來源：遇見數(shù)學(xué)
數(shù)學(xué)與物理學(xué)的關(guān)系自古以來就相互引領(lǐng)、彼此啟發(fā)。這種關(guān)系不僅吸引了哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的深入思考，近代以來也成為歷史學(xué)家和教育工作者研究的重要課題。
普遍認(rèn)為，這兩門學(xué)科有著非比尋常的親密關(guān)系。數(shù)學(xué)被描述為"物理學(xué)不可或缺的工具"，就像物理學(xué)家手中的放大鏡，幫助他們看清自然界的精微結(jié)構(gòu)；而物理學(xué)則被視為"數(shù)學(xué)靈感和洞見的豐富源泉"，為抽象的數(shù)學(xué)世界提供了豐富的現(xiàn)實(shí)案例。
關(guān)于這兩者的討論由來已久，其中最受關(guān)注的主題包括：它們之間的本質(zhì)區(qū)別是什么？它們?nèi)绾蜗嗷ビ绊懀繑?shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性在物理學(xué)中扮演什么角色？以及為什么數(shù)學(xué)能如此有效地描述物理世界？
▲ 古代文明發(fā)展數(shù)學(xué)，最初是出于智力挑戰(zhàn)和樂趣。令人驚訝的是，他們的許多發(fā)現(xiàn)后來在物理理論中發(fā)揮了重要作用，例如圓錐曲線在天體力學(xué)中的應(yīng)用(圖自維基)【遇見數(shù)學(xué)】：物理難題推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展——擺線擺是17世紀(jì)解決鐘表等時(shí)性難題的產(chǎn)物，惠更斯用高等幾何（擺線）對(duì)物理現(xiàn)象進(jìn)行了抽象建模，說明數(shù)學(xué)能夠精準(zhǔn)地刻畫自然規(guī)律；數(shù)學(xué)理論對(duì)物理的深遠(yuǎn)影響——圓錐曲線原本只是數(shù)學(xué)家出于興趣研究的對(duì)象，沒想到后來成為描述行星運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵工具（如開普勒定律、牛頓萬有引力）。歷史上的思想火花
這種關(guān)系的思考可以追溯到古希臘。亞里士多德在他的《物理學(xué)》中就曾探討數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家研究方法的差異。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派甚至提出“數(shù)統(tǒng)治世界”“萬物皆數(shù)”等觀點(diǎn)，認(rèn)為自然界的本質(zhì)可以歸結(jié)為數(shù)字和數(shù)學(xué)關(guān)系。
兩千年后，伽利略·伽利萊用更加詩意的表達(dá)重申了這一信念："自然之書是用數(shù)學(xué)的語言書寫的"。這句名言也強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)對(duì)描述自然界規(guī)律的重要性。
相互啟發(fā)的歷史進(jìn)程
數(shù)學(xué)與物理學(xué)的歷史交織充滿了精彩的互動(dòng)瞬間，許多數(shù)學(xué)的新發(fā)展都源自物理學(xué)的問題。
早在公元前三世紀(jì)，阿基米德在求解球體體積時(shí)，最初采用了物理直觀的方法，如想象用天平平衡不同形狀的物體，然后才給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。
亞里士多德在他的學(xué)科分類中，將物理學(xué)和數(shù)學(xué)都?xì)w為理論科學(xué)，與實(shí)踐科學(xué)（如倫理學(xué)、政治學(xué)）和生產(chǎn)科學(xué)（如醫(yī)學(xué)、植物學(xué)）區(qū)分開來。這種分類奠定了西方科學(xué)體系的基礎(chǔ)框架。
從 17 世紀(jì)開始，數(shù)學(xué)的許多重大進(jìn)展都是由物理問題推動(dòng)的。這種情況一直持續(xù)到 19 世紀(jì)，當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)才開始逐漸獨(dú)立，發(fā)展出更多不直接依賴于物理應(yīng)用的分支。
微積分的發(fā)明是數(shù)學(xué)與物理互動(dòng)的經(jīng)典案例。伽利略的運(yùn)動(dòng)學(xué)研究和牛頓的力學(xué)體系急需一種新的數(shù)學(xué)語言來描述連續(xù)變化的物理量。為了滿足這一需求，牛頓和萊布尼茨分別發(fā)展出了微積分體系。
在當(dāng)時(shí)，牛頓想要描述行星運(yùn)動(dòng)時(shí)，他需要計(jì)算瞬時(shí)速度的變化率。傳統(tǒng)幾何學(xué)無法處理這種"變化的變化"，于是他發(fā)明了"流數(shù)法"（fluxions），也就是今天我們所說的微積分。雖然牛頓當(dāng)時(shí)使用的無窮小量概念缺乏嚴(yán)格基礎(chǔ)，但這絲毫不妨礙他用新工具成功預(yù)測(cè)行星軌道和潮汐變化。
在那個(gè)時(shí)代，物理學(xué)和數(shù)學(xué)的界限極為模糊。牛頓甚至將幾何學(xué)視為力學(xué)的一個(gè)分支，這在今天看來可能有些奇怪，但反映了當(dāng)時(shí)科學(xué)家對(duì)兩者統(tǒng)一性的深刻理解。
19 世紀(jì)出現(xiàn)的非歐幾何學(xué)是另一個(gè)重要突破。高斯、鮑耶·亞諾什、羅巴切夫斯基和黎曼的工作將幾何學(xué)從歐幾里得的單一框架中解放出來，為物理學(xué)打開了新視野。黎曼發(fā)展的曲面幾何（后稱為黎曼幾何）最終成為愛因斯坦廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。
【遇見數(shù)學(xué)】：在黎曼幾何中，空間可以彎曲，測(cè)地線（最短路徑）不一定是直線。正是這種數(shù)學(xué)語言讓愛因斯坦能夠?qū)⒁忉尀榭臻g曲率，從而徹底革新了我們對(duì)宇宙的理解。
19 世紀(jì)中期，法國哲學(xué)家奧古斯特·孔德在他的科學(xué)分類中，將物理學(xué)和天文學(xué)置于數(shù)學(xué)之后，認(rèn)為它們雖不如數(shù)學(xué)普遍，但更為復(fù)雜，因?yàn)槎家蕾囉跀?shù)學(xué)基礎(chǔ)。
到了 20 世紀(jì)初，數(shù)學(xué)大師希爾伯特在他著名的 23 個(gè)問題中，將物理學(xué)的公理化列為第六個(gè)問題，希望能像幾何學(xué)那樣為物理理論建立嚴(yán)格的公理體系。這個(gè)雄心勃勃的目標(biāo)至今仍未完全實(shí)現(xiàn)，反映了物理學(xué)與數(shù)學(xué)在本質(zhì)上的某些差異。
1930 年，物理學(xué)家保羅·狄拉克為解決量子力學(xué)計(jì)算需要，發(fā)明了狄拉克 δ 函數(shù)。這個(gè)函數(shù)在積分中產(chǎn)生單一值，但其數(shù)學(xué)定義當(dāng)時(shí)卻缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性。直到數(shù)學(xué)家洛朗·施瓦茨發(fā)展了分布理論，才為這一物理工具提供了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。
【遇見數(shù)學(xué)】：物理學(xué)家有時(shí)會(huì)“先用起來”，只要工具好用、能解釋實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，哪怕暫時(shí)沒有嚴(yán)密的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，也會(huì)先用起來。數(shù)學(xué)家則更關(guān)心定義和邏輯推理是否自洽。
兩個(gè)領(lǐng)域之間的聯(lián)系有時(shí)會(huì)產(chǎn)生令人驚訝的發(fā)現(xiàn)。1975 年，物理學(xué)家吳振鼎和楊振寧創(chuàng)建了一個(gè)"互翻字典"(Wu–Yang dictionary)，將規(guī)范場(chǎng)論中的物理概念與微分幾何中的數(shù)學(xué)概念一一對(duì)應(yīng)起來。這種跨學(xué)科的聯(lián)系不僅促進(jìn)了物理理解，也為數(shù)學(xué)提供了新的研究方向。
原內(nèi)容及圖片源自維基百科，遵循CC BY-SA 4.0協(xié)議。
原文：en.wikipedia.org/wiki/Relationship_between_mathematics_and_physics
翻譯：【遇見數(shù)學(xué)】譯制，并補(bǔ)充部分內(nèi)容/圖片
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