1940年，哈代出版了《一個數(shù)學(xué)家的辯白》，談?wù)摿藬?shù)學(xué)中的美學(xué)，給眾多數(shù)學(xué)“門外漢”一個機(jī)會，洞察工作中的數(shù)學(xué)家的內(nèi)心。
82年后，國際著名數(shù)值分析專家、馮·諾依曼獎獲得者勞埃德·尼克·特雷費(fèi)森教授在《一個應(yīng)用數(shù)學(xué)家的辯白》中記錄了自己早期學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成長過程，對數(shù)學(xué)本身的深刻思考、對純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的真切感悟，以及對數(shù)學(xué)所面臨的挑戰(zhàn)的反思。
中國科學(xué)院湯濤院士評價《一個應(yīng)用數(shù)學(xué)家的辯白》“將為下一代留下寶貴的精神財富，讓我們領(lǐng)略到應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科的魅力，并看到一位充滿激情的應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)者的成長之路?！?br/>影響數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)大師有什么魅力？數(shù)學(xué)家的使命是什么？數(shù)學(xué)家現(xiàn)在面臨的艱巨挑戰(zhàn)是什么？這些影響數(shù)學(xué)發(fā)展的問題都可以從《一個應(yīng)用數(shù)學(xué)家的辯白》中找到答案。
《一個應(yīng)用數(shù)學(xué)家的辯白》
作者：[美]勞埃德?尼克?特雷費(fèi)森
譯者：何生
01
和畫家或詩人一樣，數(shù)學(xué)家也是模式的創(chuàng)造者。如果說數(shù)學(xué)家創(chuàng)造的模式比前者的更持久，那是因為這些模式是由思想構(gòu)成的。畫家用形狀和顏色創(chuàng)造樣式，詩人用文字創(chuàng)造格律。一幅畫中可能包含“思想”，但它的思想通常是老生常談，并不怎么重要。在詩歌里，思想會更重要一些。但是，正如豪斯曼所堅持的那樣，思想在詩歌中的重要性被習(xí)慣性地夸大了 :“我無法說服自己，存在一種叫詩歌的思想的東西。詩歌不在于它要表達(dá)的內(nèi)容，而在于它表達(dá)的方式。”
同畫家和詩人的模式一樣，數(shù)學(xué)家的模式必定是美的。與色彩和文字相同，思想也必然會以某種和諧的方式組合。美是首要的試金石：丑陋的數(shù)學(xué)不可能永存。在這里，我必須糾正一個至今仍普遍流傳的誤解（盡管現(xiàn)在可能已經(jīng)比 20 年前好了許多），這就是懷特海所謂的“文人般的執(zhí)迷”，即認(rèn)為對數(shù)學(xué)審美的熱愛“在每一代人里都只是少數(shù)怪人的偏執(zhí)”。
02
關(guān)于年齡問題，我最好補(bǔ)充幾句，因為它對數(shù)學(xué)家特別重要。任何一位數(shù)學(xué)家都不應(yīng)該讓自己忘記，比起任何其他藝術(shù)或科學(xué)，數(shù)學(xué)更是年輕人的游戲。舉一個相對簡單的例子，在英國皇家學(xué)會的入選者中，數(shù)學(xué)家的平均年齡是最小的。
我們還可以很輕松地找到更多引人注目的例證。比如，我們可以看看下面這個人的職業(yè)生涯，他無疑是世界上最偉大的三位數(shù)學(xué)家之一。牛頓 在 50 歲時放棄了數(shù)學(xué)研究，他在很久以前就失去了對數(shù)學(xué)的熱情；毫無疑問，他在 40 歲時就意識到他那最富有創(chuàng)造力的數(shù)學(xué)生涯已經(jīng)結(jié)束。牛頓最偉大的思想——流數(shù)術(shù)和萬有引力定律——是在 1666 年左右產(chǎn)生的，那時他才 24 歲?！霸谀切┤兆永?，我正處于發(fā)明創(chuàng)造的黃金時期，我比任何時候都更專注于數(shù)學(xué)和哲學(xué)?！彼粩嗟厝〉弥卮蟀l(fā)現(xiàn)，一直到將近 40 歲（他在 37 歲時算出了“橢圓軌道”），但在此之后，他除了修正和完善之前的成果，幾乎再也沒有做出什么新的東西了。
伽羅瓦21 歲就死了，阿貝爾27 歲，拉馬努金33 歲，黎曼也只活到 40 歲。也有人在上了年紀(jì)之后做出過了不起的成就，高斯關(guān)于微分幾何的著名論文是在他 50 歲時發(fā)表的（盡管 10 年前他就有這方面的基本思想）。據(jù)我所知，在數(shù)學(xué)上沒有一項重大的進(jìn)步是由超過 50 歲的人提出的。如果一把年紀(jì)的人喪失了對數(shù)學(xué)的興趣并將它拋棄，由此造成的損失對數(shù)學(xué)和他個人而言都不會很嚴(yán)重。
另一方面，數(shù)學(xué)家們在離開數(shù)學(xué)領(lǐng)域之后的狀況也并不那么振奮人心，他們也都沒什么實(shí)質(zhì)性的建樹。牛頓（在不和別人爭吵的時候）是一個相當(dāng)能干的鑄幣廠廠長。班勒衛(wèi)是一位不太成功的法國總理。拉普拉斯的政治生涯極不光彩，但他幾乎不能算是一個合適的例子，因為他不是無能，而是不誠實(shí)，而且他從來沒有真正“放棄”過數(shù)學(xué)。很難找到第一流的數(shù)學(xué)家在放棄數(shù)學(xué)之后，在其他領(lǐng)域取得卓越成就的例子 。也許有一些年輕人，倘若他們專攻數(shù)學(xué)，就會成為一流的數(shù)學(xué)家，但我從未聽說過一個確實(shí)可信的例子。我自己有限的經(jīng)歷反復(fù)證明了這一切。我所認(rèn)識的每一位真正才華橫溢的年輕數(shù)學(xué)家都對數(shù)學(xué)忠心耿耿，他們志存高遠(yuǎn)，充滿雄心壯志。他們都意識到，如果存在一條可以通往卓越人生的道路，那這條道路就是數(shù)學(xué)。
03
如果求知欲、職業(yè)自尊心和雄心是從事研究的主要動機(jī)，那么毫無疑問，數(shù)學(xué)家是最有機(jī)會具備這些動機(jī)的人群了。他們所研究的是所有學(xué)科里最令人感到好奇的——沒有一門學(xué)科所涉及的真理會搞出如此奇怪的把戲。數(shù)學(xué)學(xué)科擁有最精巧和最迷人的技巧，并且為人們提供了絕佳的機(jī)會來展示他們純粹的專業(yè)技能。最后，歷史還充分證明，不管數(shù)學(xué)成就的內(nèi)在價值如何，它都是所有成就中最持久的。
04
數(shù)學(xué)家也不必特別擔(dān)心未來會對他不公平。永生往往是荒謬和痛苦的：我們很少有人會選擇成為奧格、阿納尼亞斯或加利奧。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，歷史有時甚至也會開一些奇怪的玩笑：羅爾在微積分基礎(chǔ)課本上的形象仿佛能和牛頓比肩；法里一直被提起的，是因為他沒能理解一個在 14 年前就被哈羅斯完美證明了的定理；五個值得一提的挪威人的名字被寫在阿貝爾的傳記里，只因他們盡心盡職的愚蠢舉動傷害了自己國家最偉大的人物。但總體而言，科學(xué)史是公道的，數(shù)學(xué)史尤其如此。其他學(xué)科都沒有這種明確并且能被一致認(rèn)可的標(biāo)準(zhǔn)，那些被人們記住的人，幾乎都是那些值得被記住的人。如果你愿意投資，數(shù)學(xué)名望一定是最合理、最穩(wěn)健的選擇之一。
05
我說過，數(shù)學(xué)家是思想模式的創(chuàng)造者，美麗和嚴(yán)肅性是判斷其模式的標(biāo)準(zhǔn)。我無法相信，任何一個理解這兩個定理的人會懷疑它們不符合這些標(biāo)準(zhǔn)。如果我們將這兩個定理與杜德尼構(gòu)思的最巧的謎題（或者國際象棋大師編制的最妙的難題）相比，那么它們在這兩個方面的優(yōu)勢都很明顯：毫無疑問，它們完全不在一個層次。定理嚴(yán)肅得多，也漂亮得多。我們還能更進(jìn)一步說出它們到底有什么優(yōu)勢嗎？
一個重要的數(shù)學(xué)思想、一個嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)定理，在某種意義上應(yīng)該是“普遍的”。這個數(shù)學(xué)思想應(yīng)該是許多數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的組成部分，它們被用于證明各種不同類型的定理。這種定理應(yīng)該是這樣的：即便它最初表述成一種非常特殊的形式（如畢達(dá)哥拉斯定理），但其具有相當(dāng)大的可拓展性，并且是所有同類型定理的典型代表。證明所揭示的，是那種把許多不同的數(shù)學(xué)思想聯(lián)系起來的關(guān)系。所有這些都非常含糊，并且有所保留。但很容易看出，如果一個定理一點(diǎn)兒這些特性都沒有，那么它就不太可能是嚴(yán)肅的；這類例證可以從眾多孤立的奇特算術(shù)中找到。
“普遍性”是一個模棱兩可而且相當(dāng)危險的詞，我們必須小心不要讓它過多地主導(dǎo)我們的討論。它在數(shù)學(xué)以及和數(shù)學(xué)有關(guān)的著作中有許多不同的含義，其中有一種是邏輯學(xué)家特別強(qiáng)調(diào)的，我們在這里不做討論。除去那種，它是很容易被定義的，所有的數(shù)學(xué)定理都具有同等且徹底的普遍性。
06
我對“重要思想”的第二個要求是深度，這一點(diǎn)更難定義。它和難度有關(guān)，“更深刻”的思想通常更難理解，但它們并不完全相同。畢達(dá)哥拉斯定理的基本思想及其推廣是相當(dāng)深刻的，但現(xiàn)在的數(shù)學(xué)家都不會認(rèn)為它們很難。另一方面，某個定理可能本質(zhì)上很淺顯，卻很難證明（就像許多“丟番圖的”定理一樣，所謂丟番圖定理是一些關(guān)于方程的整數(shù)解的定理）。
數(shù)學(xué)思想似乎是分層排列的，每一層的思想之間由一種復(fù)雜的關(guān)系相連，上下層之間也互有聯(lián)系。層次越往下，思想越深刻（通常也會更難）。因此，“無理數(shù)”的概念比整數(shù)的概念更深奧，而畢達(dá)哥拉斯定理也比歐幾里得定理更深刻。
讓我們把注意力集中到整數(shù)，或者某一特定層次里的某組對象之間的關(guān)系上。那么，我們也許可以完全理解其中的某種關(guān)系，例如，我們可以發(fā)現(xiàn)和證明整數(shù)的某些性質(zhì)，而無須掌握下一層的知識。因此，我們只用整數(shù)的性質(zhì)就證明了歐幾里得定理。但還有許多關(guān)于整數(shù)的定理，如果我們不深入研究和思考下一層的情況，就無法正確理解它們，更談不上證明。
07
哪部分?jǐn)?shù)學(xué)才是有用的呢 ?
首先，中小學(xué)校里的大部分?jǐn)?shù)學(xué)，如算術(shù)、初等代數(shù)、初等歐氏幾何、初等微積分，都是有用的。我們必須排除一些“專業(yè)”知識，比如射影幾何。在應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域，力學(xué)原理是有用的（學(xué)校里教的電學(xué)歸入物理學(xué)）。
其次，相當(dāng)比例的大學(xué)數(shù)學(xué)也是有用的：一些是中小學(xué)數(shù)學(xué)的進(jìn)階，它們具備更完善的技巧；還有一些更像物理學(xué)的學(xué)科，如電學(xué)和流體力學(xué)。我們還必須牢記，知識儲備永遠(yuǎn)是有益的，如果某些注重實(shí)用的數(shù)學(xué)家只掌握了他該掌握的知識的下限，那么他們就可能會存在嚴(yán)重缺陷；因此，我們在各方面都必須多懂一些。但我們的結(jié)論一定會是，這樣的數(shù)學(xué)是有用的，因為它們是高級工程師或普通物理學(xué)家們所需要的。這大致相當(dāng)于說，它們沒有特別的美學(xué)價值。例如，那些枯燥的歐氏幾何是有用的——我們不需要平行公理，也無須比例理論或構(gòu)造正五邊形。
于是出現(xiàn)了一個相當(dāng)奇怪的結(jié)論，純數(shù)學(xué)無疑在總體上比應(yīng)用數(shù)學(xué)更有用。純數(shù)學(xué)家似乎在實(shí)用性和美學(xué)方面都占優(yōu)。因為最有用的是技巧，而數(shù)學(xué)技巧主要是由純數(shù)學(xué)教授的。
08
有兩種數(shù)學(xué)。一種是真正的數(shù)學(xué)家研究的“真正的”數(shù)學(xué)，另一種則是我所謂的“平凡的”數(shù)學(xué)——沒有更好的詞來形容這種數(shù)學(xué)了。平凡的數(shù)學(xué)可以用霍格本或他那一派的作者提出的論據(jù)來辯護(hù)，而真正的數(shù)學(xué)卻沒有這種辯詞，即使它能被辯護(hù)，也只能把它當(dāng)作藝術(shù)。這個觀點(diǎn)一點(diǎn)也不含糊，也沒什么特別，數(shù)學(xué)家們普遍都是這么想的。還有一個問題需要考慮。我們剛剛已經(jīng)得出了結(jié)論：總體而言，平凡的數(shù)學(xué)是有用的，而真正的數(shù)學(xué)是無用的。就某種意義而言，
平凡的數(shù)學(xué)是有益的，而真正的數(shù)學(xué)并不是。但我們不禁要問，這兩種數(shù)學(xué)是否是有害的呢？認(rèn)為數(shù)學(xué)在和平時期會造成巨大危害是荒謬的，因此我們只考慮數(shù)學(xué)對戰(zhàn)爭的影響?，F(xiàn)在要冷靜地探討這類問題是很困難的，我也應(yīng)避免討論這些問題。然而，這個討論似乎又是無法回避的。幸好并不需要討論很久。
對真正的數(shù)學(xué)家而言，很容易得到一個令人欣慰的結(jié)論：真正的數(shù)學(xué)對戰(zhàn)爭沒什么用。迄今為止，還沒有人發(fā)現(xiàn)數(shù)論或相對論能被用于戰(zhàn)爭目的，而且在未來的很長一段日子里，似乎也不太可能有人會這么做。誠然，應(yīng)用數(shù)學(xué)的某些分支，如彈道學(xué)和空氣動力學(xué)，是為戰(zhàn)爭而特意發(fā)展起來的，它們需要相當(dāng)復(fù)雜的技術(shù)——也許很難把它們歸為“平凡的”數(shù)學(xué)，但它們同樣也都沒有資格被當(dāng)作“真正的”數(shù)學(xué)。它們確實(shí)丑陋得令人生厭，也枯燥得讓人作嘔，即使有李特爾伍德加盟，也無法讓人們對彈道學(xué)產(chǎn)生敬意。如果他不能，又有誰可以做到呢？所以真正的數(shù)學(xué)家是問心無愧的，他們的工作可能具有的所有價值都是無可非議的。正如我在牛津大學(xué)所說，數(shù)學(xué)是一種“無害而清白”的職業(yè)。
另一方面，平凡的數(shù)學(xué)在戰(zhàn)爭中有許多應(yīng)用。例如，倘若沒有這種數(shù)學(xué)，射擊專家和飛機(jī)設(shè)計師就無法工作。這些應(yīng)用的總體效果是明顯的，數(shù)學(xué)促進(jìn)了（即使不像物理學(xué)或化學(xué)那么明顯）現(xiàn)代的、科學(xué)的、全面的戰(zhàn)爭。
上文轉(zhuǎn)自圖靈新知，【遇見數(shù)學(xué)】已獲轉(zhuǎn)發(fā)許可。
01
《一個數(shù)學(xué)家的辯白（雙語版）》
作者：[英] 戈弗雷?哈代 譯者：何生
本書是哈代于1940年寫成的心得之作，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美、數(shù)學(xué)的持久性和數(shù)學(xué)的重要性三大主題。作者從自己的角度談?wù)摿藬?shù)學(xué)中的美學(xué)，給眾多數(shù)學(xué)“門外漢”一個機(jī)會，洞察工作中的數(shù)學(xué)家的內(nèi)心。作者還討論了數(shù)學(xué)的本質(zhì)與特點(diǎn)、數(shù)學(xué)的歷史及其社會功能等諸多話題。該書被稱為是“用優(yōu)雅的語言對數(shù)學(xué)真諦進(jìn)行了完美的揭示”，原汁原味地向讀者展示了一位真正、純粹的數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)思想，是不可多得的經(jīng)典讀物。
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