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如果你看看下面的表達式：

你可能會想知道，一直加下去會得到怎樣的結(jié)果。后面的數(shù)字不斷變小，直到它可以忽略不計。你可能想知道它是否仍然對總和有貢獻。

這個表達式被稱為 "調(diào)和級數(shù)"。N項調(diào)和級數(shù)的值是1到N倒數(shù)的和。

前五項（N=5）是：

那么，前100項、前1000項、前100萬項、前100億項是多少？它們是否收斂于一個值？

讓我們來計算這些：

N = 5 → 2.28333...
N = 10 → 2.92897...
N = 100 → 5.18738...
N = 1000 → 7.48547...
N = 1000000 → 16.69531...
N = 1000000000 → 21.30048...

由此可見，調(diào)和級數(shù)增長得非常慢，在10億次之后，只能達到21.3004，之后增長速度越來越慢。它實際上需要：

15092688622113788323693563264538101449859497項才能超過100。那么，它最終會去哪里？它是 "停 "在某個具體的值上，還是繼續(xù)增長？

讓我們看看其他級數(shù)是否會收斂到某個數(shù)值上。例如，讓我們看一下平方的倒數(shù)：

我且稱它為 "平方級數(shù)"，它其實沒有官方的名字。事實上，這個級數(shù)確實收斂，收斂到（π^2）/6（=1.644934）。

這被稱為 "巴塞爾問題"，它確立了萊昂哈德-歐拉在數(shù)學(xué)界的地位，因為他用非常簡潔的方法解決了這個問題。

你可能會對 "π"的出現(xiàn)感到驚訝。這里出現(xiàn)的π^2有很多 "原因"，沒有單一的答案。這更像是說水為什么是藍(lán)色的。水首先不是藍(lán)色的，天空是藍(lán)色的，這本身與你自己的眼睛有很大關(guān)系，也與復(fù)雜的電磁力和其他物理學(xué)有很大關(guān)系。

歸根結(jié)底，所有這些都與宇宙的真理相聯(lián)系，但有幾種方法可以將這些真理連結(jié)成一個解釋?；旧希粋€ "無限長的線 "的問題可以被轉(zhuǎn)換為一個 "無限大的圓 "的問題。雖然圓的長度和直徑變得無限大，但它們的比率保持不變：π。

“平方級數(shù)” ：

趨近于 "某數(shù) "的原因是相當(dāng)容易理解的，不需要借助于一些更復(fù)雜的力學(xué)。

我們看看另一個級數(shù)：

其中分母按照1，2，6，12，20，......的順序排列，即：

并注意兩個事實：

首先，它比平方級數(shù)大，因為平方級數(shù)的分母總是更大，所以倒數(shù)之和更小。
第二，你可以把這個級數(shù)改寫：

現(xiàn)在，只要消去這些項，你就會看到這個最終變成了2。

因此，通過結(jié)合上面的兩個事實，你可以確定 "平方級數(shù) "是比2小的正數(shù)。這意味著它（平方級數(shù)）收斂到比2小的數(shù)值上。

現(xiàn)在，讓我們在調(diào)和級數(shù)上嘗試同樣的方法。我們先把它改寫為：

括號內(nèi)的每項都大于等于1/2。所以，整個級數(shù)比（1/2）n要大，當(dāng)n無窮大時，級數(shù)也是無窮大的。

由于調(diào)和級數(shù)以1/N的速度增長，這讓人很容易想起自然對數(shù)函數(shù)，它也是以1/x的速度增長（這個速度隨著x越來越大而不斷減慢）。

對數(shù)函數(shù)

自然對數(shù)函數(shù)表示e的幾次冪才能得到x的函數(shù)。雖然對數(shù)函數(shù)的增長速度非常慢，需要超過10^434項才能達到1000。但它確實是發(fā)散的。

調(diào)和級數(shù)就像對數(shù)函數(shù)的一個的兄弟，只是把 "e "而不是 "10 "作為其指數(shù)。另外，讓數(shù)字 "10 "出現(xiàn)在這里比數(shù)字 "π "或 "e "更瘋狂。

現(xiàn)在，有三個關(guān)于調(diào)和級數(shù)的奇怪事實。

歐拉-馬斯克若尼常數(shù)（The Euler-Mascheroni constant）

首先，看一下調(diào)和級數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖像。它們之間有一個差值，在無窮遠(yuǎn)處，這個差異會變成一個特定的數(shù)字。

這個數(shù)字是歐拉-馬斯克若尼常數(shù)，它是0.5772156649....

這個數(shù)字是否是無理數(shù)甚至是超越數(shù)（超越數(shù)的意思是，它是否可以成為某個涉及x的冪的方程的解），這是數(shù)學(xué)中最懸而未決的謎團之一。許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為，以我們目前的條件，永遠(yuǎn)也解決不了這個問題！

歐拉-馬斯克若尼常數(shù)是一個相當(dāng)不直觀的數(shù)字，出現(xiàn)在許多結(jié)果中。它似乎說明了自然數(shù)的“粒度”性，因為它們與實數(shù)的連續(xù)性相違背。

目前還不清楚物理宇宙中一些更 "奇特 "的數(shù)字（例如精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)）是否與之有某種關(guān)系，這可能會加重物理學(xué)家的負(fù)擔(dān)，但對我來說，我寧愿希望它們有根本的聯(lián)系。

交變調(diào)和級數(shù)

關(guān)于調(diào)和數(shù)列的另一個奇怪的事實是交變調(diào)和級數(shù)。

相當(dāng)奇怪的是，這個級數(shù)確實收斂（到ln 2）。

這可能不直觀，但是，如果你重新排列這些級數(shù)項，實際上可以改變結(jié)果。例如，如果改寫：

為：

并計算出這個級數(shù)，總和也會是原來的一半。注意我們沒有剔除任何一項，只是重新排列了它們。

事實上，有可能以這樣的方式重新排列交變調(diào)和級數(shù)，可以用它的無限之和來表示任何數(shù)字。只是項的排列最終會對最后的結(jié)果產(chǎn)生影響。

當(dāng)涉及到無窮大時，不要相信你的直覺。

缺失的數(shù)字

如果你“剔除”調(diào)和級數(shù)中出現(xiàn)的一些數(shù)字，就會發(fā)生一些意想不到的事情。讓我們來看看，如果我們剔除所有分母中含有 "3 "的數(shù)字會發(fā)生什么：