數(shù)學(xué)世界中，無窮是無盡的數(shù)量/狀態(tài)，但它們可不止一種，并且大小也并不總是“相等的”。
你或許會(huì)問，無窮怎么還能比大小呢？既然都數(shù)不完，難道“無窮”不是一樣的嗎？
事實(shí)上，有些無窮比另一些無窮“更大”。這種看似荒謬卻深刻的現(xiàn)象，正是德國(guó)數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)家康托爾（Georg Cantor）在19世紀(jì)末揭示出來的。他發(fā)現(xiàn)，即使某些集合都為“無窮無盡”，但規(guī)模仍然可以不同。無窮也有大小之分！這一發(fā)現(xiàn)徹底改變了人類對(duì)無窮的理解。
今天，我們來借助康托爾的驚人發(fā)現(xiàn)，再來看下這樣一個(gè)特別有意思的問題：為什么無理數(shù)比有理數(shù)多得多？?jī)烧叩摹盁o窮”到底有什么不同？
有理數(shù)：無窮但“可數(shù)”
首先，我們需要理解何為有理數(shù)。有理數(shù)是指那些可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，比如 1/2、-3/4、5 等。它們包括所有的整數(shù)、有限小數(shù)（比如 0.5）和無限循環(huán)小數(shù)（比如 0.333…）。
盡管有理數(shù)的數(shù)量是無窮的，但康托爾證明了它們是“可數(shù)”的。這個(gè)“可數(shù)”并不是說我們真的能把所有有理數(shù)數(shù)完，而是說有理數(shù)能夠排列成一個(gè)序列，比如這樣：
x? = 1, x? = -1, x? = 1/2, x? = -1/2, x? = 1/3, x? = -1/3, …
康托爾通過一種“對(duì)角線法”對(duì)有理數(shù)進(jìn)行排列，證明了可以用自然數(shù)來“標(biāo)號(hào)”每一個(gè)有理數(shù)。具體請(qǐng)看【遇見數(shù)學(xué)】之前發(fā)布的《當(dāng)無限遇見無限，分?jǐn)?shù)真的比整數(shù)多嗎？》一文。
這樣就可以依次列出所有有理數(shù)。盡管這個(gè)過程需要無限長(zhǎng)的時(shí)間，但說明了有理數(shù)的集合是“可數(shù)”的。
換句話說，有理數(shù)和自然數(shù)一樣多，盡管它們都是無窮的。
無理數(shù)：“不可數(shù)”的無窮
再來看無理數(shù)。無理數(shù)是那些不能表示成分?jǐn)?shù)的數(shù)，比如 √2、π、e 等。這些數(shù)都以無限不循環(huán)小數(shù)的形式存在，像是 1.414213562…、3.141592653…。
康托爾當(dāng)時(shí)令人震驚的發(fā)現(xiàn)是：無理數(shù)的無窮比有理數(shù)的無窮更大。
這聽起來或許令人費(fèi)解，但他所給出一種構(gòu)造證明極為巧妙且令人驚嘆，讓我們來一探究竟。
假設(shè)只考慮 (0,1) 區(qū)間內(nèi)的實(shí)數(shù)——也就是無理數(shù)和有理數(shù)的合集。現(xiàn)在面臨的問題是：能不能用列出一個(gè)序列，把 (0,1) 區(qū)間內(nèi)的所有實(shí)數(shù)都列出來？如果可以做到，那這些實(shí)數(shù)就是“可數(shù)”的；如果行不通，那它們就是“不可數(shù)”的。
為了證明實(shí)數(shù)不可數(shù)，康托爾采用了一個(gè)反證法。先假設(shè)：所有的 (0,1) 區(qū)間內(nèi)的實(shí)數(shù)可以被列成一個(gè)清單。比如，假設(shè)清單長(zhǎng)這樣：
- 第 1 個(gè)數(shù)：x? = 0.123456…
- 第 2 個(gè)數(shù)：x? = 0.987654…
- 第 3 個(gè)數(shù)：x? = 0.543210…
- 第 4 個(gè)數(shù)：x? = 0.111111…
清單中列出了所有的實(shí)數(shù)。每個(gè)數(shù)的小數(shù)部分是無限的，而且我們假定這個(gè)清單已經(jīng)包含了 (0,1) 區(qū)間的所有實(shí)數(shù)，沒有任何遺漏。
構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)
康托爾的聰明之處在于，用了一個(gè)優(yōu)雅的證明方法告訴我們：這是不可能的。他總能構(gòu)造出一個(gè)新的數(shù)，并且這個(gè)數(shù)一定不在這個(gè)清單當(dāng)中。
我們一步一步來看看他是如何構(gòu)造這個(gè)數(shù)的：
關(guān)注清單中每個(gè)數(shù)的小數(shù)部分
假設(shè)清單中的數(shù)是這樣的（為了簡(jiǎn)單起見，我們只列小數(shù)部分）：
- x? = 0.123456… （第 1 位小數(shù)是 1）
- x? = 0.987654… （第 2 位小數(shù)是 8）
- x? = 0.543210… （第 3 位小數(shù)是 3）
- x? = 0.111111… （第 4 位小數(shù)是 1）
我們可以畫出一個(gè)“對(duì)角線”，把每個(gè)數(shù)的小數(shù)第 i 位連起來。這些數(shù)字是：
- 1 （來自 x? 的第 1 位）
- 8 （來自 x? 的第 2 位）
- 3 （來自 x? 的第 3 位）
- 1 （來自 x? 的第 4 位）
利用對(duì)角線生成一個(gè)新的
現(xiàn)在，我們構(gòu)造一個(gè)新的數(shù) y，它的規(guī)則是這樣的：
- 如果對(duì)角線上的數(shù)字是 1，那么 y 的這一位是 2；
- 如果對(duì)角線上的數(shù)字不是 1，那么 y 的這一位是 1。
按照這個(gè)規(guī)則，就可以構(gòu)造出一個(gè)數(shù) y：
- y 的第 1 位是 2，因?yàn)?x? 的第 1 位是 1；
- y 的第 2 位是 1，因?yàn)?x? 的第 2 位是 8；
- y 的第 3 位是 1，因?yàn)?x? 的第 3 位是 3；
- y 的第 4 位是 2，因?yàn)?x? 的第 4 位是 1；
所以，構(gòu)造出的新數(shù)可能是： y = 0.2112…
考慮一下，現(xiàn)在這個(gè) y 與清單中的每一個(gè)數(shù)至少有一位是不同的。因此，y 不可能在這個(gè)清單中。
這就產(chǎn)生了矛盾！
康托爾通過對(duì)角線法優(yōu)雅地證明了這樣一個(gè)驚人的結(jié)論：(0,1) 區(qū)間內(nèi)的實(shí)數(shù)無法被列成清單。這表明，實(shí)數(shù)的數(shù)量比自然數(shù)或有理數(shù)的數(shù)量更加龐大，達(dá)到了一種全新的無窮層次——不可數(shù)無窮。
在集合論中，有理數(shù)的無窮被稱為“可數(shù)無窮”，而無理數(shù)的無窮屬于更高的層次，稱為“不可數(shù)無窮”。不可數(shù)無窮不僅“更大”，它代表著一種完全超越可數(shù)無窮的數(shù)量級(jí)。這種思想顛覆了人們對(duì)無窮的直覺，開辟了全新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。
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