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在數(shù)論中，研究短區(qū)間內(nèi)素數(shù)的數(shù)量是一個重要且復(fù)雜的問題。它關(guān)注于給定一個小的區(qū)間，比如說x，x+h，其中h相對于x很小，這個區(qū)間內(nèi)有多少素數(shù)。這個問題的研究揭示了素數(shù)分布的局部性質(zhì)，特別是隨著x的增大，素數(shù)在數(shù)軸上的分布模式。

高斯的預(yù)測講的是“繞著x的各處”的素數(shù)的數(shù)目，所以，考慮在繞著x的短區(qū)間里面的素數(shù)的數(shù)目也許更有意義。如果我們相信高斯的話，我們就會期望在x和x+y之間素數(shù)的個數(shù)大約是y/logx。就是說，如果用素數(shù)計數(shù)函數(shù)π(x)來表示，我們就會期望，對于|y|≤x/2，

然而，對于y的范圍需要小心一點。例如，如果y=1/2logx，則（1）式右邊變成1/2，而在區(qū)間[x，x+y]中將有大約“半個”素,，這當(dāng)然是我們不希望看到的。顯然我們需要讓y足夠大，這樣(1)式才有意義；事實上，高斯-克拉默模型建議，(1)式應(yīng)該在|y|稍大于(logx)2時成立。

如果我們想用證明素數(shù)定理的同樣方法來證明(1)式，則在p次冪的差的估計上，就會得到

如果設(shè)ζ(s)的零點的密度遠大于1/2，已經(jīng)可以證明(1)式當(dāng)y略大于

時成立。但是，這個方法沒有什么希望能夠在長度為√x或更小時證明(1)式，哪怕是假設(shè)黎曼假設(shè)成立也不行。

1949年，塞爾貝格在假設(shè)黎曼假設(shè)成立的條件下，證明了當(dāng)y略大于(logx)2時，(1)式“幾乎”對所有x成立。這里出現(xiàn)了“幾乎”，其意義就是使(1)成立的x的密度當(dāng)x→∞時趨近1，而不是對所有的x都成立，從而可能有無窮多的反例，雖然在那時看起來，這件事很不像是真的。所以，當(dāng)1984年Maier證明了對于任意固定的A，對于無窮多個x以及y=(logx)^A，(1)式都不成立，那確實是很驚人的。他的聰明的證明是基于他證明了，在那個區(qū)間里，小素數(shù)的倍數(shù)并不如人們想象的那么多。

令p?=2

的大小。因為直到x為止的素數(shù)數(shù)目大約是x/logx，所以相繼素數(shù)的差平均應(yīng)該是logx，而我們可以問相繼素數(shù)的差大約是平均值的頻繁程度如何？這些差是否可以很?。窟@些差又是否可以很大？高斯-克拉默模型暗示那些使得相繼素數(shù)的間隙大于其平均值的λ倍的x，就是使得

的x所占的比例約為e^(-λ)。而類似地，其中恰好包含k個素數(shù)的區(qū)間{x，x+λlogx}在這一類區(qū)間中所占的比例大約為

由這樣一個暗示，我們將會看到，還得到了從其他方面的考慮的支持。克拉默分析了這個分布，而且提出了一個猜測：

我們所掌握的證據(jù)似乎也支持這個猜測

高斯-克拉默模型有一個重大的缺點：它“完全不懂數(shù)論”。特別是如早前已經(jīng)指出的那樣，它不能預(yù)測小素數(shù)的可整除性。這個缺點的一個表現(xiàn)就在于它會預(yù)測，間隙為1的素數(shù)對和間隙為2的素數(shù)對是一樣多。然而，只有一個間隙為1的素數(shù)對，因為如果兩個素數(shù)間隙為1，則其中必有一個是偶數(shù)，[就是2，而另一個只能是3]，但是有許多間隙為2的素數(shù)對的例子，而且據(jù)信有無窮多這樣的例子，就是下面將要討論的“孿生素數(shù)”。一個模型要能夠?qū)τ谒財?shù)對做出正確的預(yù)測，就必須考慮出現(xiàn)在這個模型中的小素數(shù)的可整除性，而這就會使得模型復(fù)雜得多。比較簡單的模型中既然有這種刺目的錯誤，我們在對待克拉默關(guān)于相繼素數(shù)的最大間隙的猜想時，就必須帶著一點懷疑。而事實上，如果對這個模型作了修正，使得能夠考慮小素數(shù)的可整除性，就會得到以下的猜測：

尋找素數(shù)間的大間隙，就相當(dāng)于找出合數(shù)的很長的序列。顯式地去做這件事又如何？例如，我們知道，n!+j對于2≤j≤n都是合數(shù)，因為它可以用j去整除。

這樣，在相繼的素數(shù)之間就有一個長至少為n的間隙，而前一個素數(shù)是小于或等于n!+1的最大素數(shù)。但是這一點觀察并不特別有幫助，因為在n!附近的相繼素數(shù)的平均的間隙是log(n!)，而它大概等于nlogn，而我們要找的是大于平均值的間隙。然而，可以推廣這里的論據(jù)來證明存在這樣的相繼整數(shù)的長序列，使這些整數(shù)都有小素數(shù)為因子。

在1930年代，Paul Erd?s把這個問題重新陳述如下：

固定一個正整數(shù)z，而對每一個素數(shù)p≤z都選一個整數(shù)a_p，使得不管整數(shù)y有多大，每一個正整數(shù)n≤p都滿足至少一個同余式n=ap(modp)。

現(xiàn)在令X為直到z為止的素數(shù)的乘積（由素數(shù)定理，這就意味著logX大約就是z），而令x為X和2X之間的整數(shù)，使對每一個p≤z都有x=-a_p(mod p)（由中國剩余定理，這個x是存在的）。如果m是在x+1和x+y間的整數(shù)，則m-x是小于y的正整數(shù)，所以一定有某個素數(shù)p≤z在，使得m-x=a_p(mod p)。因為x=-a_p(mod p)，所以m可以被p整除。這樣，從x+1到x+y的所有整數(shù)都是合數(shù)。利用這個基本思想，可以證明有無窮多素數(shù)p_n，使得

它當(dāng)然比平均值大得多，但是還遠未達到克拉默的猜測。

素數(shù)間小于平均值的間隙

我們剛才看見了如何證明有無窮多對相繼素數(shù)，它們的差遠大于這種差的平均值，即有

現(xiàn)在也要證明，有無窮多對相繼素數(shù)，它們的差遠小于這種差的平均值，即有

當(dāng)然，人們相信有無窮多對素數(shù)相差為2，但是目前，這個問題仍是很難對付的。

在2000年以前，這方面的最佳結(jié)構(gòu)就是有無窮多個間隙小于平均值的四分之一。Goldston，Pintz和Yildirim的方法對于小間隙的素數(shù)加上了簡單的權(quán)重，證明了

甚至證明了有無窮多對相繼的素數(shù)，其差不會大于大約

驚人的是，它們的證明是基于對于算術(shù)數(shù)列中的素數(shù)的估計的。此外，它們還得到了一個附加了條件的如下類型的結(jié)果：如果下式

對直到略大于√x的幾乎所有的q成立，則必存在整數(shù)B，使得對于無窮多個素數(shù)p都有

素數(shù)間的很小的間隙

有許多對素數(shù)相差為2，例如3與5，5與7，…，這種素數(shù)對稱為孿生素數(shù)，雖然誰也沒有證明確有無窮多對孿生素數(shù)存在。事實上，甚至對于每一個偶數(shù)2k，也有許多對素數(shù)相差為2k，同樣也沒有人能夠證明這樣的素數(shù)對有無窮多個。這個問題是這個學(xué)科的突出問題之一。

1760年代的哥德巴赫猜想也是屬于同樣風(fēng)格的問題：是否每一個大于2的偶數(shù)都是兩個素數(shù)之和？這至今仍是未解決的問題。我們知道，對于絕大多數(shù)整數(shù)，這個結(jié)果是真的。這個問題上最著名的結(jié)果是陳景潤1966年的結(jié)果。他證明了每一個偶數(shù)都是一個素數(shù)和另一個整數(shù)之和，而且后者又只含有最多兩個素數(shù)因子

就是說，是一個素數(shù)和一個“幾乎素數(shù)”之和，也就是現(xiàn)在國內(nèi)通稱的1+2。

事實上，哥德巴赫并不是這樣提出他的猜想的。他在1760年代致信歐拉，問是否每一個大于1的整數(shù)都可以寫為三個素數(shù)之和，從這里可以得到我們現(xiàn)在說的“哥德巴赫猜想”。1920年代，維諾格拉多夫證明了每一個充分大的奇數(shù)都可以寫為3個素數(shù)之和（從而每一個充分大的偶數(shù)都可以寫為4個素數(shù)之和）。其實我們相信每一個大于5的奇數(shù)都可以寫為三個素數(shù)之和，但是現(xiàn)有的證明卻只在涉及的數(shù)充分大時有效。在這個情況下，我們要把“充分大”說明白——現(xiàn)在的證明需要它們大于

但是有傳說，這個界限很快就會得到本質(zhì)的減小，甚至減小到7。

2013年5月留美的中國數(shù)學(xué)家張益唐在孿生素數(shù)問題上有一個里程碑式的突破：他證明了存在一個常數(shù)d≤7×10^7，而有無窮多對相繼的素數(shù)差為d。

要想猜測在q≤x的范圍內(nèi)，q和q+2都是素數(shù)的素數(shù)對的準(zhǔn)確數(shù)目，我們是這樣做的。如果不考慮小素數(shù)的可整除性，則高斯-克拉默模型建議，到x為止，隨機地取一個整數(shù)，取到素數(shù)的概率是1/logx，所以我們期望到x為止有x/(logx)2個q，q+2這樣形狀的素數(shù)對。但是如同前面的q，q+1的例子所說明的那樣，我們確實需要考慮到2的可整除性。一個隨機的整數(shù)對都是奇數(shù)的比例是1/4，而一個隨機的q使得q和q+2都是奇數(shù)的比例則是1/2。這樣就需要對x/(logx)2這個猜測加上一個因子

類似地，隨機的整數(shù)對都不能被3（或被任意素數(shù)p）整除的比例是

對每一個素數(shù)p都對我們的公式加以調(diào)整，最終就會得到下面的猜測：

此式稱為漸近孿生素數(shù)猜測。雖然看起來這個猜測很像是對的，但是怎樣把它從似然為真變成嚴(yán)格的證明，目前還沒有什么實際的想法。現(xiàn)在已經(jīng)得到的一個好的不附加條件的結(jié)果是：小于或等于x的孿生素數(shù)對的數(shù)目決不會大于我們的猜測的四倍。我們可以把

代以

而得到更精確的預(yù)測，而且希望上式雙方之差不大于某個c√x，c>0是一個常數(shù)。這個猜測得到了許多計算證據(jù)的支持。

用類似的方法可以預(yù)測具有任意多項式模式的素數(shù)的個數(shù)。令

為不同的既約的次數(shù)大于或等于1的首項系數(shù)為正的多項式組，定義ω(p)為這樣的整數(shù)n(mod p)的個數(shù)，使p能夠整除

在上面的孿生素數(shù)問題中，有

而對所有奇素數(shù)p，ω(p)=2)。如果ω(p)=p，則p至少能夠整除一個多項式值，所以只有有限多個情況使得它們同時為素數(shù)，這種情況的一個例子是

這時，ω(2)=2。

除此以外，將會有多項式的可容許集合，對于它們，我們預(yù)測，小于x而使得

都是素數(shù)的整數(shù)n的個數(shù)大約是

這里需要設(shè)x充分大。可以用一個類似的啟發(fā)性的思考來在哥德巴赫猜想中作預(yù)測，就是預(yù)測使得p+q=2N的素數(shù)對p，q的個數(shù)。這些預(yù)測又一次與計算的證據(jù)很好地匹配。

預(yù)測(2)在少數(shù)幾個情況下已經(jīng)得到了證明。對于素數(shù)定理的證明做一些修正就能對可容許多項式qt+a的情況給出結(jié)果（就是對算術(shù)數(shù)列中的素數(shù)得出結(jié)果），也對于可容許的

對于某些類型的n變量n次多項式（即可容許的“范數(shù)形式”）也得到了結(jié)果。