上帝指紋
統(tǒng)治世界？
春節(jié)假期綜合征還沒(méi)有緩過(guò)來(lái)，清明三天假又結(jié)束了！
實(shí)不相瞞，超模君想鴿的心蠢蠢欲動(dòng)，費(fèi)了好大勁才摁??！為了不鴿，連夜翻了個(gè)墻，明明剛開(kāi)始還在認(rèn)認(rèn)真真看論文，等超模君回過(guò)神已經(jīng)到了油管。
來(lái)都來(lái)了，不逛逛實(shí)在是不合理！結(jié)果這一逛，還真讓超模君發(fā)現(xiàn)了好東西。
先問(wèn)個(gè)問(wèn)題，要是有人告訴你人口的繁衍、水龍頭的滴水速度、大腦神經(jīng)元的活動(dòng)和熱對(duì)流等等都可以由一個(gè)簡(jiǎn)單的方程式連接，你會(huì)不會(huì)覺(jué)得他瘋了？
但是數(shù)學(xué)真的比小說(shuō)更神奇！下面的內(nèi)容小學(xué)生都能看懂，你可不要半路跑了??！
種群繁衍
兔子是小學(xué)生做數(shù)學(xué)題的好朋友，今天我們?cè)傩量嘁幌滤∠饶盟_(kāi)個(gè)路：
假如對(duì)兔子種群進(jìn)行建模，設(shè)明年的兔子數(shù)量為X???，而今年的兔子數(shù)量為X?，可以列出一個(gè)簡(jiǎn)單的公 式：
X???=rX?
但有一個(gè)問(wèn)題，兔子的數(shù)量不可能永遠(yuǎn)成倍增長(zhǎng)，它受到一定的約束，所以我們需要在方程式中添加（1-X）項(xiàng)以表示環(huán)境的約束。
在這里，我們想象X是理論上最大種群數(shù)量的百分比，于是公式就變成了：
X???=rX?（1-X?）
X?是介于0和1之間的數(shù)，表示在第n年的物種數(shù)目。 r是正整數(shù)，是根據(jù)繁殖和餓死率而得出的數(shù) 。
這是單峰映射（logistic map），如果用X???對(duì)X?繪制圖，則會(huì)得到下圖。圖真的在動(dòng)~
?
在此圖中，使用t代替n
資料來(lái)源：Wikimedia Commons
當(dāng)把這個(gè)圖更細(xì)致化后：
我們拆解來(lái)看：
首先，當(dāng)r小于1時(shí)，平衡總體保持為0。但是，當(dāng)r大于1時(shí)，平衡總體不斷增加。
單值均衡人口
并且，r超過(guò)3時(shí)會(huì)發(fā)生一些有趣的事情：
當(dāng)我們保持r = 3.4時(shí)，平衡總體保持在0.84和0.51之間波動(dòng)。在那之后，如果永遠(yuǎn)不穩(wěn)定到一個(gè)恒定值，它就會(huì)在兩個(gè)值之間來(lái)回振蕩。一年數(shù)量增加，第二年數(shù)量減少，再一年又增加......
隨著時(shí)間的流逝，均衡總體將分為4個(gè)值，種群在4年周期后重復(fù)。
均衡種群的值在兩個(gè)值之間不斷波動(dòng)
簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)：
令r為3.4，起始數(shù)量X?為0.3（最大種群數(shù)量的30％）。經(jīng)過(guò)計(jì)算，我們得到0.714，因此第一年數(shù)量從0.3增加到0.714，這是一個(gè)巨大的增長(zhǎng)。但是，如果我們將0.714作為今年的數(shù)量（X?），則明年的數(shù)量將是0.694。同樣，第二年將是0.722，.......
幾年后，種群數(shù)量一直保持在0.451和0.842之間波動(dòng)。除此之外，它并沒(méi)有真正改變。
當(dāng)增長(zhǎng)率為2或接近2時(shí)，種群數(shù)量幾乎保持不變。由于“孩子”會(huì)需要一定時(shí)間取代父母，所以在一定時(shí)間后數(shù)量幾乎變得恒定。
比如：
我們可以看到，幾年之后，它不會(huì)增加或者減少很多，幾乎固定為0.57，即最大可能數(shù)量的57%，種群數(shù)量達(dá)到平衡。
由于周期的長(zhǎng)度增加了一倍，因此稱為周期倍增分叉。隨著r的增加，將導(dǎo)致周期為8、16、32，而當(dāng)r達(dá)到約3.57時(shí)，則是完全混亂。這樣，種群數(shù)量根本就不會(huì)穩(wěn)定下來(lái)。
均衡人口價(jià)值的混亂
人口只是變得隨機(jī)。它是如此隨機(jī)，以至于這是在計(jì)算機(jī)中生成隨機(jī)數(shù)的主要方法之一。這樣，確定性機(jī)器給出了不可預(yù)測(cè)的答案。盡管沒(méi)有重復(fù)，但是如果你知道初始值，則可以計(jì)算給定值。因此，它實(shí)際上是偽隨機(jī)的。
但當(dāng)r = 3.83時(shí)，附近的圖形呈現(xiàn)“退回”趨勢(shì)，數(shù)量在3年后再次出現(xiàn)，周期為3年。隨著r越來(lái)越大，周期分裂成6、12、24，然后又變得混亂。
物流分叉圖
資料來(lái)源：Wikimedia Commons
現(xiàn)在，即使我們更改了初始種群，遲早還是會(huì)達(dá)到平衡，平衡數(shù)僅取決于r的值。如果r較低，則平衡總體將降低；如果r小于1，則總體早晚將變?yōu)?。
你可能在想，它看起來(lái)像是一個(gè)分形。
分形，具有以非整數(shù)維形式充填空間的形態(tài)特征。通常被定義為“一個(gè)粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數(shù)個(gè)部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小后的形狀”，即具有自相似的性質(zhì)。
事實(shí)上確實(shí)如此。
最著名的分形可能就是被稱為“上帝指紋”的曼德布羅集。
Mandelbrot集
資料來(lái)源：Wikimedia Commons
而上面的那些“分叉圖”確實(shí)也是曼德布羅集的一部分。
曼德布羅集合（Mandelbrot set）是一種在復(fù)平面上組成分形的點(diǎn)的集合，以數(shù)學(xué)家本華·曼德博的名字命名。曼德博集合與朱利亞集合有些相似的地方，例如使用相同的復(fù)二次多項(xiàng)式來(lái)進(jìn)行迭代。
曼德布羅集
曼德布羅集基于簡(jiǎn)單的等式：Z???=Z?2+ C
選擇一個(gè)C，在復(fù)平面上的任意數(shù)字，然后從Z? = 0開(kāi)始計(jì)算Z???，一次又一次地迭代此方程…………
如果數(shù)字爆炸到無(wú)窮大，則該數(shù)字（我們假設(shè)為C）不屬于曼德布羅集。但是，如果該數(shù)目在無(wú)限次迭代后仍然有限，則它是曼德布羅集的一部分。
舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子：
如果C = -1，則在第一次迭代后，Z??? = -1。在第二次迭代之后，Z??? = 0。在第三次迭代之后，Z 1＝ -1。在第四次迭代之后，Z??? = 0再次。Z???的值在-1和0之間振蕩。因此，-1是曼德布羅集的一部分。
同理，如果C＝ 3，則在第一次迭代之后，Z＝ 3。在第二次迭代之后，Z???＝ 12。在第三次迭代之后，Z???＝ 147。無(wú)限次迭代后，Z???將為無(wú)窮大。因此，3不會(huì)成為曼德布羅集的一部分。
曼德布羅集的圖片僅顯示了導(dǎo)致迭代方程爆炸的數(shù)字與導(dǎo)致迭代方程爆炸的數(shù)字之間的邊界。曼德布羅集沒(méi)有顯示的是這些方程如何保持有限。因此，當(dāng)?shù)藬?shù)千次方程，并在迭代實(shí)際用到的z軸上進(jìn)行了繪制。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，曼德布羅集的側(cè)視圖實(shí)際上是分叉圖。
分叉圖的混沌部分發(fā)生在曼德?tīng)柌剂_特針組的針上
就問(wèn)你嚇著了沒(méi)有？！
這個(gè)方程式（它不僅是一個(gè)方程，它是分叉圖和費(fèi)根鮑姆常數(shù)），就這樣決定了一個(gè)物種的種群，特別是在實(shí)驗(yàn)室條件下。不僅如此，該等式還適用于各種不同的科學(xué)領(lǐng)域，并且通常那些科學(xué)領(lǐng)域是彼此無(wú)關(guān)的。
Albert J. Libchaber在流體動(dòng)力學(xué)方面的工作首先證實(shí)了這一方程。他的實(shí)驗(yàn)包括一個(gè)內(nèi)部裝有汞的矩形小盒子。然后，他使用一個(gè)小的溫度梯度來(lái)引發(fā)對(duì)流，僅在盒子內(nèi)部有兩個(gè)反向旋轉(zhuǎn)的圓柱體。他在名為“汞的周期加倍級(jí)聯(lián)，一種定量測(cè)量”的論文中發(fā)表了他的發(fā)現(xiàn)。
“ Libchaber使用一個(gè)簡(jiǎn)單的筆式繪圖儀來(lái)記錄溫度，該溫度由嵌入頂表面的探針測(cè)量。在第一次分叉后的平衡運(yùn)動(dòng)中，任一點(diǎn)的溫度或多或少保持穩(wěn)定，并且筆記錄一條直線。隨著更多的加熱，更多的不穩(wěn)定性開(kāi)始出現(xiàn)。每個(gè)輥上都會(huì)出現(xiàn)一個(gè)扭結(jié)，扭結(jié)穩(wěn)定地來(lái)回移動(dòng)。此擺動(dòng)顯示為溫度變化，在兩個(gè)值之間上下波動(dòng)。現(xiàn)在，筆在紙上畫出一條波浪線。”
Libchaber用盒子頂部的探針測(cè)量了內(nèi)部流體的溫度。他看到溫度周期性升高。這類似于邏輯方程收斂到單個(gè)值時(shí)。但是隨后，隨著溫度升高，可以在那些滾動(dòng)汽缸上以原始頻率的一半看到擺動(dòng)。溫度峰值也在兩個(gè)不同的高度之間來(lái)回移動(dòng)。他不斷提高溫度，一次又一次看到周期翻倍。
Libchaber的測(cè)試結(jié)果
資料來(lái)源：汞的倍增級(jí)聯(lián)，定量測(cè)量
不僅如此，在許多其他實(shí)驗(yàn)中都可以看到周期倍增，例如我們的眼睛對(duì)閃爍的燈光的反應(yīng)。再比如生活中常見(jiàn)的水龍頭滴水，一開(kāi)始，也許你一次只能看到一個(gè)水滴。然后一次兩滴。然后是四個(gè)……你只需調(diào)節(jié)旋鈕，即可從滴水龍頭中獲得混亂的行為。
到了這一步，你有沒(méi)有覺(jué)得“分叉圖”有點(diǎn)恐怖的意味了？更恐怖的還在后邊！
物理學(xué)家Mitchen Feigenbaum將每個(gè)分叉部分的寬度除以下一個(gè)。這個(gè)比例接近于一個(gè)數(shù)字，是4.669。
數(shù)字4.669現(xiàn)在稱為費(fèi)根鮑姆常數(shù)。越到后面，分叉出現(xiàn)的越來(lái)越快，但比率始終接近此固定值4.669。
沒(méi)人知道這個(gè)常數(shù)怎么來(lái)的，因?yàn)樗魏我阎奈锢沓?shù)無(wú)關(guān)，所以它本身就是自然基本常數(shù)。更瘋狂的是，它不只出現(xiàn)在前面我給你看過(guò)的公式中，任何單駝峰的公式，如果你對(duì)它一次又一次地迭代，最終都會(huì)出現(xiàn)分叉。甚至這些分叉發(fā)生的比率將相同，為4.669。
這種普遍性確實(shí)令人驚訝，可是，這一切到底是為什么呢？為什么它會(huì)如此普遍？
在1976年，生物學(xué)家羅伯特·梅在《自然》雜志上寫了一篇關(guān)于這個(gè)特別公式的論文，人們對(duì)這個(gè)東西很興奮。在這篇論文中，他請(qǐng)求大家，要教導(dǎo)學(xué)生關(guān)于這個(gè)簡(jiǎn)單的公式，去發(fā)現(xiàn)簡(jiǎn)單的東西，簡(jiǎn)單的公式，可以引導(dǎo)出相當(dāng)復(fù)雜的表現(xiàn)。
在我們今天的課堂上，我們教簡(jiǎn)單的公式，簡(jiǎn)單的結(jié)果，因?yàn)檫@樣很簡(jiǎn)單，很有道理。也許我們應(yīng)該至少教一些，讓更多的人知曉費(fèi)根鮑姆常數(shù)，在這一領(lǐng)域進(jìn)行更多的研究，只有這樣，我們才能發(fā)揮其真正的力量，解開(kāi)這個(gè)“上帝的指紋”之謎。
怎么樣？是不是一點(diǎn)都不難，是不是覺(jué)得數(shù) 學(xué)好神奇？小學(xué)生絕對(duì)能看懂！
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