65年數(shù)學(xué)難題新突破！
來自復(fù)旦大學(xué)的林偉南、王國(guó)禎以及UCLA的徐宙利合作，解決了126維空間的Kervaire不變量問題。
三位作者都是北大數(shù)院出身，該成果曾作為北大建校126周年賀禮做報(bào)告，現(xiàn)在完整論文終于上傳arXiv。
△圖源：北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院
他們這次解決的是高維拓?fù)鋵W(xué)中的核心難題之一，也被稱為“末日假說”：如果該假說被證偽，許多基于它建立的所有其他猜想都將被推翻！
Kervaire不變量用于判斷流形能否通過特定方法轉(zhuǎn)化為球體。當(dāng)一個(gè)流形可以精確地轉(zhuǎn)化為球體時(shí)，該不變量等于零；無法轉(zhuǎn)化為球體時(shí)，該不變量等于1。
到了1960年，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)證明Kervaire不變量為1的流形存在于維度2、6、14、30中。
前面的問題背景介紹都看不懂也沒關(guān)系，觀察這四個(gè)數(shù)字很容易得出他們似乎滿足2^n-2的規(guī)律。
數(shù)學(xué)家們很自然的假設(shè)這種流形還會(huì)存在于62、126、254等維度，但證明止步于62維，后面停滯了幾十年未取得進(jìn)展。
直到2009年，終于有人證明了大于等于254維時(shí)這樣的流形不存在，至此，126維成為了全部問題的最后一塊拼圖。
林偉南、王國(guó)禎、徐宙利三人這次證明126維的方法結(jié)合了計(jì)算機(jī)計(jì)算和理論見解，被學(xué)術(shù)界評(píng)價(jià)為“堪稱一項(xiàng)宏偉的工程”。
從105種可能性到唯一解
幾十年來，數(shù)學(xué)家們都在好奇一個(gè)問題：
哪些維度存在一些奇怪的形狀，其扭曲到即使利用特殊手段也無法轉(zhuǎn)化為球體。
通俗理解，每增加一個(gè)維度就意味著創(chuàng)造了一個(gè)新的移動(dòng)方向，而不同維度都有各自的特性。
比如在第8維和第24維（下圖），數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明這兩個(gè)維度可以讓球體排列得特別緊密。而在其他維度中，球體的排列可能就沒那么完美，甚至看起來有些“皺巴巴”的，就像一個(gè)被揉皺的紙團(tuán)一樣。
通過找出這些具有扭曲形狀的維度，數(shù)學(xué)家們可以更好地理解不同維度空間的性質(zhì)和規(guī)律。
而在林偉南等人的研究之前，數(shù)學(xué)家已經(jīng)發(fā)現(xiàn)這些扭曲形狀存在于第2、6、14、30和62維空間中，并且排除了除第126維之外的其他情況。
也就是說，唯一不確定的第126維，現(xiàn)在已經(jīng)被他們最終解決了。
不過要想弄清楚他們是如何解決這個(gè)問題的，我們還得回顧一下前人取得的一些進(jìn)展。
相關(guān)研究最早可以追溯到20世紀(jì)50年代，數(shù)學(xué)家John Milnor引入了目前流形研究中的一種通用方法——surgery（手術(shù)）。
其中，流形在數(shù)學(xué)中指一個(gè)復(fù)雜的形狀，比如一個(gè)彎曲的表面或更高維度的空間。
而surgery就像是對(duì)這個(gè)形狀進(jìn)行“整形”。需要先切掉一部分，然后沿著切口的邊緣把新的部分縫上去。這個(gè)過程必須非常小心，不能留下任何尖銳的角或邊緣，因?yàn)閿?shù)學(xué)家希望新的形狀是平滑的，就像一個(gè)完美的球面一樣。
甚至當(dāng)涉及到扭曲形狀時(shí)，surgery還必須符合流形的“框架”，即流形在空間中的擺放位置。
比如在下面這個(gè)例子中，將一個(gè)“甜甜圈”（環(huán)面）變成球體，需要經(jīng)歷切割——形狀變化——縫合——拓?fù)涞葍r(jià)這幾個(gè)過程。
最終結(jié)果是，雖然形狀發(fā)生了改變，但在拓?fù)鋵W(xué)上卻是等價(jià)的（基本結(jié)構(gòu)和性質(zhì)相同）。
利用surgery這一方法，數(shù)學(xué)家們得出以下發(fā)現(xiàn)：
二維平面不存在奇異球體；
在某些更高維度中，surgery可以使一些流形變成普通球體，同時(shí)使另一些變成奇異球體；
還有一種特殊情況，某些流形無法通過surgery變成球體。
這里所謂的奇異球體，是指在某個(gè)維度中與普通球體（標(biāo)準(zhǔn)球體）具有相同拓?fù)湫再|(zhì)，但在微分結(jié)構(gòu)上有所不同的球體。微分結(jié)構(gòu)涉及到空間的局部平滑性，比如一個(gè)在普通球面上光滑的曲線可能在奇異球面上不光滑。
BTW，當(dāng)初John Milnor就因在七維空間中發(fā)現(xiàn)奇異球體而震驚數(shù)學(xué)界，并且之所以引入surgery，也是想探索不同維度中的奇異球體。
基于上述發(fā)現(xiàn)，后來的研究聚焦在了第三種特殊情況上——某些流形無法通過surgery變成球體。
就像下面這個(gè)經(jīng)過特殊扭曲的二維形狀：
而為了進(jìn)一步判斷一個(gè)流形是否可以通過拓?fù)鋝urgery變成一個(gè)球體，法國(guó)數(shù)學(xué)家Michel Kervaire于1960年正式提出了Kervaire不變量。
可以轉(zhuǎn)化為球體，Kervaire不變量為0；無法轉(zhuǎn)化為球體，Kervaire不變量為1。
有了這個(gè)計(jì)算數(shù)值，數(shù)學(xué)家們爭(zhēng)相確定不同維度流形的Kervaire不變量。
并且?guī)啄曛畠?nèi)，他們就證明了在第2、6、14和30維空間中存在Kervaire不變量為1的扭曲流形。
顯然，這幾個(gè)維度存在一個(gè)明顯規(guī)律：每個(gè)數(shù)都比2的冪小2。
后來在1969年，數(shù)學(xué)家William Browder證明了這一規(guī)律是唯一可能存在Kervaire不變量為1的地方。
沿著這一規(guī)律，人們自然假設(shè)其他維度還包括62、126、254等等，同時(shí)還有人基于這一假設(shè)提出了大量相關(guān)猜想。
不過由于假設(shè)并未得到完全證明，導(dǎo)致后來的猜想始終“搖搖欲墜”，所以這一假設(shè)也被稱為“末日假說”。
再到后來，兩項(xiàng)關(guān)鍵證明出現(xiàn)了：
一個(gè)是在1984年，數(shù)學(xué)家們證明了62維確實(shí)存在扭曲流形；另一個(gè)是在2009年，Hopkins等人證明了滿足Kervaire不變量為1的流形不可能存在于254維及以上的空間。
排除之后，唯一剩下的只有第126維空間了。
還是上面提到的William Browder，他在1969年發(fā)現(xiàn)了一個(gè)解決第126維問題的關(guān)鍵線索：
在亞當(dāng)斯譜序列第126列中的一個(gè)特定點(diǎn)，對(duì)于理解該問題至關(guān)重要。
具體而言，這個(gè)點(diǎn)可以告訴我們126維流形是否可以被分類為具有Kervaire不變量為0或1的流形。
這里要分為兩種情況：
其一，如果這個(gè)點(diǎn)在亞當(dāng)斯譜序列的“無限”頁(yè)（也就是最終頁(yè)）上存活下來，那么這意味著在126維空間中存在兩種類型的流形，即Kervaire不變量為0或Kervaire不變量為1。
其二，如果這個(gè)點(diǎn)在“無限”頁(yè)上沒有存活下來，那么在126維空間中就只存在一種類型的流形，即Kervaire不變量為0的流形。
概括而言，對(duì)于第126列中的特殊點(diǎn)，有105種不同的假設(shè)方式可能導(dǎo)致它在到達(dá)“無限”頁(yè)之前消失。
為了排除這些可能性，林偉南等人進(jìn)行了合作。其中由林偉南開發(fā)的計(jì)算機(jī)程序，首先排除了101種可能性。
后來又花了1年時(shí)間，繼續(xù)排除了最后4種可能。
最終他們證明了，William Browder提出的特殊點(diǎn)確實(shí)存活到了“無限”頁(yè)，即第126維具有Kervaire不變量為1的流形。
研究團(tuán)隊(duì)
三位作者中，王國(guó)禎和徐宙利在北大數(shù)院本科和碩士期間（2004-2011）一直是同學(xué)，碩士階段還是舍友。
從北大數(shù)院畢業(yè)后，王國(guó)禎到MIT讀博，2016年來到復(fù)旦大學(xué)上海數(shù)學(xué)中心從博士后一路做到副教授。
△王國(guó)禎
徐宙利則去了芝加哥大學(xué)讀博，畢業(yè)后先后在MIT、UCSD和UCLA任教，現(xiàn)為UCLA數(shù)學(xué)系教授。
△徐宙利
兩人一直保持合作關(guān)系，截止目前已在數(shù)學(xué)四大刊上聯(lián)手發(fā)表了3篇論文。
林偉南比他們年齡小一些，2011年來到北大數(shù)院讀本科，后到芝加哥大學(xué)讀博，徐宙利與林偉南在芝加哥大學(xué)都接受Peter May的指導(dǎo)。
△林偉南
2011年，當(dāng)徐宙利來到芝加哥大學(xué)時(shí)就致力于研究流形的計(jì)算問題，導(dǎo)師Peter May提議他研究126維Kervaire不變量問題，還把他介紹給這方面的專家西北大學(xué)教授Mark Mahowald。
Mark Mahowald聽說后立即否決了這項(xiàng)提議，他認(rèn)為126維問題“將是一個(gè)終生難題”，并指導(dǎo)徐宙利去研究更低維度的相關(guān)問題。
僅兩年后，Mark Mahowald于2013年不幸去世，徐宙利等人卻沒有停下研究126維Kervaire不變量問題的腳步。
十多年后，當(dāng)這個(gè)這個(gè)問題被解決，三位作者特別將這篇具有里程碑意義的論文獻(xiàn)給了Mahowald，表達(dá)對(duì)這位代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)大師的敬意。
論文地址：
https://arxiv.org/abs/2412.10879
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