莊子曾言：“夏蟲不可以語于冰者，不可同日而語也?！边@寓意了生命的短暫，難以領(lǐng)略永恒的風(fēng)景。莊子眼中，生命的維度固然有限，“生之有涯，而知也無涯”，我們不可能以有限的生命去囊括無窮的知識(shí)。然而，這并不妨礙人類利用想象力，去勾勒出宇宙的宏大法則，并通過邏輯的篩選，保留那些合理之見。正是憑借這一能力，一些智者便能躍升至知識(shí)的更高層面。
如今，我們不妨從“無窮大”這一概念入手，去探索認(rèn)知的升級(jí)之道。
提及無窮大，便不得不談起數(shù)字的龐大。孩童們?cè)阪覒蛑谐３８?jìng)相比較數(shù)字的龐大，比如當(dāng)一個(gè)孩子喊出“一百”，另一個(gè)便回應(yīng)“一萬”，而“一萬”便是“一百個(gè)一百”。孩童們心中的邏輯，已悄然預(yù)示了無窮大的影子。
不過，當(dāng)輸?shù)舻暮⒆酉蚣议L(zhǎng)詢問，得知了“一億”這一數(shù)字，他們便又翻盤了。接下來，孩子們可能競(jìng)相疊加，直至“一億億億億億億……”，最終肺活量最大的孩子贏得比賽。
然而，當(dāng)某個(gè)孩子回家詢問家長(zhǎng)后，得知了“無窮大”這一概念，他便可以輕而易舉地?fù)魯∧切┖爸粌|億的孩子們。盡管如此，“無窮大”并非簡(jiǎn)單的數(shù)字，而是一種象征，表示著宇宙間最龐大的量級(jí)。
此時(shí)，讓我們探討一個(gè)基本問題：無窮大是否一個(gè)數(shù)字？它是否可以視為數(shù)軸的盡頭？在數(shù)學(xué)上，它與某個(gè)特定的大數(shù)是否等價(jià)？
這些看似基礎(chǔ)的疑問，即便是大學(xué)里的高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，也未必能給予明確的答復(fù)。在大眾的心目中，無窮大似乎不過是數(shù)字中的一個(gè)，只是它遠(yuǎn)超我們的想象，我們習(xí)慣性地用理解特定數(shù)字的方式去理解它。然而，無窮大的世界，與我們所熟悉的日常世界，在本質(zhì)上截然不同。
事實(shí)上，直到現(xiàn)代，人類才開始真正理解無窮大的哲學(xué)意義。1924年，數(shù)學(xué)巨擘希爾伯特提出的旅館悖論，迫使我們重新審視無窮大的奧秘。他所描述的悖論情境如下：
假設(shè)一家酒店擁有無限多的房間，每間都已客滿，這時(shí)有人前來詢問能否安排住宿，老板自然只能婉言拒絕。然而，在無窮多房間的旅館中，情形可能大不相同。盡管所有房間已滿，但老板仍有法子“擠出”一間空房。
他可以將1號(hào)房間的客人安置到2號(hào)房間，2號(hào)房間的客人則搬至3號(hào)房間，以此類推，1號(hào)房間便成了新客人的“容身之所”。這樣的操作，即便是十人、八人前來投宿，旅館依然可以輕松應(yīng)對(duì)。
于是，悖論出現(xiàn)：既然每個(gè)房間均有人入住，如何又能容納新的客人？然而，這并非數(shù)學(xué)上的矛盾，只是與我們的直觀感受相悖。在我們的直覺中，滿客即無法再容納，但在無窮大的世界中，這樣的等價(jià)性并不成立。數(shù)學(xué)的諸多邏輯，在無窮大的維度里，需重新審視。
例如，在有限的世界中，一個(gè)數(shù)加1即不再等同于原數(shù)，但在無窮大的世界中，無窮大加1仍舊是無窮大，就如同旅館悖論中的投宿問題一樣。
因此，在希爾伯特旅館悖論提出之后，全球的數(shù)學(xué)家們不得不重新在無窮大的框架內(nèi)，驗(yàn)證所有的數(shù)學(xué)結(jié)論，以尋找可能的漏洞。
至于在無限多房間的旅館里，不僅可以容納有限個(gè)新客人，甚至可以容納無限多的新客人。那么，當(dāng)無限個(gè)客人投宿時(shí)，應(yīng)該如何操作？解決辦法如下：將原住第1間的客人移至第2間，第2間的客人遷至第4間，第3間的客人遷往第6間……以此類推，便能空出無窮多的房間接待新客。
無限集合與有限集合的性質(zhì)截然不同。對(duì)于有限房間的旅館，其偶數(shù)號(hào)房間數(shù)量總是少于總房間數(shù)。而在無窮多房間的旅館中，偶數(shù)號(hào)房間數(shù)量與總房間數(shù)相等。
以5厘米和10厘米長(zhǎng)的線段為例，我們發(fā)現(xiàn)兩者上的點(diǎn)是“一樣多”的。證明過程如下：
將圖中10厘米長(zhǎng)的線段置于5厘米線段之上，并平行放置，連接兩端，交于S點(diǎn)。接著，將10厘米長(zhǎng)線上的任意點(diǎn)X與S相連，便可在5厘米短線上找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)Y。由此可知，長(zhǎng)線上的任一點(diǎn)，在短線上都能找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)。
因此，短線上的點(diǎn)不應(yīng)少于長(zhǎng)線上的點(diǎn)。故在無窮大的世界中，我們可認(rèn)為10厘米線段上的點(diǎn)數(shù)與5厘米線段上的點(diǎn)數(shù)“相同”。
進(jìn)而，不同類型的無窮大，如整數(shù)、10厘米長(zhǎng)線段上的點(diǎn)數(shù)能否比較？答案是可以。一根極短線段上的點(diǎn)數(shù)，比所有有理數(shù)的數(shù)量都多，前者的基數(shù)大于后者。這或許有悖直覺，但結(jié)論確鑿無疑。
至此，我們便可回答最初的問題：“無窮大是否一個(gè)特大的數(shù)？”答案是，它并非一個(gè)具體的數(shù)，不同于萬億、googol數(shù)（10的一百次方）等。它是動(dòng)態(tài)的，反映著無限增長(zhǎng)的趨勢(shì)，不同的無窮大會(huì)因變化趨勢(shì)的差異而大小不一。
理解無窮大的真諦，在于把握它描述的是動(dòng)態(tài)變化最終極的景象。實(shí)際上，無窮大（以及隨后將介紹的無窮?。┐砹艘环N新的世界觀，促使我們關(guān)注動(dòng)態(tài)變化的趨勢(shì)，特別是在發(fā)展進(jìn)程中不斷延伸的情形。
無窮大世界的這些特性，或許會(huì)讓你重新審視自己的認(rèn)知。這并不是說原先的認(rèn)知有誤，而是我們的認(rèn)知在龐大的宇宙面前，宛如夏蟲，受限于生活的狹小空間。這也是我們提倡通識(shí)教育的原因，因?yàn)檫@有助于我們迅速突破認(rèn)知的局限。
當(dāng)然，有同學(xué)可能會(huì)質(zhì)疑了解無窮大世界的現(xiàn)實(shí)意義。實(shí)際上，它的意義重大，在此我舉一個(gè)具體的例子。
我在《谷歌方法論》中討論了計(jì)算機(jī)算法的衡量標(biāo)準(zhǔn)。假設(shè)有三個(gè)功能相同的算法，分別為A、B和C：
算法A需執(zhí)行100,000*N次運(yùn)算；
算法B需執(zhí)行N^2次運(yùn)算；
算法C需執(zhí)行N次運(yùn)算。
哪種算法最佳？
多數(shù)人可能會(huì)認(rèn)為C算法最優(yōu)，A和B算法則視情況而定。如果N<100,000，則算法B更佳，否則A算法勝出。例如，當(dāng)N為20萬時(shí)，A算法相當(dāng)于10萬20萬次運(yùn)算，B算法相當(dāng)于20萬20萬次，故B更佳。
然而，在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，衡量?jī)蓚€(gè)算法的復(fù)雜度時(shí)，僅關(guān)注當(dāng)N趨近無窮大時(shí)的情形。這是因?yàn)樗P(guān)注的是，隨著問題復(fù)雜性的增加，每種算法所消耗的資源（如計(jì)算時(shí)間）的增長(zhǎng)趨勢(shì)。據(jù)此，B算法的計(jì)算量顯然最高。
至于兩種算法在復(fù)雜度上只差常數(shù)倍，在計(jì)算機(jī)科學(xué)上則被認(rèn)為是等價(jià)的。對(duì)于計(jì)算機(jī)科學(xué)家而言，將一個(gè)算法從平方的復(fù)雜度降低到線性，是撿到西瓜般的大事，而將一個(gè)線性復(fù)雜度的算法的計(jì)算量再減小幾倍，則是撿芝麻的小事。
總結(jié)要點(diǎn)：
首先，通過希爾伯特旅館悖論，我們明白生活在有限世界的人們，難以想象無窮大的世界，在那里，許多規(guī)律與有限世界截然不同。例如，無窮大的世界里，部分可以與整體等量齊觀。
因此，我們不能以有限的認(rèn)知去理解無限的事物，亦不能將有限經(jīng)驗(yàn)的結(jié)論放大至更大的場(chǎng)景。例如，有人因受騙而得出“世上無一好人”的結(jié)論，便陷入了以有限認(rèn)知理解無限事物的誤區(qū)。
接下來，我們強(qiáng)調(diào)了無窮大并非一個(gè)靜止的巨大數(shù)字，而是一個(gè)動(dòng)態(tài)的、不斷擴(kuò)張的變化趨勢(shì)，希望通過這一概念，提醒大家以動(dòng)態(tài)的眼光看待世界。
至于無窮大的現(xiàn)實(shí)意義，我們通過計(jì)算機(jī)科學(xué)中的算法復(fù)雜度例子，闡明了量級(jí)的差異比同量級(jí)內(nèi)的幾倍差異更為重要。在工作中，我們應(yīng)優(yōu)先考慮量級(jí)的提升，而非專注于“撿芝麻”式的瑣碎改進(jìn)。
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