如果有這么一個人，寫下這樣的復雜公式，并聲稱是受女神夢中啟發(fā)所得，大家伙兒通常會送他兩個字：民科。
但當這個人一生中數(shù)千次寫下類似的數(shù)學公式和命題，并在此后的100年間，不斷地被證實正確，那么就只有一個可能——
他是拉馬努金。
之所以再度火爆，是因為直到今天，數(shù)學界還不斷有最新發(fā)現(xiàn)，在驗證他當年留下的“謎題”。
拉馬努金，一位全數(shù)學界公認的神人，被認為是數(shù)學史上最偉大的天才之一：
沒有接受過正統(tǒng)數(shù)學教育，在印度掛科到本科學位都沒拿到，卻憑借自己驚人的數(shù)學直覺征服數(shù)學大師G.H.哈代，使得劍橋大學三一學院的大門破例向他打開。
32歲就英年早逝，職業(yè)搞數(shù)學的時間只有短短6年，但他的數(shù)學筆記至今仍是傳奇——留下了近4000個公式，很多都在后來被證明正確。
他的恩師哈代甚至開玩笑說，自己對數(shù)學最大的貢獻就是發(fā)現(xiàn)了拉馬努金：
- 和拉馬努金的交往是我一生中唯一的浪漫事件。
△中間為拉馬努金，最右為G.H.哈代
直到今天，后輩數(shù)學家們?nèi)栽谧汾s著拉馬努金的步伐。
就在2024年9月，弗吉尼亞大學的數(shù)學家小野肯（Ken Ono）和他的合作者們，還在PNAS（美國國家科學院院刊）上發(fā)表了一篇關于羅杰斯-拉馬努金恒等式的應用論文，將其用于檢測質(zhì)數(shù)。
“夢中女神的啟示”
拉馬努金傳奇故事的構成要素之一，是他獨特的做數(shù)學的方式。
簡單來說就是三個字：憑直覺。
畢竟以常規(guī)思維來評判，你很難理解一個20世紀10年代的數(shù)學家，是怎么寫出那么多看上去只有計算機才能搞定的表達式的。
他寫給哈代的第一封信，就讓哈代驚呼“我從未見過像這樣的東西”，其中的數(shù)學結果長這樣：
而拉馬努金自己也常常聲稱，他的直覺和靈感來自于女神托夢（他是一位婆羅門教徒），他在夢中得到靈感，醒來后就在筆記中記下這些表達式。
在今天，拉馬努金影響最深遠的研究包括羅杰斯-拉馬努金恒等式。
這是與基本超幾何級數(shù)和整數(shù)拆分相關的兩個恒等式。
第一個恒等式是：
第二個恒等式是：
后世的數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)羅杰斯-拉馬努金恒等式與其他數(shù)學領域，比如統(tǒng)計物理學和表示論，存在深切的關聯(lián)。
比如，在20世紀80年代，羅格斯大學數(shù)學家James Lepowsky和Robert Wilson利用頂點算子代數(shù)理論，為羅杰斯-拉馬努金恒等式提供了一個新的表示論證明。
頂點算子代數(shù)理論在弦論的發(fā)展過程中發(fā)揮了重要作用，也在群論最大成果之一——怪獸月光理論的證明中發(fā)揮了關鍵作用。
拉馬努金猜想，則是數(shù)論和模形式研究中的一個重要里程碑。現(xiàn)代數(shù)學研究中最大的單項項目朗蘭茲綱領也和拉馬努金猜想有著緊密的聯(lián)系。
拉馬努金猜想通常是指關于模形式的τ函數(shù)系數(shù)大小的猜想。拉馬努金提出，對于：
其中，對于素數(shù)p，τ(p)的絕對值不會超過
簡單來說，就是這個數(shù)列中的數(shù)字雖然會變大，但不會變得太快或太大。
這個猜想在1973年由皮埃爾·德利涅（Pierre Deligne）證明。
朗蘭茲綱領的核心是函子性猜想，這一猜想描述了不同代數(shù)群的自守表示之間的深刻聯(lián)系。函子性猜想包含很多著名的猜想，拉馬努金猜想就是其中之一。
自學成才的數(shù)學鬼才
總而言之，這位受到女神眷顧的數(shù)學家，在今天的數(shù)學史上，已經(jīng)成為一個繞不開的、金光熠熠的名字。
但在他出生的1887年，他的父母可能怎么也沒想到，他們這個沒落的印度婆羅門家庭里，會成長出這樣一位傳奇的數(shù)學鬼才。
拉馬努金出生于印度泰米爾納德邦埃羅德縣，父親是一位收入微薄的小職員，母親則是家庭主婦。
年幼的拉馬努金很快展現(xiàn)出了自己的天賦，在小學里取得了優(yōu)異的學業(yè)成績，但直到他進入中學，他才算真正接觸到了正規(guī)數(shù)學，那一年他10歲。
△拉馬努金出生地
在這樣的環(huán)境中，實際上，從接觸數(shù)學到發(fā)展出屬于自己的數(shù)學研究，拉馬努金最主要是靠自學。
一開始，他是跟著家里的兩個大學生租戶學習數(shù)學知識，但在11歲時，兩位大學生就沒什么能再教他的了。于是，他們借給了拉馬努金一本高等三角學的書，讓他能夠繼續(xù)自學。
13歲時，拉馬努金啃透了這本書，甚至還自己發(fā)現(xiàn)了一些復雜的定理。
在以全區(qū)最好成績升入當?shù)馗咧泻?，憑借個人直覺和邏輯思維，他獨立推導了《純粹及應用數(shù)學的基本成果概要》中的大量數(shù)學公式。
具體來說，在仔細研究書中的5000個數(shù)學定理后，他發(fā)現(xiàn)了伯努利數(shù)，并里程碑式地將歐拉-馬斯切羅尼常數(shù)計算到了小數(shù)點后15位。
至高中畢業(yè)時，他被授予了K. Ranganatha Rao數(shù)學獎，校長還夸贊他的成績遠在滿分之上。
只可惜，拉馬努金對數(shù)學的過度專注讓他在大學時期遭遇了挫折。
這一階段的求學經(jīng)歷只能用“混亂”來形容，期間經(jīng)歷了換校、學位考試兩度失?。〝?shù)學只答自己感興趣的，其他科目成績不佳），最終肄業(yè)，沒有拿到學位證。
大學失敗后，沮喪的他選擇了離家出走，以至于母親還在報上登了一份尋人啟事。
之后他一直陷于生活窘迫之中，不過仍未放棄獨立數(shù)學研究。
直到23歲那年，他認識了稅務部門公務員V. Ramaswamy Aiyer，后者曾創(chuàng)立印度數(shù)學會，不過當時已結束數(shù)學會第一任秘書職務。
命運的齒輪就此轉動。
一開始，無業(yè)游民拉馬努金只想進入稅務部門工作，于是向Aiyer展示了自己的數(shù)學筆記本。
看完筆記后， Aiyer立即深感不能在稅務底層部門埋沒拉馬努金的才華，于是寫了一封介紹信將他推薦給了自己的數(shù)學家朋友們。
這群人也非常看好他，層層舉薦后，拉馬努金來到了印度數(shù)學會秘書R. Ramachandra Rao面前。
這位秘書對他的研究印象深刻，但鑒于拉馬努金的知識背景，于是懷疑他作者身份的真實性。
經(jīng)過多方努力，最終拉馬努金拿到了一次面談機會：
在這位秘書面前，他侃侃而談橢圓積分、超幾何級數(shù)和發(fā)散級數(shù)理論……
而這，也最終征服了對方。當?shù)弥R努金迫切需要工作和財政支持后，這位秘書把他推薦到了一所大學擔任研究員，并為他的研究提供經(jīng)濟資助。
后來，拉馬努金的研究成果發(fā)表在《印度數(shù)學會雜志》上。
這中間還發(fā)生了一件有意思的事：
當時他將一個無限嵌套根式的方程，以謎題的形式投稿給期刊，想看看能收到哪些回答。
結果等了3個月，沒有任何人理他。
無奈之下，拉馬努金只能自己上場，咔咔一頓操作后，最終在第一本筆記的第105頁上，寫下了解決無限嵌套根式方程的解決方案。（自己挖坑自己填第一人）
總之在這一時期，拉馬努金一邊工作，一邊業(yè)余搞數(shù)學研究，生活還算相對平穩(wěn)。
再到后來，為了將一些工作成果更廣泛地傳播，拉馬努金開始給幾位英國數(shù)學家寫信：
- 我是一名職員…… 我并未受過大學教育…… 但我正在為自己開辟一條新道路……
信中還有幾頁數(shù)學推演，其中一些內(nèi)容之前有人推導過，還有一些不完全正確。
最先接到信的是HF Baker和EW Hobson這兩位教授，在沒有發(fā)表任何評論的情況下，他們直接退回了信件。
不過這沒有讓拉馬努金退縮，他繼續(xù)將信投給了那個“命中注定般的人”——數(shù)學家哈代。
雖然哈代初看這份手稿也以為是欺詐，但最后3個陌生公式吸引了他的注意力：
- 我以前從未見過這些東西，它們完全打敗了我。它們一定是真的，因為如果它們不是真的，就沒有人有想象力來發(fā)明它們。
△圖源：Quanta Magazine
震驚過后，哈代起了惜才之心，于是邀請拉馬努金前往劍橋大學一同研究。（提供劍橋獎學金）
于是從1914年開始，兩人和哈代的另一同事李特爾伍德開始了長達5年的合作研究。
僅就拉馬努金和哈代來說，二人的合作并不容易：哈代追求嚴謹?shù)淖C明，而拉馬努金更相信直覺。
不過期間二人還是發(fā)生了不少有趣的小故事：
一次，拉馬努金生病住院了。哈代為了幫他解悶，告訴他出租車的編號是1729，“一個看起來沒什么意思的數(shù)字”。
這可激起了拉馬努金的反駁，“不，這是個非常有趣的數(shù)字?！?/p>
他進一步解釋，“在所有能用兩種方式寫成兩個自然數(shù)立方和的數(shù)字中，它是最小的那個?！?/p>
- 1729=1^3+12^3=9^3+10^3
這個故事后來被用來定義“的士數(shù)”。（不是太懂這些數(shù)學家的樂趣doge）
后來，拉馬努金因在高度復合數(shù)方面的工作拿到了研究型文學學士學位（博士學位的前身），并當選倫敦數(shù)學會會員。
31歲那年，他更是憑借“對橢圓函數(shù)及對數(shù)論的貢獻”當選史上最年輕的英國皇家學會會員，還是該機構認可的第二位印度人。
不過令人意外的是，剛剛取得巨大成就的拉馬努金，卻很快走向了故事終局。
在因身體不適返回印度后。1920年，拉馬努金32歲英年早逝。
當時人們認為可能的死亡原因是結核病，直到1994年，后來有醫(yī)生對拉馬努金的醫(yī)療記錄和癥狀進行了分析，得出的新結論是肝阿米巴病。
理由是拉馬努金離開印度前曾患過兩次痢疾，而阿米巴痢疾可能會潛伏數(shù)年，并導致肝阿米巴病。
后來的醫(yī)生表示，如果當時能得到正確診療，這種病通常可以被治愈。
這也讓后人一直感到無比遺憾：
而為了紀念他，人們也專門設立了“拉馬努金獎”，每年由位于他的故鄉(xiāng)貢伯戈訥姆的Shanmugha文理工研究院（SASTRA）所頒發(fā)，獎金為10000美元。
獲獎者需滿足兩個條件：
- 在拉馬努金研究領域做出杰出貢獻的數(shù)學家
- 獲獎時年齡需在32歲以下（正好是拉馬努金去世時候的年紀）
該獎自2005年頒發(fā)以來，至今已有22位獲得者，包括陶哲軒、詹姆斯·梅納德等多位菲爾茲獎得主，以及張偉、惲之瑋、劉一峰等等出身于北大數(shù)院的數(shù)學家們。
△圖源：Wikipedia
數(shù)學家們?nèi)栽谧汾s拉馬努金
從1914年到1920年，實際上，拉馬努金作為職業(yè)數(shù)學家僅工作了6年的時間，但就像前文提到過的，他的成果至今影響著數(shù)學界的后輩們。
1976年，人們還在劍橋大學三一學院的圖書館中找到了拉馬努金生命最后一年的“筆記本”。
這個“筆記本”由138頁散亂的紙張組成，上面記錄了600多個數(shù)學公式，但沒有證明的過程。其中包括拉馬努金對模擬θ函數(shù)的研究——這個函數(shù)對計算黑洞的熵很有用。
包含這本“遺失的筆記本”在內(nèi)，拉馬努金留下的手稿筆記中，總共3900余個公式和定理。
盡管拉馬努金本人并沒有在筆記中留下明確的思路，但后輩數(shù)學家們依然認為，“他為重要理論的開端奠定了基礎”。
直到今天，數(shù)學家們?nèi)栽谘R努金的遺產(chǎn)，追趕著這位傳奇人物的腳步。
巴黎西岱大學的數(shù)學家侯賽因·莫爾塔達（Hussein Mourtada）就是其中之一。
他從博士起就在研究奇點理論。他發(fā)現(xiàn)，能證明奇點深層基礎結構的方法，就來自于拉馬努金在一個世紀以前寫下的數(shù)學陳述。
簡單來說，莫爾塔達在研究名為“胖點”的簡單奇點的弧空間時，發(fā)現(xiàn)弧空間的結構可以用羅杰斯-拉馬努金恒等式來描述。
在此基礎之上，他還和他的學生Pooneh Afsharijoo一起，探索了許多更復雜的奇點及其弧空間。Afsharijoo現(xiàn)在在馬德里康普頓斯大學擔任博士后研究員，他還發(fā)現(xiàn)了新的條件，擴大了拉馬努金原始恒等式的范圍。
拉馬努金故事片《知者無涯》（The Man Who Knew Infinity）的副制片和顧問、弗吉尼亞大學數(shù)學家小野肯，更是認為自己的職業(yè)生涯一定程度上得益于拉馬努金的洞察。
2014年，小野和Michael J. Griffin、S. Ole Warnaar聯(lián)合發(fā)表論文，為羅杰斯-拉馬努金恒等式及其算術性質(zhì)提供了一個框架，解決了一個源自拉馬努金工作的長期謎團。
2024年9月，他和William Craig和Jan-Willem van Ittterum一起，采用整數(shù)拆分方法來檢測素數(shù)——同樣是基于拉馬努金的工作。論文已發(fā)表在PNAS上。
OMT：更多相關資料
除了上面這些，如果你對拉馬努金感興趣，還有以下資料可作補充：
從相關傳記來看，英國電影《The Man Who Knew Infinity》（2015）專門講述了拉馬努金和哈代教授之間的友誼，以及他在學術領域的生涯。
另外，他也出現(xiàn)在了兩位印度數(shù)學家Narendra Kumar Govil和Bhu Dev Sharma的回憶錄中。
而對于那些難纏的數(shù)學公式，油管也有一系列詳細推演。
最后，還有網(wǎng)站收錄了拉馬努金所有已發(fā)表和未發(fā)表的論文。
感興趣就學起來吧！今日份勸學KPI達成（doge）~
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