明敏 克雷西 發(fā)自 凹非寺
量子位 | 公眾號(hào) QbitAI

9位數(shù)學(xué)家、橫跨30余年、5篇論文共計(jì)800+頁(yè)……

幾何朗蘭茲猜想，終于被證明！

它是朗蘭茲綱領(lǐng)的幾何化版本。

朗蘭茲綱領(lǐng)被視為現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究中最大的單項(xiàng)項(xiàng)目，被稱為“數(shù)學(xué)的大統(tǒng)一理論”。它提出數(shù)論、代數(shù)幾何、群表示論這三個(gè)獨(dú)立發(fā)展的數(shù)學(xué)分支之間其實(shí)密切相關(guān)。

費(fèi)馬大定理被完全證明，就得益于對(duì)朗蘭茲綱領(lǐng)的應(yīng)用。安德魯·威爾斯（Andrew Wiles）對(duì)一小部分函數(shù)的數(shù)論朗蘭茲的關(guān)系的證明，就解決了困擾數(shù)學(xué)界300年的難題。

幾何朗蘭茲猜想作為朗蘭茲綱領(lǐng)的幾何版本，在上世紀(jì)80年代被提出。它提供了一種將數(shù)論方法和概念應(yīng)用于幾何問題（反之亦成立）的框架。

利用該猜想，可以為數(shù)學(xué)、物理領(lǐng)域諸多懸而未決的問題提供新思路和工具。比如可以應(yīng)用于量子場(chǎng)論和弦理論研究。

因此，當(dāng)幾何朗蘭茲猜想被證明，無疑會(huì)轟動(dòng)數(shù)學(xué)界。

主要研究朗蘭茲綱領(lǐng)的菲爾茲獎(jiǎng)得主彼得·舒爾茨（Peter Scholze）將這一最新成果評(píng)價(jià)為“30年努力的巔峰”。

看到它能被解決真的太好了！

幾何朗蘭茲綱領(lǐng)創(chuàng)始人之一亞歷山大·貝林森（Alexander Beilinson）也表示：

這個(gè)證明真的非常美麗，是同類中最好的。

該研究由丹尼斯·蓋茨戈里（Dennis Gaitsgory）和山姆·拉斯金（Sam Raskin）領(lǐng)導(dǎo)完成。

9人團(tuán)隊(duì)中，還包括中國(guó)學(xué)者陳麟。

他是清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心助理教授，曾在15歲時(shí)摘得IMO金牌。

幾何，朗蘭茲綱領(lǐng)的最后一環(huán)

朗蘭茲綱領(lǐng)的提出在1967年。

30歲的普林斯頓大學(xué)教授羅伯特·朗蘭茲（Robert Langlands）給“數(shù)學(xué)的羅塞塔石碑”創(chuàng)始人安德烈·韋爾 (André Weil) 寄去了一封長(zhǎng)達(dá)17頁(yè)的手寫信，信中向闡述了他的愿景。

（這里的“羅塞塔石碑”是一種比喻，指的是由數(shù)學(xué)家André Weil提出的一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域之間的類比，這個(gè)類比把數(shù)論、幾何學(xué)和函數(shù)域這三個(gè)看似不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域聯(lián)系在了一起。）

朗蘭茲寫道，在“羅塞塔石碑”的數(shù)論和函數(shù)域中，有可能創(chuàng)建出傅里葉分析的推廣。

傅里葉分析是一種將復(fù)雜波形表示為平滑振蕩三角函數(shù)波的框架，是現(xiàn)代電信、信號(hào)處理、磁共振成像以及許多現(xiàn)代生活的基本技術(shù)。

類似于傅里葉分析中函數(shù)與其傅里葉變換之間的關(guān)系，朗蘭茲綱領(lǐng)通過在這三個(gè)領(lǐng)域中建立類似的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”將它們聯(lián)系起來。

傅里葉變換在波和頻譜之間來回轉(zhuǎn)換，朗蘭茲綱領(lǐng)當(dāng)中也有相應(yīng)的“波”和“頻譜”。

其中“波”的一面由某些特殊函數(shù)構(gòu)成，“頻譜”的一面則由某些代數(shù)對(duì)象構(gòu)成，用以標(biāo)記“波”的頻率：

• 在數(shù)論中，函數(shù)是定義在p-adic數(shù)域或者阿德爾環(huán)上的特殊函數(shù)，代數(shù)對(duì)象是Galois群或者與之相關(guān)的群的表示；
• 在幾何中，函數(shù)是定義在黎曼曲面上的特征層(D-模)，代數(shù)對(duì)象是黎曼曲面基本群在某個(gè)代數(shù)群G上的表示；
• 在函數(shù)域中，函數(shù)是定義在曲線上的特殊函數(shù)，代數(shù)對(duì)象是Galois群或者與之相關(guān)的群的表示。

因此，朗蘭茲綱領(lǐng)提供了一個(gè)統(tǒng)一的視角，將數(shù)論、幾何、函數(shù)域這三個(gè)數(shù)學(xué)分支聯(lián)系起來，并由此帶來了一系列深刻而廣泛的數(shù)學(xué)問題和猜想。

通過朗蘭茲綱領(lǐng)的框架，許多傳統(tǒng)數(shù)論中的難題可以轉(zhuǎn)化為表示論或其他領(lǐng)域中的問題，從而以新的視角和工具加以解決，朗蘭茲綱領(lǐng)的思想和方法在許多具體的數(shù)學(xué)問題中得到了應(yīng)用。

例如，費(fèi)馬大定理的證明就借鑒了朗蘭茲綱領(lǐng)中的思想，將橢圓曲線和模形式聯(lián)系起來，并最終通過這些聯(lián)系取得了成功。

除了數(shù)學(xué)本身，朗蘭茲綱領(lǐng)對(duì)物理學(xué)等其他學(xué)科也起到了重要作用，比如在量子場(chǎng)論和弦理論中，朗蘭茲綱領(lǐng)的某些思想和方法得到了應(yīng)用。

其中，幾何朗蘭茲猜想不僅擁有更廣泛的應(yīng)用和聯(lián)系，還提供了幾何視角的強(qiáng)大工具，因此在朗蘭茲綱領(lǐng)中顯得尤為重要。

但幾何朗蘭茲猜想證明的歷程也十分艱難，前后一共跨越了跨越30年，最終的證明工作從2013年才開始。

核心的證明內(nèi)容，是關(guān)于黎曼曲面上的自相似性和對(duì)稱性的深層次對(duì)應(yīng)關(guān)系。

再次借用傅里葉分析的模式來解釋的話，就是數(shù)學(xué)家們很早就了解了幾何朗蘭茲猜想的“頻譜”一側(cè)，但對(duì)“波”一側(cè)的理解則經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的過程。

甚至在朗蘭茲剛提出這一綱領(lǐng)的時(shí)候，幾何部分根本沒有被包括在內(nèi)，直到80年代，數(shù)學(xué)家弗拉基米爾·德林費(fèi)爾德（Vladimir Drinfeld）意識(shí)到，通過用特征層替換特征函數(shù)，有可能創(chuàng)建一個(gè)幾何版本的朗蘭茲對(duì)應(yīng)關(guān)系。

而幾何朗蘭茲猜想的精確表述，更是本世紀(jì)才出現(xiàn)——2012年，丹尼斯·蓋茨戈里（Dennis Gaitsgory）與迪瑪·阿林金（Dima Arinkin）一起，用一篇150多頁(yè)的論文給出了這一表述。

丹尼斯和阿林金指出，證明幾何朗蘭茲猜想的核心思想是找到一個(gè)等價(jià)關(guān)系，將代數(shù)曲線X上的G-叢（代數(shù)空間G上的纖維叢，其纖維是G的副本）的D-模（某些空間上的微分方程的解）范疇與朗蘭茲對(duì)偶群^的局部系統(tǒng)的Ind-Coh范疇（包含了所有Ind-上同調(diào)對(duì)象）聯(lián)系起來，即：

2013年，丹尼斯寫下了幾何朗蘭茲猜想證明的草圖，但這個(gè)草圖依賴于許多尚未被證明的中間結(jié)果，此后的幾年，丹尼斯和他的合作者致力于證明這些結(jié)果。

2020年，丹尼斯開始思考如何理解每個(gè)特征層對(duì)“白噪聲”的貢獻(xiàn)，這一思想后來成為證明的關(guān)鍵部分。

這里的“白噪聲”指的是結(jié)合朗蘭茲猜想中的龐加萊層（Poincaré sheaf），作者以此類比是基于傅里葉變換中的正弦波。

2022年春，山姆·拉斯金（Sam Raskin）和他的學(xué)生喬阿基姆·費(fèi)爾格曼（Joakim F?rgeman）證明了每個(gè)特征層都以某種方式貢獻(xiàn)于“白噪聲”，這一結(jié)果讓丹尼斯確信他們很快就能完成證明。

從2023年起， 丹尼斯、山姆以及其他7位合作者向幾何朗蘭茲猜想發(fā)起了最后攻關(guān)，最終的證明包含5篇論文，篇幅超過800頁(yè)，并于今年發(fā)表。

第一篇關(guān)于函子（functor）的構(gòu)造，需要在特征為零的環(huán)境下，從自守（automorphic）到譜方向構(gòu)造幾何朗蘭茲函子LG并證明其等價(jià)性，即能夠在兩個(gè)范疇之間建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

如果這一等價(jià)性能夠得到證明，那么就能說明幾何朗蘭茲猜想成立。

第二篇研究了Kac-Moody定位與全局的相互作用，證明了該函子在特定條件下確實(shí)是一個(gè)等價(jià)性函子，從而推進(jìn)了幾何朗蘭茲猜想的證明。

第三篇起到了橋梁的作用，不僅將已知的等價(jià)性結(jié)果擴(kuò)展到了更一般的情況，而且還通過Kac-Moody局部化技術(shù)，為理解幾何朗蘭茲函子與常數(shù)項(xiàng)函子的兼容性提供了關(guān)鍵的洞見。

同時(shí)，通過證明在可約譜參數(shù)下幾何朗蘭茲猜想的兼容性，這一篇論文為進(jìn)一步證明不可約譜參數(shù)下的幾何朗蘭茲猜想奠定了基礎(chǔ)。

在第四篇論文中，作者們證明了一個(gè)關(guān)鍵的定理——Ambidexterity定理。這個(gè)定理表明，LG-cusp（可以視為L(zhǎng)G在一個(gè)特定的、更小的范疇上的行為）的左伴隨和右伴隨是同構(gòu)的，這是證明LG是一個(gè)等價(jià)性函子的重要步驟。

最后一篇論文則利用這一結(jié)論將猜想推廣到了一般情況，為曠日持久的證明工作畫上了句號(hào)。

兩代數(shù)學(xué)家合力攻堅(jiān)

研究團(tuán)隊(duì)由哈佛大學(xué)教授丹尼斯·蓋茨戈里（Dennis Gaitsgory）和耶魯大學(xué)教授山姆·拉斯金（Sam Raskin）領(lǐng)銜。

其余作者從左至右順時(shí)針方向分別是：達(dá)里奧·貝拉爾多（Dario Beraldo）、陳麟（Lin Chen）、凱文·林（Kevin Lin）、尼克·羅森布呂姆（Nick Rozenblyum）、喬阿基姆·費(fèi)爾格曼（Joakim F?rgeman）、賈斯廷·坎貝爾（Justin Campbell）和迪瑪·阿林金（Dima Arinkin）。

值得關(guān)注的是，研究小組包括中國(guó)學(xué)者：陳麟。

陳麟，清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心助理教授。2016在北京大學(xué)取得學(xué)士學(xué)位，2021年博士畢業(yè)于哈佛大學(xué)，曾榮獲哈佛2020-2021優(yōu)秀獎(jiǎng)學(xué)金。

他曾在十幾歲時(shí)就展現(xiàn)出超強(qiáng)的數(shù)學(xué)天賦，12歲進(jìn)入中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克（CMO）競(jìng)賽并獲得滿分，15歲進(jìn)入國(guó)家隊(duì)并參加國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO）競(jìng)賽取得金牌。

陳麟長(zhǎng)期研究幾何朗蘭茲綱領(lǐng)，他與該方向的結(jié)緣，正是來自丹尼斯·蓋茨戈里。

陳麟在此前采訪中透露，他是在丹尼斯的帶領(lǐng)下才進(jìn)入幾何朗蘭茲這一領(lǐng)域。博士之前，他幾乎對(duì)幾何表示論一無所知，很多基礎(chǔ)知識(shí)都是在丹尼斯的指導(dǎo)下學(xué)習(xí)的。

博士畢業(yè)后，陳麟也一直參與丹尼斯和其他合作者的研究項(xiàng)目，有關(guān)全局的范疇化幾何朗蘭茲猜想。

完成猜想證明以及論文撰寫后，他還會(huì)繼續(xù)思考關(guān)于局部幾何朗蘭茲的問題。

實(shí)際上，朗蘭茲綱領(lǐng)吸引著諸多中國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)者。北大黃金一代中的惲之瑋、張偉、袁新意、朱歆文，也正在攀登這一高峰。

參考鏈接：
[1]https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/
[2]http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2060061