來源：數(shù)達(dá)未來
幾何朗蘭茲猜想（Geometric Langlands Conjecture）于2024年被一個由9位數(shù)學(xué)家組成的團(tuán)隊正式證明。這一突破歷經(jīng)30年的研究，最終由Dennis Gaitsgory（馬克斯·普朗克數(shù)學(xué)研究所）和Sam Raskin（耶魯大學(xué)）領(lǐng)導(dǎo)完成，團(tuán)隊包括中國學(xué)者陳麟（清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心助理教授）等。該證明由5篇論文組成，總計超過800頁，涵蓋了從函子構(gòu)造到最終推廣的全部過程，被認(rèn)為是朗蘭茲綱領(lǐng)（Langlands Program）幾何部分的核心突破。這是一個極為了不起的偉大時刻。
一、經(jīng)典朗蘭茲計劃
一個數(shù)學(xué)構(gòu)想，探究數(shù)論與幾何之間的讓人吃驚的聯(lián)系。1967 年，年輕的數(shù)學(xué)家羅伯特·朗蘭茲在寫給安德烈·韋伊的一封信中首次闡述了他的初步想法 1。在看似不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，如數(shù)論和調(diào)和分析之間，存在著根本的聯(lián)系 2。許多數(shù)學(xué)家將朗蘭茲計劃視為數(shù)學(xué)領(lǐng)域的“大統(tǒng)一理論”，試圖在一個統(tǒng)一的框架下理解數(shù)學(xué)中各種復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，“結(jié)構(gòu)”既包括具體的代數(shù)運(yùn)算系統(tǒng)，也包括幾何、數(shù)論和分析中的抽象對象及其相互作用。
經(jīng)典朗蘭茲計劃示意圖
二、幾何朗蘭茲猜想
是朗蘭茲計劃在幾何背景下的一個重要分支。它將經(jīng)典朗蘭茲計劃中的數(shù)域替換為函數(shù)域，并應(yīng)用代數(shù)幾何的技術(shù)，對朗蘭茲對應(yīng)進(jìn)行了重新表述。建立了代數(shù)幾何和表示論之間的聯(lián)系，可以看作是經(jīng)典朗蘭茲計劃在幾何上的類比。
幾何郎蘭茲猜想示意圖
三、大統(tǒng)一思想
受研究方法還原論的影響，人類總是希望能找到一個萬有的、自洽的理論來解釋這個世界。從古希臘的原子論到我們的五行學(xué)說，概莫能外。當(dāng)然，第一個真正意義上的輝煌是牛頓在宏觀領(lǐng)域讓天上地下使用同一套公式，愛因斯坦希望對宇宙的解釋可以寫在一張餐巾上。在這種用一套萬有的理論解釋世界上一切的哲學(xué)理念影響下，人類一直在尋找大一統(tǒng)的理論來簡化這個世界。其中一個重要方法就是分級分類。怎樣在看似不同的對象/系統(tǒng)中找到二者不變的內(nèi)核，并且讓二者通過某個變化或者從另外一個更高的維度來觀察，他們是一樣的，就可以劃分為一類。在不同系統(tǒng)間找到聯(lián)系，就可以根據(jù)類別中已經(jīng)熟悉的一個領(lǐng)域知識推斷出結(jié)果，在同類中另外一個領(lǐng)域也會有經(jīng)過對應(yīng)后統(tǒng)一的結(jié)果。這對于人類的認(rèn)知和解決問題方法有極大的幫助。于是尋找兩個系統(tǒng)內(nèi)部具備不變性的某種性質(zhì)和方法，成為認(rèn)知世界的重要手段。
在物理上，人們通過“對稱”將兩個不同的系統(tǒng)統(tǒng)一起來，對稱性是指物理系統(tǒng)在某些變換下保持不變的性質(zhì)。例如，空間平移不變性對應(yīng)于動量守恒，對稱 = 守恒 （作用量）。對稱可以認(rèn)為是在一個系統(tǒng)中建立了某個對應(yīng)法則，經(jīng)過映射之后，系統(tǒng)有某種內(nèi)在不變性存在。
數(shù)學(xué)家們一直尋求不同領(lǐng)域之間的內(nèi)在聯(lián)系，希望能夠用更簡潔、更統(tǒng)一的理論來解釋各種復(fù)雜的現(xiàn)象，讓數(shù)學(xué)領(lǐng)域的分類和預(yù)測能有更好效果。
朗蘭茲綱領(lǐng)的終極目標(biāo)是揭示這些看似無關(guān)的結(jié)構(gòu)之間的精確對應(yīng)關(guān)系，這種統(tǒng)一性類似于物理學(xué)中試圖用單一理論解釋四種基本力，而朗蘭茲綱領(lǐng)試圖用“表示論”的語言統(tǒng)一數(shù)學(xué)的核心分支。下面就其核心“表示論”做一個解釋。
四、表示論
在集合里面+1種二元運(yùn)算，滿足四個條件（群四點(diǎn)）就構(gòu)成了所謂的群?？雌饋砗孟窈喓唵螁?，但是實(shí)際上是非常抽象。群有多種類型，比如說有限群，無限群，循環(huán)群，對稱群，置換群，阿貝爾群，非阿貝爾群，還有李群等。但是有許多抽象群，本身的結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜，要想了解他的結(jié)構(gòu)（運(yùn)算）和群作用（群的元素對另一個群的運(yùn)算）方式、結(jié)果就非常困難。一般我們會采用兩種方式來研究， 一種是分而治之。研究部分元素和運(yùn)算法則構(gòu)成的子群的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，加上生成元等，從而來探索群的結(jié)構(gòu)。
另一種群表示。通過群同態(tài)（少部分會有群同構(gòu)），在保持運(yùn)算一致情況下把這些群映射到一種我們非常熟悉的代數(shù)結(jié)構(gòu)中，尤其是可逆矩陣構(gòu)成的線性群，就可以通過我們熟悉的矩陣運(yùn)算的性質(zhì)，得出一些結(jié)論。由于是一個線性運(yùn)算，所以抽象群到線性群之間是可逆的，將結(jié)論反向帶入到原來的抽象群里面，從而能得到其他的群本身的結(jié)構(gòu)。映射過程中，同構(gòu)當(dāng)然非常好，可以說兩個代數(shù)系統(tǒng)（定義了運(yùn)算的非空集合）之間是完全相同的，但是多數(shù)情況下是條件稍微弱一些的同態(tài)，就相當(dāng)于我們的函數(shù)是多對一的方式，而不是同構(gòu)的一一對應(yīng)方式，和函數(shù)相比還多了一種保持運(yùn)算不變的要求。因此，在同態(tài)的過程中會有一些信息的丟失，但是這依然是分析抽象群的最重要的方法。
抽象群研究方法
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