成人国产精品麻豆,亚洲婷婷久久99,老司机午夜精品影院,熟女少妇一区二区三区四区,国产自拍精品av在线

美國康奈爾大學(xué)教授史蒂文·斯托加茨（Steven Strogatz）因在動力系統(tǒng)[1]與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論[2]領(lǐng)域的開創(chuàng)性貢獻享譽數(shù)學(xué)界。在動力系統(tǒng)領(lǐng)域，他研究了蟋蟀的同步鳴叫等現(xiàn)象；在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論方面，他于 1998 年在《自然》雜志發(fā)表的論文《小世界網(wǎng)絡(luò)的集體動力學(xué)》（Collective dynamics of small-world networks）[3]掀起了一場持續(xù)至今的研究熱潮。盡管取得了諸多成就，斯托加茨或許會說，他最重要的身份并非研究者，而是“翻譯者”。

在一次與The Believer雜志的訪談對話中，從斯托加茨教授的著作《微積分的力量》談起，教授通過微積分歷史上的最重要人物闡述了數(shù)學(xué)與自然的關(guān)系，并對確定性和不可預(yù)測性進行了分析。

采訪&寫作 | Prashanth Ramakrishna

翻譯 | Alex

在搜尋混沌理論課程的補充材料時，我第一次接觸到斯托加茨博士的工作。他的著作Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering對于我深入理解數(shù)學(xué)具有重要意義——我當(dāng)時對數(shù)學(xué)的定義還停留在封閉課堂環(huán)境中的定理、證明和計算。但實際上，數(shù)學(xué)的力量在于它能夠極其精確地描述自然世界的運行規(guī)律，并利用這些描述預(yù)測未來的發(fā)展變化。不久之后，我開始從事涉及現(xiàn)實世界動態(tài)現(xiàn)象建模的工作，比如研究青春期大鼠看似隨機的睡眠-覺醒周期、動脈中血液脈搏波的反射，以及組織如何通過招聘來維持意識形態(tài)的多樣性。事實上，斯托加茨的啟發(fā)徹底改變了我對數(shù)學(xué)的看法，我意識到，如同畫家揮動畫筆，數(shù)學(xué)家運用數(shù)學(xué)描繪出了現(xiàn)實世界的某種面貌。萬物皆模式（Life is patterns），關(guān)鍵在于能否有人將它們辨識出來。這種頓悟，我確信，不會只發(fā)生在我一個人身上。

Steven Strogatz（照片由 John Groo 提供）

在一個以嚴寒著稱的伊薩卡市的冬日，我滿懷期待地來到康奈爾大學(xué)——這里正是斯托加茨博士任教的地方，他擔(dān)任 Jacob Gould Schurman 應(yīng)用數(shù)學(xué)教授。我這次專程為他的新書《微積分的力量》（Infinite Powers: How Calculus Reveals the Secrets of the Universe，2019）而來。我們在他的辦公室里聊了好幾個小時——不僅談到了微積分的歷史，也聊到了父親在我小時候與我玩的一些（數(shù)學(xué)）近似游戲、人文與科學(xué)之間的分歧、良好的數(shù)學(xué)教育應(yīng)具備哪些要素、數(shù)學(xué)模型的局限，以及美感、直覺與創(chuàng)造力在數(shù)學(xué)中的重要作用等諸多話題。本文即是那場對話的編輯整理版。

《微積分的力量》（中信出版社，2021年1月），購書可索取發(fā)票

采訪結(jié)束后，斯托加茨教授非常友善地開車送我回到了我當(dāng)時居住的那間略顯破舊的兄弟會宿舍。當(dāng)天深夜，在煙草和披薩的混合香氣中，我與一個學(xué)生閑聊起來。當(dāng)我提到斯托加茨教授時，他一下子興奮起來：“動力學(xué)傳奇啊！Watts-Strogatz 模型，不就是他嗎？大家都說一定要上他的課！可惜課程安排不允許，實在遺憾。”

微積分的天體起源

The Believer（以下簡稱BLVR）：在我看來，《微積分的力量》不僅試圖解釋微積分是如何發(fā)展的，還試圖說明它為何行之有效。這種理解是否過于簡單？是否符合你寫作這本書的初衷？

斯托加茨（以下簡稱SS）：我寫這本書主要想探討三件事。前兩件相互關(guān)聯(lián)——正如你所說，我想解釋微積分的由來以及它為何有效。第三件事是展示微積分如何改變?nèi)祟惖纳?。我的目標是要將歷史、概念和應(yīng)用全部融入到書中。不過，歷史并非我的專長。數(shù)學(xué)史上流傳著許多軼事趣聞，想想你的老師們，他們很可能也講過高斯或黎曼的故事。我發(fā)現(xiàn)，幾個世紀以來，我們一直喜歡談?wù)撨@些話題。我甚至覺得自己了解阿基米德是什么樣的人。當(dāng)然，這不過是自欺欺人罷了。

BLVR：人們往往傾向于神化數(shù)學(xué)家，仿佛他們擁有超能力一般。數(shù)學(xué)家的殿堂里匯聚了如此多樣的人物。但我總覺得這種多樣性呈現(xiàn)出一種兩極分化的狀態(tài)，一端是極度自負，另一端則是全然忘我。這種二元性在書中的一些人物身上得到了很好地體現(xiàn)。

SS：是的，像是費馬和笛卡爾，還有牛頓和萊布尼茨。關(guān)于伽利略和開普勒，雖然我不會將他們稱為對手，但他們是同時代的人，可以很自然地并列提及。然而，我最終還是省略了許多重要的歷史人物，比如黎曼、高斯、柯西和拉格朗日。寫書時我開始意識到，我希望能盡量降低這本書的數(shù)學(xué)門檻。比如，我甚至要假設(shè)我的編輯沒學(xué)過高中代數(shù)。如果連這些基礎(chǔ)都沒有，那談?wù)摾杪某删陀钟惺裁匆饬x呢？我希望真實地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)，這樣任何讀者都能從零開始理解。

BLVR：幸運的是，要討論微積分的兩個主要組成部分——微分和積分，并不需要復(fù)雜的歷史背景。說到這里，我意識到人們往往會忽略數(shù)學(xué)名詞本身所包含的解釋價值：“微分”是將連續(xù)的整體分解成無限小的組成部分；而“積分”則是將許多細小的部分重新整合為一個整體。

SS：我也這樣認為。你這種說法似乎特別自然。微積分之所以十分強大，是因為世界上許多事物都可以被視為連續(xù)體，并且可以不斷細分。時間、空間及物質(zhì)實體，皆是如此。

BLVR：問題是：為什么微積分會產(chǎn)生如此深遠的影響？

SS：如果要用一句話總結(jié)，那就是：微積分是研究“變化”的數(shù)學(xué)。更準確地說，它研究的是“連續(xù)變化”。我們這里說的不是那種胡攪蠻纏的變化，而是比如一位HIV感染者在接受三聯(lián)雞尾酒療法后，血液中的病毒載量會迅速下降這樣的變化；也包括太陽系天體是如何運動的，這曾是早期重要的未解之謎，并由此引出了一個有趣的問題?？v觀歷史，人類如此癡迷于星辰、月亮和太陽，但是，為什么？為什么這些天體是人類最早能夠數(shù)學(xué)化的對象？那時候，人們對草藥、動物和農(nóng)業(yè)已經(jīng)有所了解，但在這些領(lǐng)域，基本只依靠計數(shù)就足夠了。為什么那些高深的數(shù)學(xué)（比如三角函數(shù)的微積分運算）最先應(yīng)用在天文學(xué)上？我心里有個答案，不過我很好奇你有沒有想過這個問題。

BLVR：是的，我也想過這個問題。我認為這個問題的答案有兩部分。第一，某些天體的運行顯然有規(guī)律可循，即使人們一開始不清楚這些規(guī)律具體是什么，也能強烈地感知到它們的存在，而且只要仔細觀察，假以時日就能發(fā)現(xiàn)。第二，那些規(guī)律能夠被可靠地觀測到。而這兩點，最終成為科學(xué)的必要前提：察覺到某事物值得研究并找到研究它的可靠方法。

SS：非常好。另外，天體運動的時間尺度也剛剛好——既不太快，也不太慢。那些變化非常迅速的現(xiàn)象，甚至只是從橋上扔下一塊石頭，在當(dāng)時其實是很難研究的，因為那時沒有足夠精確的時鐘，無法測量石頭落入水中的時間。一切都發(fā)生得太快了！另外也要記住，這些觀測工作往往是在夜晚進行的，沒有電燈，四周漆黑一片。而在世界上很多地方，夜空本身就非常壯觀。

不過，同樣讓人費解的是，這些天體距離地球非常遙遠，人類為什么會想要研究它們？你可能會認為理應(yīng)最先發(fā)展醫(yī)學(xué)，因為它關(guān)乎生死，是人類最迫切需要解決的問題。但醫(yī)學(xué)太復(fù)雜了，直到今天，其中的規(guī)律仍然成謎。所以，我想你說得對——天體運動呈規(guī)律性，運行速度緩慢，而且肉眼可以觀測到。因此，人們可以繪制圖表并記錄下來。最終，最遙遠的對象反而最先被理解。微積分正是在那場追尋行星運動規(guī)律的古老探索中逐漸萌芽的。而“行星”一詞的本意，正是“漫游的星辰”。

BLVR：仰望星空是一種分離“運動現(xiàn)象”的自然方式。許多最早為微積分奠定基礎(chǔ)的重要進展都源于“人為分離運動現(xiàn)象”方法的發(fā)展。比如，我現(xiàn)在腦海中浮現(xiàn)的就是伽利略讓小球在帶槽斜面上滾動的實驗。正是這種方法論上的突破，我們才能研究地球運動規(guī)律。

SS：是的，伽利略的實驗繼承了阿基米德的精神。阿基米德做了很多漂浮物體和類似性質(zhì)的簡化實驗。伽利略就像是現(xiàn)代版的阿基米德。方法論的另一個重大突破就是刻意忽略某些因素的影響。比如，摩擦力在現(xiàn)實生活中不可或缺，而伽利略卻費盡心思將小球軌道打磨得光滑筆直，因為他對摩擦力不感興趣。他真正想理解的是重力以及重力如何影響物體的運動。

做這些小實驗是為了弄清楚宇宙中的事物是如何變化的，而描述這種變化的語言就是微積分。在代數(shù)中，我們會學(xué)到用關(guān)系式來思考問題，比如“距離 = 速度 × 時間”。但這只適用于物體勻速運動的時候，而宇宙中很多物體并非勻速運動，比如行星圍繞太陽旋轉(zhuǎn)，靠近太陽時速度加快，遠離時就慢下來。再比如，邁克爾·喬丹扣籃時，跳到最高點時好像懸停在空中，接著突然加速下落。這些運動的速度變化必須找到方法描述。而幾何也有類似的局限：古典幾何學(xué)能夠處理直線構(gòu)成的形狀，并用直線幾何方法來量化光滑曲線（如拋物線）下的面積。但要處理光滑曲線，需要一種新的思想，那就是微積分。

鄰近于美

BLVR：微積分的發(fā)展凝聚了眾多數(shù)學(xué)家的智慧。因此，我想我們是不是應(yīng)該介紹一下你書中的重要人物？

SS：我本想在書中講述一千個人物的故事，但礙于篇幅所限，我決定重點介紹阿基米德。我認為他是古代最重要的數(shù)學(xué)家，他當(dāng)時所解決的問題，現(xiàn)在仍然困擾著SAT的考生。阿基米德成功量化了許多由光滑曲線構(gòu)成的形狀，比如圓、球體和拋物線。微積分的核心就是“變化”。直線的方向不會發(fā)生改變，而根據(jù)定義，曲線的方向則不斷變化。因此，曲線是研究“變化”的重要內(nèi)容。阿基米德是第一個能夠通過測量曲面物體的屬性（如表面積、體積和弧長）描述這種變化的人，而這一切的背后，是他對“無窮”的駕馭。

BLVR：他駕馭無窮的方法，便是巧妙地將物體拆解再重新組合，從而為后來微積分的發(fā)展提供了重要線索。

SS：他簡直是切割形狀的藝術(shù)大師。這很像立體主義。布拉克（Georges Braque，法國著名立體主義畫家）有一幅畫作，用萬花筒一樣的視角展現(xiàn)人走下樓梯的場景。從不連續(xù)的畫面中，你卻能感受到連續(xù)的動作。如何將鋸齒狀的碎片變成光滑的形狀呢？立體主義畫家在 20 世紀初懂得了這個方法，而阿基米德早在公元前 250 年就知道怎么做了：他將一個像拋物線般平滑的形狀，分解為許多越來越小的三角碎片。多么奇妙的畫作！

阿基米德至今仍然如此重要，真是不可思議。動畫人物史萊克光滑的肚子或喇叭形的小耳朵都是由數(shù)百萬個多邊形構(gòu)成的。所有的計算機圖形都巧妙地利用無數(shù)個微小的多邊形來近似平滑的面部、腹部、耳朵和其他所有部位。面部外科醫(yī)生使用相同的技術(shù)來預(yù)測整形手術(shù)的結(jié)果。因此，通過運用阿基米德的思想，我們可以為外科醫(yī)生提供真正有效的“手術(shù)模擬”。

BLVR：那古典時代之后呢？

SS：我們直接跳到兩千年后的17 世紀初，那時人們開始量化地球上和天空中物體的運動方式。接下來登場的是伽利略和開普勒。他們既是數(shù)學(xué)家，也都是富有科學(xué)精神、目光投向數(shù)學(xué)之外的探索者。他們研究數(shù)學(xué)的目的并非僅為數(shù)學(xué)本身，同時也懷抱著對自然的敬畏之情。

開普勒是個虔誠的信徒。盡管他最后當(dāng)了老師，但年輕的時候他本打算做一名路德教的牧師。他曾一度形容自己處于一種“神圣狂熱”的狀態(tài)。他對宇宙的規(guī)律抱有一種神秘主義的看法，認為自己正在發(fā)現(xiàn)上帝用來創(chuàng)造宇宙的神圣幾何。開普勒發(fā)現(xiàn)了行星運行所遵循的定律。雖然他當(dāng)時還不知道萬有引力定律，但他在行星運行中發(fā)現(xiàn)了大量的幾何結(jié)構(gòu)。在開普勒之前，哥白尼就提出行星圍繞太陽運行的設(shè)想，但開普勒用數(shù)學(xué)方法證明了這一點。

BLVR：你對開普勒的描述，我很感興趣，因為從畢達哥拉斯開始，數(shù)學(xué)神秘主義就是另一條重要的歷史脈絡(luò)。

SS：我們不妨說明一下什么是數(shù)學(xué)神秘主義。開普勒就是一個神秘主義者，讓我們以他為例。當(dāng)時，除了地球之外，還有五顆已知的行星，它們靠近太陽，分別是水星、金星、火星、木星和土星。有趣的是，如果你畫一個五角星，并連接它的五個角，就會得到一個五邊形。另一種更傳統(tǒng)的思考方式是：如果你畫一個五邊形，然后從內(nèi)部連接它的角，那么你不僅會得到一個五角星，還會在原始圖形中心生成一個小五邊形。五邊形是一種能夠自我生成的形狀，并且可以無限延續(xù)下去。因此，根據(jù)丹·布朗（Dan Brown，美國懸疑小說作家）的說法和畢達哥拉斯的觀點，五邊形象征著生育和女性?！?”在畢達哥拉斯的數(shù)字命理學(xué)中非常重要，而開普勒深受其影響。他注意到有五顆行星，同時也發(fā)現(xiàn)五種特殊的立體圖形，即柏拉圖立體（立方體或正四面體），它們的每個面都是相同的正多邊形。于是他心想：“它們之間一定有聯(lián)系！” 開普勒得出結(jié)論，宇宙是基于柏拉圖幾何構(gòu)建的。他在著作《宇宙的奧秘》（MysteriumCosmigraphicum）中提出了一個方案：立方體內(nèi)嵌套著十二面體[4]，十二面體內(nèi)又嵌套二十面體[5]，幾乎可以解釋五顆行星的位置以及它們與太陽之間的平均距離。這是一個美麗的設(shè)想，可惜大自然并沒有采用。

數(shù)學(xué)是宇宙的秘密嗎？開普勒對此深信不疑，畢達哥拉斯學(xué)派亦是如此——據(jù)說畢達哥拉斯在發(fā)現(xiàn)音樂的和諧遵循數(shù)學(xué)定律后說出了那句“萬物皆數(shù)”。這是一個貫穿整個數(shù)學(xué)發(fā)展歷程的主題。如今我們已很少談?wù)撨@個話題，因為我們不想把自己視為神秘主義者。但它依然存在。人們認為某些理論之所以優(yōu)美（比如超對稱就是量子理論極為優(yōu)雅的概括），或許是因為這種美感本身就蘊含著某種啟示。這種啟示無疑對愛因斯坦最有效：最美的相對論版本最終被證明是最好的。數(shù)學(xué)之美與真理之間存在著復(fù)雜的關(guān)系。美能指引我們發(fā)現(xiàn)真理嗎？遺憾的是，并非總能如愿。但有時可以。

BLVR：在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域，人們往往強調(diào)優(yōu)雅（elegance），而優(yōu)雅或多或少等同于簡潔（simplicity）。只要人們繼續(xù)把美和簡潔聯(lián)系在一起，并始終渴望簡潔能夠?qū)?yīng)事物的根本，那么我認為美依然會是探尋真理的指路明燈。審美意識在數(shù)學(xué)直覺中占據(jù)重要地位，或許我們需要些許拋棄已有的認知才能習(xí)得。

SS：讓我們再來說說開普勒。與前人一樣，開普勒認為行星的運行軌跡應(yīng)該是一個圓，因為圓形是最簡單、最完美的形狀。時至今日，人們?nèi)匀粚A形視為完美和永恒的象征。我們選擇圓形作為結(jié)婚戒指并非偶然——“我愛你直到永遠”正如“圓永無止境”。然而，當(dāng)我們真正觀察行星的運動時，會發(fā)現(xiàn)它們并非嚴格地沿著圓形軌道運行。但另一方面，它們的軌道又非常接近圓形。因此，開普勒像托勒密和其他先賢一樣，試圖找到一種方法解釋這一點——這在古代天文學(xué)中被稱為“拯救表象”（saving the appearances）。

BLVR：真理就是近似于美。

SS：最后證明，行星運行軌道并不是圓形，而是橢圓。它與圓形非常相似。想象一下，你以一個圓形為底，像飲水機旁的紙杯那樣不斷擴展，就能形成一個圓錐。然后你以一個傾斜的角度切割紙杯，得到的截面便是橢圓形?？梢姡瑘A錐從圓形而來，而橢圓則來自切割圓錐。這個純幾何學(xué)中的簡單形狀竟然揭示了行星圍繞太陽的運行軌跡——這就是著名的開普勒第一定律。觀測數(shù)據(jù)與理論完美契合，開普勒是對的！他認為上帝會運用幾何學(xué)的偏見似乎得到了印證。而且，這個答案如此簡單。

另一個同樣簡單的“真理”是伽利略的發(fā)現(xiàn)：物體在空中拋擲后的軌跡呈拋物線形狀?！暗懒x上”來說[6]，籃球的投籃軌跡也呈拋物線狀。然而，由于惱人的空氣阻力，實際情況并非如此。因此，現(xiàn)實世界……總是近似于美。這也引出一個問題：我們應(yīng)該關(guān)注真實發(fā)生的現(xiàn)象，還是沉浸在柏拉圖式的理想世界中，探究事物“本應(yīng)如此”的狀態(tài)？如果盲目地追求真理，反而可能無法洞察那些隱藏在些許“謊言”下的更深層原理。完美的拋物線弧線就是一種“謊言”。伽利略常常選擇這種“謊言”；他選擇看到事物的理想狀態(tài)。

這與藝術(shù)有很多共通之處。我非常喜歡畢加索的一句名言：“藝術(shù)是一種謊言，教我們理解真理?！蔽矣X得很多偉大的科學(xué)家心中都有這種沖動。為了探尋更深層次的真理，他們會忽略一些不便利的因素。然而，這種做法也存在巨大的風(fēng)險，因為有可能會被認為是不誠實（intellectually dishonest）。

BLVR：兩千年來，人們不斷探索各種問題的解決方法，而這些方法都隱約暗示著微積分之類的數(shù)學(xué)應(yīng)該被形式化。隨后，牛頓橫空出世，他準備融匯前人的思想，成為那位偉大的集大成者。

SS：關(guān)于牛頓，實際上還有一些不太清楚的地方。我們應(yīng)該視他為劃時代的革命者，還是“站在巨人的肩膀上”的集大成者？事實上，兩者皆是。最初了解他時，我曾認為人們對他的評價過高，但隨著研究的深入，我逐漸認識到，牛頓確實應(yīng)當(dāng)與歷史上那些最偉大的人物齊名——但更多是因為他運用數(shù)學(xué)深刻影響了我們思考其他學(xué)科的方式，尤其是物理學(xué)和天文學(xué)。牛頓讓我們看到：自然是有邏輯的。而在他之前，我們對此一無所知。但人們通常不這樣表述，大多數(shù)人會說：“他發(fā)現(xiàn)了運動定律?！?牛頓為當(dāng)時已知的所有地球和天體運動提供了一致的解釋，即其著作《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》第三卷中所提出的“世界體系”（The System of the World），其中還包括潮汐、彗星等傳統(tǒng)上不被提及的自然現(xiàn)象。人們常說“他發(fā)明了微積分”，但這種說法并不準確。牛頓的確將所有前人已知的知識系統(tǒng)地整合起來，形成一個成體系的系統(tǒng)，一套如今已高度精簡和完善的算法，甚至可以教授給普通高中生?；蛟S牛頓成就最有力的證明就是：他將微積分變得非常機械化，人們甚至不需要理解就能進行運算。遺憾的是，這恰恰是許多學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的常態(tài)。

拉普拉斯妖和心智景觀

BLVR：微積分的應(yīng)用顯然極其廣泛。但正如你在書中提到的，它也存在一定的局限性。更確切地說，微積分在預(yù)測時所依賴的決定論并非總能成立。你使用了一個源自拉普拉斯[7]的思想實驗說明這一點，你能否展開談?wù)劊瑸槭裁础袄绽寡保↙aplace’s Demon）掌控的“機械宇宙”（Clockwork Universe）[8]無法成立？為什么它的不成立意味著決定論乃至微積分的局限性？

SS：在 20 世紀 70 至 80 年代混沌理論興起之前，曾有這樣一種普遍看法：如果一個系統(tǒng)是決定性的（也就是說，其運行規(guī)則中絲毫不含偶然或隨機的成分），那么它就像一部電影，只要被重放，情節(jié)總會分毫不差地重演一遍。人們相信，任何遵循決定論的系統(tǒng)都是可預(yù)測的……至少在理論上是這樣。因此，只要你能準確測量宇宙中所有粒子初始時的位置和運動速度，牛頓定律就能推斷出它們此后每時每刻的運動軌跡。所謂的“拉普拉斯妖”，便是這樣一個擁有無窮智慧的假想生靈，它能洞悉每一個粒子的確切位置與速度，并據(jù)此計算出整個宇宙的未來——從歷史進程到我們每一個人的情感波動，包羅萬象。

拉普拉斯妖主宰著一個遵循牛頓定律的決定論機械宇宙，這種思想實驗展現(xiàn)的圖景本身就令人不安。出于種種原因，如今我們已不再相信這種設(shè)想了?，F(xiàn)代觀點認為，“量子力學(xué)已取代牛頓定律，成為物理學(xué)的主要定律?！比欢?，即便是在一個完全遵循經(jīng)典牛頓定律的宇宙中，人們也無法對任意遙遠的未來做出預(yù)測。你只能將測量結(jié)果精確到一定的位數(shù)。傳統(tǒng)上，人們認為，只要測量得足夠精確，就能預(yù)測出超越宇宙年齡的未來。因此，在實踐中，人們應(yīng)該能通過不斷提高初始條件的測量精度來改善預(yù)測的準確性。然而，實際情況并非如此，尤其是在20世紀70年代混沌理論問世之后。我們了解到，即使是這些簡單的力學(xué)系統(tǒng)，初始條件測量中的微小誤差也會呈指數(shù)級增長，導(dǎo)致短時間內(nèi)預(yù)測結(jié)果嚴重偏離實際，我們稱這種現(xiàn)象為“混沌”（Chaos）。這就是難以提前多日預(yù)測天氣的原因，而理論上，人類根本無法預(yù)測數(shù)周后的天氣。

BLVR：這里有一個關(guān)于數(shù)學(xué)形式主義的問題，最近我常常拿這個問題“伏擊”朋友，給我?guī)砹瞬簧贅啡?。我的問題是：在心智景觀（Mindscape）中是否存在一個隱秘角落，其中命題“P”與“非P”可以同時為真？

SS：我明白了——也就是說，我們談?wù)摰氖且粋€不遵循“排中律”（Excluded middle）[9]的宇宙。

BLVR：對，這正是我朋友當(dāng)時的看法，也是我期待你能提到的。心智景觀就是由各種思想構(gòu)成的抽象宇宙。思想相同的兩個人可能會在心智景觀中占據(jù)同一個位置，就像物理世界里兩個人可以身處同一個地方。所以，任何你能構(gòu)想出的事物都存在于心智景觀。關(guān)于數(shù)學(xué)有一個不為人知的小秘密：人們可以隨意構(gòu)建任何想要的系統(tǒng)，而這個系統(tǒng)并非一定要對應(yīng)真實世界。

SS：這是不是說沒什么規(guī)則可循？我原本以為，數(shù)學(xué)擁有一套明確的規(guī)則。我們必須就具體的邏輯規(guī)則達成共識，同時受限于這些規(guī)則。

BLVR：至于這種數(shù)學(xué)系統(tǒng)所描述的某個宇宙是否存在，那就是另一個問題了，對吧？

SS：是的，確實是不同的問題。一個問題是，我們想象出來的數(shù)學(xué)“樂園”是否對應(yīng)真實世界。但還有另一個更一般的問題，聽起來似乎是你想問的：“我們能否有其他類型的數(shù)學(xué)？甚至其他類型的邏輯？”這時先不要管真實世界如何。

BLVR：你提到“真實”（real）一詞很有意思。剛才那個問題背后還有一個更深層的問題：數(shù)學(xué)定律是真實存在的嗎？還是說，它們之所以真實，僅僅是因為它們所描述的對象（也就是真實世界）是真實的？那么，數(shù)學(xué)對象呢？那些理想、完美的對象，它們也是真實存在的嗎？

SS：很難用“真實”這個詞來形容它們。這里還涉及不同世界的問題。羅杰·彭羅斯在其著作《通往實在之路》（The Road to Reality）中提到，存在三個世界：數(shù)學(xué)世界、心智中的思想世界，以及物理對象構(gòu)成的“真實”世界。我不太習(xí)慣這種三分法。通常我認為只有兩個世界：柏拉圖的理念世界和物質(zhì)世界。不過，很有意思的一點是，彭羅斯將心智產(chǎn)生的思想和數(shù)學(xué)概念區(qū)分開來。我的理解是，他認為數(shù)學(xué)概念獨立于人的心智存在，但又不像 π 那樣存在于“真實”世界；π是一個真實的……說實話，我也不太理解他的意思。但某種程度上，我又能理解彭羅斯。作為數(shù)學(xué)家，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)一個公式，或者揭示出某些數(shù)學(xué)對象之間的關(guān)系時，那種感覺就像是發(fā)現(xiàn)了已經(jīng)存在的事物。這與肖邦創(chuàng)作《夜曲》不同，我不知道肖邦本人會不會這樣想：“那些《夜曲》早就在那里了，是我發(fā)現(xiàn)了它們?！彪m然米開朗基羅也曾說過，他只是“把雕像從石頭中釋放出來”，但它們確實是被創(chuàng)造出來的。那么，微積分基本定理是否曾等著我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)？圓周率的概念呢？圓的面積公式呢？給我們的感覺是，它們好像本來就在那里。但問題是——在哪里？

BLVR：探討數(shù)學(xué)概念是否是物理實在的自然體現(xiàn)，還有一個論點是基于它們的預(yù)測能力。比如，宇宙中有些現(xiàn)象確實表現(xiàn)出類似e的規(guī)律。我們在數(shù)學(xué)上把e定義為當(dāng) n 趨于無窮大時，(1+1/n)n 的極限。你把細菌放進培養(yǎng)皿，它們也會以指數(shù)方式增長；與此同時，你可以構(gòu)造出一個像e一樣無限不循環(huán)的數(shù)字，但它與真實世界毫無關(guān)系。換句話說，宇宙似乎“并不知道”這個假想數(shù)字。但不知何故，宇宙似乎“知道”e。

SS：這其實是我整本書想傳達的觀點。很多人不喜歡費曼的那句名言：“你必須學(xué)微積分，因為微積分是上帝的語言?！钡@么說并非沒有道理。我們現(xiàn)在了解宇宙萬象，最好的工具就是微積分。無論是水流的運動、空氣的流動、熱量的傳導(dǎo)、電磁現(xiàn)象還是量子力學(xué)，本質(zhì)上都要靠微積分來描述。如果要讓人們說出費曼那樣的話，很多人可能會說“數(shù)學(xué)是宇宙的語言”。但更準確地說，微分方程才是宇宙的語言。宇宙的“語言”并不是那些抽象的代數(shù)拓撲，而是由微積分里的各種符號（使用微分算子和積分算子）書寫。從原子到星系，所有我們研究過的領(lǐng)域，背后都有微積分的影子。有些熟悉量子力學(xué)的人可能會提到最深層的“路徑積分”，但說到底，它也是一種“積分”，所以它還是微積分！

BLVR：關(guān)于“數(shù)學(xué)對象到底是不是真實存在”的問題，其實還可以擴展到那些理想化的模型上。只有將微積分工具巧妙地應(yīng)用到某些實際模型中，才真正體現(xiàn)出它們的價值。我想我們可以圍繞你以前研究過的一個模型來聊聊——我在閱讀你的作品時對它產(chǎn)生了興趣。不過，在這之前我有個問題想問你：為什么人們應(yīng)該對模型持懷疑態(tài)度？

SS：你不妨先描述一下這個模型，看起來你對它還記憶猶新。

BLVR：這個問題是：能否在一個社會中鼓勵政治溫和的立場？為探究這一問題，你構(gòu)建了一個極其簡化的模型，將一個匿名社群劃分為四組群體：其中一組持主流世界觀 B；兩組持反叛世界觀A——其中一組由“狂熱分子”構(gòu)成（指其成員固守己見、絕不改變立場）；最后一組是溫和派，其觀點融合了A與B，因此以AB表示。你通過一系列微分方程，來描述這些群體的規(guī)模如何隨時間發(fā)生變化。

SS：我和合作者是這樣設(shè)想的：持不同觀點的人相遇后，其中一方說服另一方“改變立場”，并可能在一定概率下成功。我們沒有探討任何細節(jié)，如你所說，這是一個高度簡化的模型。

BLVR：結(jié)果相當(dāng)悲觀。你們嘗試從多個角度調(diào)整模型，希望長期鼓勵溫和立場，卻幾乎沒有任何效果。唯一有效的方法是引入一種獨立于人際互動之外的外部調(diào)節(jié)力量。

SS：這股外部力量可以是來自權(quán)威機構(gòu)自上而下的干預(yù)，也可能是某種共同經(jīng)歷的外部事件，比如你在節(jié)目外提到的“9·11事件”。人類文明伊始，統(tǒng)治者們就明白，塑造一個共同的敵人是最有效的社會凝聚手段?！?984》中的大洋國[10]不正是長期處于戰(zhàn)爭狀態(tài)嗎？不過，整個討論的關(guān)鍵是：數(shù)學(xué)模型對于任何重要事物是否可靠。將微積分應(yīng)用到人類事務(wù)中其實非常棘手，因為我們沒有像描述物理世界的牛頓定律或電磁現(xiàn)象的麥克斯韋方程組那樣能夠準確描述人類行為的法則。無論在個體層面還是群體層面，我們都無法預(yù)測人類的行為，而它在理論上是否可行是真正的哲學(xué)問題。我們現(xiàn)在不過是在“玩游戲”。

從另一個角度看，這類“游戲”之所以有趣，是因為它們讓我們意識到人類知識的局限性，從而保持一種謙遜的態(tài)度——我們對人類行為或社會到底了解多少？這些模型本身常常會展現(xiàn)出令人意想不到的行為特征，比如在那個關(guān)于“溫和派”的小模型中，我們發(fā)現(xiàn)，讓溫和派變得更加頑固，非但沒有促進溫和，反而更容易讓狂熱分子占據(jù)主導(dǎo)地位。這給了我們一個深刻的教訓(xùn)：你以為自己能知道事態(tài)發(fā)展，但即使在這樣一個刻意簡化的“宇宙”里，也很難做出準確預(yù)測。經(jīng)驗告訴我們，當(dāng)我們聲稱某種社會干預(yù)會產(chǎn)生這樣或那樣的效果時，往往并不準確。但這么說好像是虛無主義，太悲觀、太消極了。你總是要做些事情，對吧？或者……我也不知道該怎么說。

BLVR：我們希望在理論上能夠準確預(yù)測。但拉普拉斯妖的例子已經(jīng)告訴我們，這并不現(xiàn)實。我們可以做到某種程度的預(yù)測，比如天氣預(yù)報。實際上對于社會進步這樣復(fù)雜的事物，我們的預(yù)測能力也可能只在某個特定界限內(nèi)有效。我們越接近那個界限，就越能做出正確的決策。但界限始終存在，而人類事務(wù)又太復(fù)雜、太混亂，所以我們也許永遠都無法做出最好決策，甚至連稍好的決策都難以實現(xiàn)。這種無力感，確實讓人沮喪。

SS：行為經(jīng)濟學(xué)中有一些看似簡單卻行之有效的原則。以目前美國器官捐贈為例，如果你在車禍中不幸身亡，你需要在生前明確表示愿意捐獻器官，并進行登記，才會成為器官捐獻者。默認情況下，你不是器官捐獻者，但并非必須如此。理查德·塞勒（Richard Thaler）[11]提出了“助推”（nudge）理論，展示了另一種可能性。該理論利用了人類行為中的惰性：大部分人傾向于維持默認設(shè)置，所以如果我們把“捐獻”設(shè)為默認，人們就更可能成為捐獻者。這個例子借助對人類行為的些許洞察，做了一件好事。這將是未來研究的方向。數(shù)學(xué)與社會科學(xué)的交叉點在哪里？“軟科學(xué)”是最難攻克的領(lǐng)域，它們是最后被數(shù)學(xué)化的學(xué)科，又或許永遠無法被真正數(shù)學(xué)化。而在那些“硬科學(xué)”領(lǐng)域，我們已經(jīng)取得了長足進展。數(shù)學(xué)非常適合這些學(xué)科，正因為如此，它們反而變得“容易”。

斯托加茨的科普貢獻：

著有《同步》（Sync: How Order Emerges from Chaos in the Universe, Nature, and Daily Life，2003）、《微積分的人生哲學(xué)》（The Calculus of Friendship: What a Teacher and a Student Learned about Life while Corresponding about Math，2009）、《X的奇幻之旅》（The Joy of x: A Guided Tour of Math, from One to Infinity，2012）等著作，在《紐約時報》上開設(shè)了風(fēng)趣親切的數(shù)學(xué)專欄，斯托加茨極大化解了公眾對數(shù)學(xué)揮之不去的抵觸情緒，在這方面，他所付出的努力鮮有人能及。

斯托加茨對數(shù)學(xué)傳播的熱情和投入還體現(xiàn)在教學(xué)風(fēng)格中：注重直覺、實際應(yīng)用與真實案例，自然而然地激發(fā)學(xué)生們的想象力。

憑借這些貢獻，斯托加茨博士獲得了無數(shù)榮譽。其中包括美國數(shù)學(xué)協(xié)會（MAA）頒發(fā)的歐拉圖書獎（Euler Book Prize）、美國科學(xué)促進會（AAAS）的公眾科學(xué)參與獎（Science Award）、劉易斯·托馬斯科學(xué)寫作獎（Lewis Thomas Prize），還有被選為劍橋大學(xué)勞斯·鮑爾（Rouse Ball）數(shù)學(xué)講座和麻省理工學(xué)院西蒙斯（Simons）數(shù)學(xué)講座講師的殊榮。他目前主持著 Quanta 雜志的 The Joy of x 播客。

注釋

[1]動力系統(tǒng)指的是用函數(shù)描述空間中某點隨時間變化的一種系統(tǒng)。經(jīng)典例子包括鐘擺的擺動、液體在管道中的流動以及人口增長。在某些動力系統(tǒng)中，可能會出現(xiàn)看似隨機的行為，這種現(xiàn)象被稱為“混沌”，研究這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支就是“混沌理論”。

[2]復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論研究的是真實世界中以圖（graph）形式表示的系統(tǒng)，比如 Facebook 上的好友關(guān)系或大腦中的神經(jīng)連接網(wǎng)絡(luò)。

[3]《小世界網(wǎng)絡(luò)的集體動力學(xué)》是 Steven Strogatz 與 Duncan J. Watts 合著的一篇論文，也是有史以來被引用次數(shù)第六高的物理學(xué)論文。該論文為“六度分隔”這一大眾熟知的概念提供了數(shù)學(xué)論證。他們提出了“小世界網(wǎng)絡(luò)”這一網(wǎng)絡(luò)類別，并被廣泛應(yīng)用于社會運動、南加州的地震監(jiān)測站網(wǎng)絡(luò)，以及大型數(shù)據(jù)庫中的信息可用性研究。其中最著名的小世界網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造方法就是“沃茨–斯特羅加茨模型（Watts-Strogatz Model）”。

[4] 十二面體是一種由十二個五邊形面組成的多面體。

[5] 二十面體是一種由二十個三角形面組成的多面體。

[6]數(shù)學(xué)家常說某個命題在“道義上成立”（morally），意思是他們根據(jù)自己對數(shù)學(xué)美感的直覺，相信這個命題“應(yīng)該是真的”。

[7]皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）是法國著名的博學(xué)家（polymath），活躍于18世紀下半葉至19世紀上半葉。他不僅奠定了貝葉斯概率的理論基礎(chǔ)，還發(fā)明了在現(xiàn)代統(tǒng)計物理中廣泛使用的拉普拉斯變換。此外，他在天體力學(xué)方面也有重要貢獻。曾有一次，為了讓拉普拉斯難堪，拿破侖請他展示其太陽系模型，并質(zhì)問道：“你在書中真的沒有提到上帝嗎？”拉普拉斯回答：“我不需要那個假設(shè)?！?/p>

[8]“機械宇宙”（Clockwork Universe）一詞，特別是啟蒙時代的一些自然神論者用其描述這樣一種宇宙觀：宇宙如同一座機械鐘表，由物理定律精密控制，可預(yù)測地運轉(zhuǎn)。這個概念也被稱為“牛頓宇宙”。在這樣的宇宙觀中，如果存在一個掌握所有粒子的位置、速度和受力的“拉普拉斯妖”，那么它就能預(yù)測宇宙在任意未來時刻的狀態(tài)，因為每個粒子的個體狀態(tài)都將根據(jù)物理定律可預(yù)測地演化。

[9]排中律是邏輯學(xué)中的三大基本定律之一，它指出：一個命題要么是真的，要么其否定是真的。其他兩個分別是：矛盾律（相互矛盾的命題不能同時為真）和同一律（每個事物都與自身同一）。這里我想問，實際上是否可以設(shè)想一個不遵守排中律的宇宙。

[10]大洋國是喬治·奧威爾小說《1984》中的三個虛構(gòu)的超級國家之一。在小說設(shè)定中，這些國家始終處于戰(zhàn)爭狀態(tài)，以此消耗失控的資本主義不斷產(chǎn)生的過剩供給。

[11] 理查德·塞勒（Richard Thaler）是芝加哥大學(xué)布斯商學(xué)院的行為經(jīng)濟學(xué)家，他因?qū)⑿睦韺W(xué)納入個體決策的經(jīng)濟分析而獲得了 2017 年諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。此處引用的是他的著作《助推》（Nudge: Improving Decisions About Health, Wealth, and Happiness），書中提出，組織可以通過“助推”（Nudge）策略優(yōu)化政策設(shè)計，讓成員更容易做出好決策，更難做出壞決策。一個典型的例子是將器官捐贈設(shè)為“默認捐獻”，指除非一個人在生前明確拒絕捐獻器官，否則在死后會被默認為器官捐獻者。

采訪者簡介

Prashanth Ramakrishna是一位作家、研究員和學(xué)生。他在紐約大學(xué)攻讀應(yīng)用數(shù)學(xué)和網(wǎng)絡(luò)安全專業(yè)，研究課題包括分析青春期大鼠的睡眠周期，以及設(shè)計規(guī)則隨游戲進程演變的變體國際象棋等。除了沉浸于符號的世界，他還熱衷于有趣的對話。

本文已獲得作者授權(quán)翻譯并發(fā)表于《返樸》。原文譯自Prashanth Ramakrishna, An Interview with Steven Strogatz.

https://www.thebeliever.net/logger/an-interview-with-steven-strogatz/

“返樸書店”所有圖書皆可開具發(fā)票，在所購圖書詳情介紹頁點擊左下角“聯(lián)系店家”，留言提供相關(guān)開票信息及接收發(fā)票的郵箱。