數(shù)論是純粹數(shù)學(xué)的分支之一，主要研究整數(shù)的性質(zhì)。而整數(shù)的基本元素是素?cái)?shù)（也稱質(zhì)數(shù)），所以數(shù)論的本質(zhì)是對素?cái)?shù)性質(zhì)的研究。數(shù)論被高斯譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的皇冠”。
哥德巴赫猜想、孿生素?cái)?shù)猜想、斐波那契數(shù)列、黎曼猜想，無比引領(lǐng)著數(shù)學(xué)大師們前仆后繼的去探索。
《證明的故事：從勾股定理到現(xiàn)代數(shù)學(xué)》
作者：[澳] 約翰·史迪威（John Stillwell）
譯者：程曉亮 張浩
自然數(shù) 0, 1, 2, 3, 4, …是最基本的數(shù)學(xué)對象，在某種程度上每個(gè)人都能理解。它們也是數(shù)學(xué)中最古老的未解之謎的主題。例如，是否存在奇完全數(shù)？是否存在無窮多對孿生素?cái)?shù)？然而，直到最近，數(shù)論還經(jīng)常被揶揄為“各種伎倆”，對大多數(shù)數(shù)學(xué)家來說，數(shù)論沒有什么用處，也無法引起他們的興趣。
近幾十年來，當(dāng)世界變得數(shù)字化，數(shù)字成為其命脈，需要加密的保護(hù)，而這最終依賴于數(shù)論時(shí)，人們的態(tài)度發(fā)生了改變。所以當(dāng)今的問題不是為數(shù)論辯解，而是理解它。
正如我們將在本章看到的，數(shù)論很難，因?yàn)樗淖C明方法幾乎涉及數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域，包括幾何、代數(shù)、微積分，還有一些我們還沒有討論過的領(lǐng)域，比如拓?fù)鋵W(xué)。這是令人驚訝的，因?yàn)閿?shù)論有極其簡單的要素：0、把一個(gè)自然數(shù)帶到下一個(gè)自然數(shù)的后繼函數(shù)，以及歸納法原理——從本質(zhì)上說，所有的自然數(shù)都源于 0，它們是通過反復(fù)對 0 應(yīng)用后繼函數(shù)得到的。
事實(shí)上，簡單的要素也可以創(chuàng)造出極端的復(fù)雜性，這就是為什么所有的數(shù)學(xué)資源都被用于助力數(shù)論。在本章中，我們將討論幾何、代數(shù)和微積分對數(shù)論中的證明的影響，以及反過來的情況，特別是針對代數(shù)的情況。之后，當(dāng)談到證明本身的數(shù)學(xué)研究時(shí)，我們將看到是什么使數(shù)論如此復(fù)雜。
01
數(shù)論中的幾何與微積分
我們現(xiàn)在已經(jīng)看到如何通過單位圓上的有理點(diǎn)來理解勾股數(shù)組，反過來又通過有理函數(shù)
得到圓的參數(shù)化。此外，我們已經(jīng)看到這些方程給出了一個(gè)變量替換，可以使關(guān)于 x 和的有理函數(shù)的積分有理化。
了解圓函數(shù)參數(shù)化圓的讀者或許想知道它與這個(gè)故事的關(guān)系。答案是參數(shù)t 和 θ 通過等式聯(lián)系起來。這可以從用于得到方程（*）的直線和圓的圖中看出，見圖 7.3。
一方面，我們知道
另一方面，根據(jù)正弦和余弦的定義，
那么，根據(jù)基本的幾何（等腰三角形、三角形的內(nèi)角和為 π ），我們發(fā)現(xiàn)角 OPR 為。因此，紅色直線的斜率 t 是 tan 。
雖然有理函數(shù)通常比超越函數(shù)（如正弦函數(shù)和余弦函數(shù)）更受歡迎，但當(dāng)我們遇到無法由有理函數(shù)參數(shù)化的曲線（如）時(shí)，后者是參數(shù)化的更好選擇。為了了解如何處理這些曲線，我們回顧一下圓和圓函數(shù)在微積分中的作用。
02
圓和其他曲線的微積分
如果是一條形如的曲線，這里的是一個(gè)多項(xiàng)式，那么有一個(gè)令人驚訝的簡單方法可以找到的參數(shù)化函數(shù)對。此外，如果，那么（f 的導(dǎo)數(shù)）。其想法是考慮積分
這樣做之后，顯然有，而且有
對于單位圓的情況，多項(xiàng)式，定義函數(shù)的積分是
通過替換，很容易看到這個(gè)積分是，所以，于是。最后，，于是我們得到參數(shù)化
這與由圓函數(shù)給出的通常的參數(shù)化是相同的，只不過 x 和 y 進(jìn)行了對換。
03
橢圓函數(shù)和橢圓曲線
上述參數(shù)化曲線的方法只能得到我們已知的圓的參數(shù)化。該方法為曲線提供了一些新的想法。我們知道這條曲線不存在有理函數(shù)參數(shù)化，所以函數(shù)和可能是有趣的。
事實(shí)上，積分是一個(gè)橢圓積分，正如第 6.9 節(jié)所提及的，函數(shù)和被稱為橢圓函數(shù)。事后來看，研究函數(shù)而不是其逆（積分）似乎是個(gè)好主意，因?yàn)檠芯空液瘮?shù)顯然比研究反正弦積分更容易。
然而，第一個(gè)關(guān)注橢圓函數(shù)而不是橢圓積分的數(shù)學(xué)家是高斯（大約在 1800 年，未發(fā)表），這是在法尼亞諾（Fagnano 1718）和歐拉（Euler，1751 年第一次看到法尼亞諾的成果）費(fèi)力地得到橢圓積分的一些性質(zhì)之后才發(fā)生的。橢圓函數(shù)的思想直到 19 世紀(jì) 20年代才被發(fā)表，當(dāng)時(shí)被阿貝爾（Abel）和雅可比（Jacobi）重新發(fā)現(xiàn)。
高斯發(fā)現(xiàn)積分
的反函數(shù)與正弦函數(shù)非常相似，以至于他稱其為雙紐線正弦函數(shù)。特別是，雙紐線正弦函數(shù)具有周期性：對于某個(gè)最小的數(shù)，有高斯之所以選擇字母 ，是因?yàn)樗窍ＥD字母 的變體。不僅如此，如果我們允許 u 是復(fù)數(shù)，那么 sl 有第二個(gè)周期。我們知道，對于代數(shù)曲線，允許 x 和 y 為復(fù)數(shù)是很自然的。
這種雙周期性也適用于其他橢圓函數(shù)（但不適用于正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，即使當(dāng)我們允許它們?yōu)閺?fù)變量時(shí)，它們?nèi)匀槐３謫沃芷冢?。這導(dǎo)致了對它們參數(shù)化的曲線的全新解釋，稱為橢圓曲線。
例如，下面展示了如何用笛卡兒方程來看待曲線。具有參數(shù)方程
所以上的每一點(diǎn) P 都由參數(shù) u 的值確定。但是，對任意整數(shù) m 和 n，由于（和）的周期性（具有相同周期），參數(shù)值確定的是相同的點(diǎn)。
這樣， 上的每一點(diǎn) P 對應(yīng)于復(fù)平面中的一個(gè)點(diǎn)集
我們可以從頂點(diǎn)為的正方形中選擇每個(gè)點(diǎn)集的一個(gè)代表元，在這種情況下，除了邊界上的點(diǎn)外，每個(gè)點(diǎn) P 在正方形中只有一個(gè)代表元。左右兩邊的點(diǎn)表示上的同一點(diǎn)，上下兩邊的點(diǎn)也表示上的同一點(diǎn)，因此，所有四個(gè)頂點(diǎn)都表示同一點(diǎn)。在圖 7.4 中，左圖的正方形是灰色的，左邊和右邊是藍(lán)色，上邊和下邊是紅色。
粗略地說（或從拓?fù)渖现v），復(fù)曲線是將正方形的同色邊粘貼的結(jié)果，也就是所謂的環(huán)面。因此，尋找曲線上有理點(diǎn)的過程不僅涉及幾何學(xué)和微積分，而且涉及拓?fù)鋵W(xué)。
《證明的故事：從勾股定理到現(xiàn)代數(shù)學(xué)》
作者：[澳] 約翰·史迪威（John Stillwell）
譯者：程曉亮 張浩
數(shù)學(xué)史泰斗、舊金山大學(xué)榮休教授，“肖夫內(nèi)獎(jiǎng)”獲得者，當(dāng)今世界最有影響力的數(shù)學(xué)家之一約翰·史迪威全新力作！
證明是數(shù)學(xué)思想中十分重要且極具開拓性的特征之一。沒有證明，就沒有真正的數(shù)學(xué)！
本書從古希臘幾何學(xué)時(shí)代講起，涵蓋代數(shù)、微積分、集合、數(shù)論、拓?fù)洹⑦壿嫷葞缀跞繑?shù)學(xué)分支中的證明故事，講述了證明的演變及其在數(shù)學(xué)中的重要作用和啟發(fā)意義。我們將看到歐幾里得、康托爾、哥德爾、圖靈等數(shù)學(xué)大師的精彩發(fā)現(xiàn)和發(fā)明。
本書不是教材，而是在講數(shù)學(xué)的歷史，更是在講數(shù)學(xué)思想的演變。
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