由于雷蒙德 · 斯穆里安 （ Raymond Smullyan ） 的書而出名 ， 這本書的名字就叫 《 這本書叫什么名字 》 （ What Is the Name of this Book? ） 。
【 11 】 球與花瓶 （ Balls and Vase Problem ）
概述 ： 假設(shè)無限個(gè)球和一個(gè)花瓶 ， 現(xiàn)在要進(jìn)行一系列操作 ， 且每次操作都一樣 ： 往花瓶里放10個(gè)球 ， 然后取出1個(gè)球 。 那么 ， 無窮多次這樣的操作之后 ， 花瓶里有多少個(gè)球呢 ？
答案千奇百怪 。 最直接的是無限個(gè) ， 也有數(shù)學(xué)家認(rèn)為 ， 每個(gè)球都會(huì)被取出來 。 邏輯學(xué)家詹姆斯 · 亨勒 （ James M. Henle ） 和托馬斯 · 泰馬祖科 （ Thomas Tymoczko ） 提出花瓶里的球最終可以是任意數(shù)目 ， 甚至有具體的構(gòu)造方法 。
1976 年謝爾登 · 羅斯 （ Sheldon Ross ） 在他的 《 概率論第一課 》 （ A First Course in Probability ） 介紹了這個(gè)問題 ， 所以它被稱為 “ 羅斯 · 利特爾伍德悖論 ” （ Ross-Littlewood Paradox ） 。
腦洞 ： 小學(xué)奧林匹克暗袋摸球概率題終極版 。
【 12 】 土豆悖論 （ potato paradox ）
概述 ： 100克土豆含有99%的水 ， 如果它被榨出了2% ， 還剩98%的水分 ， 它將只重50克 。 即100克的土豆含有1克干物質(zhì) （ dry material ） ， 當(dāng)還剩98%的水分時(shí) ， 1克將對(duì)應(yīng)2%的含量 ， 因此含98%水分的土豆重50克 。
腦洞 ： 理科生們笑到內(nèi)傷 。
【 13 】 生日悖論 （ birthday paradox ）
概述 ： 隨機(jī)挑選一組人 ， 其中就會(huì)有兩人同一天生日 。
用抽屜原理來計(jì)算 ， 只要人群樣本達(dá)到367 ， 存在兩人同天生日的可能性就能達(dá)到100% （ 一年雖然只有365天 ， 但是有366個(gè)生日 ， 包括2月29日 ） 。 然而 ， 如果只是達(dá)到99%的概率 ， 只需要57個(gè)人 ； 達(dá)到50%只需要23個(gè)人 。 這種結(jié)論的前提是一年中每天生日的概率相等 ， 可憐的2月29日除外 。
腦洞 ： 顫抖吧人類 ， 該方法已應(yīng)用于常見的黑客密碼攻擊 ： 生日攻擊 。
【 14 】 朋友悖論 （ friendship paradox ）
概述 ： 你的基友總是比你擁有更多基友 。
這都是數(shù)學(xué)惹的禍 ， 詭異的統(tǒng)計(jì)學(xué)能證明你的好基友擁有更多朋友 ， 身材更棒 ， 學(xué)習(xí)更好 ， 工資更高 …… 而你就是個(gè)杯具 。
腦洞 ： 這類似于 ， 問 ： 長這么大你遇到過的最優(yōu)秀的人是 ？ 答 ： 別人家的孩子
【 15 】 祖父悖論 （ bootstrap paradox ）
概述 ： 如果你乘坐哆啦A夢的時(shí)光機(jī) ， 回到你爺爺奶奶相遇之前 ， 殺死你的爺爺會(huì)發(fā)生什么 ？ 如果殺死了你的爺爺 ， 那么你就從未誕生 ； 如果你從未誕生 ， 如何回到以前殺死你的爺爺 ？
祖父悖論看似杜絕了人為操縱命運(yùn)的可能 ， 過去無法改變 ， 爺爺一定會(huì)在孫子的謀殺中幸存下來 ； 還有種可能是 ， 你進(jìn)入了另一個(gè)平行宇宙 ， 這是你從未生活過的世界 ， 但你的爺爺奶奶卻也在這里 。
這個(gè)關(guān)于時(shí)間旅行的悖論源自羅伯特 · 海因萊因的短篇小說 ， 近來又出現(xiàn)在諾蘭導(dǎo)演的 《 星際穿越 》 中 。
腦洞 ： 如果你重返二戰(zhàn)前 ， 殺死希特勒 ， 成功阻止了二戰(zhàn)的爆發(fā) 。 然而 ， 如果沒有發(fā)生二戰(zhàn) ， 回去刺殺希特勒的理由是什么 ？ 時(shí)間旅行本身就消除了旅行的目的 ， 本身就在質(zhì)疑本身 。
【 16 】 外星文明
概述 ： 天文學(xué)的基本假設(shè)是 ， 蒼茫宇宙間 ， 地球是一顆再平常不過的星球 。 NASA （ 美國宇航局 ） 的開普勒衛(wèi)星發(fā)現(xiàn) ， 銀河系內(nèi)很可能存在著110億個(gè)類似地球的星球 。
我們的文明是有聲的 ， 廣播電視和無線電信號(hào)都是人為的 。 如果確實(shí)存在與地球相像的文明 ， 我們應(yīng)該有能力找到證據(jù) 。
目前 ， 因?yàn)殄e(cuò)綜復(fù)雜的原因 ， 我們無法切實(shí)證明宇宙有其他文明 。 龐大的宇宙空間使溝通變得困難 。 盡管我們使用電磁波和外星聯(lián)系 ， 但由于電磁頻譜極寬 ， 我們無法確定外星人使用哪種頻譜 。 再加上那些星球的文明發(fā)展度可能過高 、 過低 ， 抑或是生活著與人類不同的生命形式 ， 又大大降低了準(zhǔn)確交流的可能 。
腦洞 ： 我們堅(jiān)信來自星星的都教授的存在 ！
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