悖論一.價(jià)值悖論

作為生活必需品的水價(jià)值很低，奢侈品如鉆石的價(jià)值卻很高，但為什么水的價(jià)值比鉆石低？

價(jià)值悖論(也被叫做鉆石與水悖論)就是一類典型的自相矛盾的例子，盡管在維持生存的價(jià)值上水要高出鉆石，但是市場(chǎng)價(jià)水卻不如鉆石。我們來(lái)試著解釋一下這個(gè)悖論，當(dāng)消費(fèi)量較小時(shí)，兩者相比水的邊際效用要大于鉆石，因此兩者都缺少的時(shí)候，水的價(jià)值就更高。事實(shí)上，現(xiàn)在我們對(duì)水的消費(fèi)量往往都比較大，鉆石的消費(fèi)量卻遠(yuǎn)沒(méi)有那么大。我們可以天天喝水喝到吐，卻不能天天買鉆石。所以，大量水的邊際效用小于少量鉆石的邊際效用。

按照邊際效用學(xué)派的解釋，比較鉆石和水的價(jià)值并不是比較兩者的總價(jià)值，而是比較每份單位的價(jià)值。盡管水的總體價(jià)值對(duì)于人類來(lái)說(shuō)再大也不為過(guò)，畢竟水是生存必需品，但是，考慮到全球的水資源足夠充沛，水的邊際效用也就處在相對(duì)較低水平。另一方面，急需用水的領(lǐng)域一旦被滿足，水就被用作不那么緊急的用途，邊際效用因此遞減。

所以，水的總量增加，水的總體價(jià)值就減少。鉆石的情況就不同了，不管地球上到底有多少鉆石，市場(chǎng)上的鉆石始終是少量，一顆鉆石的用途比一杯水大得多得多得多。所以鉆石對(duì)于人更有價(jià)值。鉆石的價(jià)格遠(yuǎn)高于水，消費(fèi)者愿意，商人也樂(lè)意，一個(gè)愿打一個(gè)愿挨。

悖論二.祖父悖論

如果你乘坐時(shí)光機(jī)回到你祖父祖母相遇之前并殺死你的祖父會(huì)發(fā)生什么？

關(guān)于時(shí)間旅行最有名的悖論是科幻小說(shuō)作家赫內(nèi)·巴赫札維勒1943年的小說(shuō)《不小心的旅行者》(《Future Times Three》)中提出的。悖論內(nèi)容如下：時(shí)間旅行者回到自己的祖父祖母結(jié)婚之前的時(shí)空，時(shí)間旅行者在該時(shí)空殺死了自己的祖父，也就是說(shuō)，時(shí)間旅行者自身從未降生過(guò)；但是，如果時(shí)間旅行者從未降生，也就不能穿越時(shí)空回到以前殺死自己的祖父，如此往復(fù)。

我們假設(shè)時(shí)間旅行者的過(guò)去和現(xiàn)在存在因果聯(lián)系，那么擾亂這種因果關(guān)系的祖父悖論看上去似乎是不可能實(shí)現(xiàn)的。(也就杜絕了人可以任意操縱命運(yùn)的可能)但是，有許多假說(shuō)繞開(kāi)了這種悖論，比如有人說(shuō)過(guò)去無(wú)法改變，祖父一定已經(jīng)在孫子的謀殺中幸存下來(lái)(如前所說(shuō))；還有種可能是時(shí)間旅行者開(kāi)啟/進(jìn)入了另一條時(shí)間線或者平行宇宙什么的，而在這個(gè)世界，時(shí)間旅行者從未誕生過(guò)。

祖父悖論的另一個(gè)版本是希特勒悖論，或者說(shuō)是謀殺希特勒悖論，這個(gè)想法被許多科幻小說(shuō)運(yùn)用，主人公回到了二戰(zhàn)前，殺死了希特勒，成功組織了二戰(zhàn)的爆發(fā)。矛盾之處在于，如果沒(méi)有發(fā)生二戰(zhàn)，為什么我們要回到二戰(zhàn)前刺殺希特勒，時(shí)間旅行本身就消除了旅行的目的，所以時(shí)間旅行本身就在質(zhì)疑自身存在的理由。

悖論三.忒修斯之船悖論

一艘船的所有零件都換成新的后，還是同一條船么？

忒修斯之船悖論提出了一個(gè)問(wèn)題，當(dāng)一個(gè)整體的所有組成部分都被替換，那么這個(gè)整體還是原來(lái)的整體么？

古人沒(méi)有討論出答案，今人Thomas Hobbes和John Locke也在嘗試對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行解答。有些人說(shuō)：“船還是原來(lái)的船?！钡且灿腥苏f(shuō)：“船已不是當(dāng)初的船?！?/p>

基于這個(gè)理論，人體的細(xì)胞每過(guò)七年就會(huì)更新一次，也就是說(shuō)，每過(guò)七年，你在鏡子里看到的自己都不是七年前的自己。

悖論四.伽利略悖論

不是所有的數(shù)都是平方數(shù)，所有數(shù)的集合不會(huì)超過(guò)平方數(shù)的集合。

伽利略悖論讓人見(jiàn)識(shí)了無(wú)限集合的驚人特性。在他最后的科學(xué)著作《兩種新科學(xué)》里，伽利略寫出了這個(gè)關(guān)于正整數(shù)的矛盾陳述。

首先，部分?jǐn)?shù)屬于平方數(shù)，其它則不是；因此，所有數(shù)，包含平方數(shù)和非平方數(shù)的集合必定大于單獨(dú)的平方數(shù)。然而，對(duì)于每個(gè)平方數(shù)有且只有一個(gè)對(duì)應(yīng)的正數(shù)平方根，且對(duì)于每個(gè)數(shù)都必定有一個(gè)確定的平方數(shù)；所以，數(shù)和平方數(shù)不可能某一方更多。這個(gè)悖論雖然不是最早但也是早在無(wú)限集合中運(yùn)用一一對(duì)應(yīng)的例子。伽利略在書中總結(jié)說(shuō)，少、相等和多只能描述有限集合，卻不能描述無(wú)限集合。

19世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家格奧爾格·康托爾，也是數(shù)集理論的開(kāi)創(chuàng)者，使用了相同的手法否定了伽利略的這條限制條件的必要性?？低袪栒J(rèn)為在無(wú)限數(shù)集中進(jìn)行有意義的比較是可行的(康托爾認(rèn)為數(shù)和平方數(shù)這兩個(gè)集合的大小是相等的)，在這種定義下，某些無(wú)限集合肯定是比另一些無(wú)限集合大。伽利略對(duì)后繼者在無(wú)窮數(shù)上的突破的預(yù)測(cè)驚人的準(zhǔn)確，伽利略在書中寫到，一條線段內(nèi)所有點(diǎn)的數(shù)目和比此更長(zhǎng)的線段上點(diǎn)的數(shù)目相等，但是伽利略沒(méi)有想出康托爾的證明法，即線段上所有點(diǎn)的數(shù)比整數(shù)大。

悖論五節(jié)約悖論

假設(shè)經(jīng)濟(jì)衰退，全社會(huì)所有人都選擇把錢存進(jìn)銀行，社會(huì)總需求因此下降，社會(huì)總資產(chǎn)反而更少。

節(jié)約悖論是指在經(jīng)濟(jì)蕭條時(shí)期所有人都把錢存進(jìn)銀行，社會(huì)總需求會(huì)下降，反過(guò)來(lái)全社會(huì)的消費(fèi)水平下降、經(jīng)濟(jì)增速減緩，全社會(huì)的資產(chǎn)總數(shù)也就下滑。悖論認(rèn)為個(gè)人資產(chǎn)增值的同時(shí)，全社會(huì)資產(chǎn)反而減少，或者再放開(kāi)了說(shuō)，儲(chǔ)蓄額的增加在荼毒經(jīng)濟(jì)，因?yàn)閭鹘y(tǒng)認(rèn)為個(gè)人儲(chǔ)蓄有益社會(huì)，但是節(jié)約悖論認(rèn)為大規(guī)模的儲(chǔ)蓄會(huì)對(duì)經(jīng)濟(jì)造成傷害。如果所有人都把錢存進(jìn)銀行，賬面上個(gè)人的資產(chǎn)會(huì)增值，但是全社會(huì)總體的宏觀經(jīng)濟(jì)趨勢(shì)會(huì)下降。

悖論六匹諾曹悖論

如果匹諾曹說(shuō)：“我的鼻子馬上會(huì)變長(zhǎng)?！苯Y(jié)果會(huì)怎樣?

當(dāng)匹諾曹說(shuō)：“我的鼻子馬上會(huì)變長(zhǎng)?！?，匹諾曹悖論屬于謊言悖論的一種。

謊言悖論是一種哲學(xué)和邏輯悖論，就像“這句話是假的。”認(rèn)為這句話是真的或是假的都會(huì)導(dǎo)致矛盾或者悖論的形成。因?yàn)槿绻@句話是真的,按照字面意思這句話就是假的；如果這句話是假的，按照字面意思，也就是說(shuō)這句話其實(shí)是真的。

匹諾曹悖論不同于傳統(tǒng)謊言悖論的地方在于，悖論本身沒(méi)有做出語(yǔ)義上的預(yù)測(cè)，例如“我的句子是假的?！?/p>

匹諾曹悖論和匹諾曹本身沒(méi)有關(guān)系，如果匹諾曹說(shuō)“我生病了”，這句話是可以判定真?zhèn)蔚模瞧ブZ曹說(shuō)的是“我的鼻子馬上會(huì)變長(zhǎng)”，就無(wú)法判定真?zhèn)?，我們無(wú)法得知匹諾曹的鼻子到底會(huì)不會(huì)變長(zhǎng)。

悖論七理發(fā)師悖論

小城里的理發(fā)師放出豪言：“我只幫城里所有不自己刮臉的人刮臉”。那誰(shuí)來(lái)給他刮臉？

假設(shè)你路過(guò)一家理發(fā)店，標(biāo)語(yǔ)上寫著：“你給自己刮臉么？如果不是，請(qǐng)?jiān)试S小店幫您刮臉！我只幫城里有所不自己刮臉的人刮臉，其他人一概不刮。”這個(gè)簡(jiǎn)單的介紹足夠讓你走進(jìn)這家理發(fā)店了，但是接下來(lái)你發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題——理發(fā)師給自己刮臉么？如果他給自己刮臉，那么他就違反了只幫不自己刮臉的人刮臉的承諾，如果他不給自己刮臉，那么他必須給自己刮臉，因?yàn)樗某兄Z說(shuō)他只幫不自己刮臉的人刮臉。兩種假設(shè)都導(dǎo)致這句話說(shuō)不通。

理發(fā)師悖論由英國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、社會(huì)的先知、言論自由最勇敢的斗士勃蘭特·羅素教授于20世紀(jì)初提出。悖論的發(fā)表帶來(lái)的巨大難題改變了整個(gè)20世紀(jì)數(shù)學(xué)界的研究方向。

理發(fā)師悖論中，條件規(guī)定“幫自己刮臉”，但只幫自己刮臉的男人的集合無(wú)法建立，即使這個(gè)條件非常簡(jiǎn)單，但是無(wú)法確定理發(fā)師應(yīng)不應(yīng)該在這個(gè)集合內(nèi)。所以兩種條件都會(huì)導(dǎo)致矛盾。

所有對(duì)理發(fā)師悖論的解答都將目光限定在可能的集合類型上。羅素自己提出了一套“類型理論”，這套理論將語(yǔ)句分為不同級(jí)別：最低級(jí)別是關(guān)于個(gè)體的語(yǔ)句，第二層級(jí)別是關(guān)于個(gè)體集合的語(yǔ)句，以此類推。這種理論避免了包含所有集合但不包含自身的全集，因?yàn)閮煞N語(yǔ)句屬于不同類型——即不同級(jí)別。

羅素悖論的解答方案中最受歡迎的應(yīng)該是策梅洛-弗蘭克爾公理化集合論。這種公理化集合論限制了對(duì)簡(jiǎn)單集合論的隨意假設(shè)，因?yàn)槿绻o出一個(gè)限定條件，你總是能指定出恰好符合條件的集合。但是在策梅洛-弗蘭克爾公理化集合論中，你只能從給定個(gè)體入手，從中挑選內(nèi)容形成集合。也就是說(shuō)，不用先假定有一個(gè)包含所有集合的全集，也避免了將包含所有集合從包含了自身的集合中剔除出來(lái)(實(shí)際上并不包含)。你用不著構(gòu)思步驟、建立個(gè)別、再將這個(gè)分支集合劃入任何給定集合。

理發(fā)師悖論的一種解決思路：換成女理發(fā)師。

悖論八生日問(wèn)題

這么幾個(gè)人里就有兩個(gè)人同天生日，怎么可能？

生日問(wèn)題提出了一種可能性：隨機(jī)挑選一組人，其中會(huì)有兩人同天生日。用抽屜原理來(lái)計(jì)算，只要人群樣本達(dá)到367，存在兩人同天生日的可能性就能達(dá)到100%(一年雖然只有365天，但是有366個(gè)生日，包括2月29日)。然而，如果只是達(dá)到99%的概率，只需要57個(gè)人；達(dá)到50%只需要23個(gè)人。這種結(jié)論的前提是一年中每天(除去2月29日)生日的概率相等。

悖論九雞與蛋悖論

到底是先有雞還是先有蛋？

雞還是蛋這個(gè)兩難的因果難題可以簡(jiǎn)述為“先有雞還是先有蛋？”雞與蛋悖論也啟發(fā)了古代哲人對(duì)先有生命還是先有宇宙這一系列問(wèn)題的思考。

傳統(tǒng)的文化認(rèn)為雞蛋悖論是一種循環(huán)因果悖論，要找出某個(gè)最初成因毫無(wú)意義。人們認(rèn)為解決雞蛋悖論的方法恰恰是這個(gè)問(wèn)題最本質(zhì)的核心所在。一方認(rèn)為卵生動(dòng)物在雞出現(xiàn)前很久就已經(jīng)存在了，所以是先有蛋；另一方則認(rèn)為先有雞，他們認(rèn)為現(xiàn)在人們所說(shuō)的雞不過(guò)是馴養(yǎng)的紅原雞的后代。然而，含糊的觀點(diǎn)也造成了這個(gè)難題含糊的背景。要更好理解這個(gè)問(wèn)題的隱喻含義，我們可以將問(wèn)題理解成“X得到了Y，Y得到了X，那么是先有X還是先有Y？”地球形成數(shù)億年后，雞這個(gè)物種出現(xiàn)了，雞又生下了蛋。如果是蛋先出現(xiàn)，那么是什么來(lái)坐在上面孵它呢，又是什么來(lái)喂養(yǎng)幼年的小雞呢？

悖論十失蹤的正方形

為什么正方形會(huì)無(wú)故消失？

失蹤的正方形謎題是一種用于數(shù)學(xué)課的視錯(cuò)覺(jué)，有助于學(xué)生對(duì)幾何圖形的思考。兩張圖都用到了一些相似的形狀，只不過(guò)位置稍有不同。

解開(kāi)謎題的關(guān)鍵在于圖中的“三角形”并非三角形，所有三角形的一條斜邊都是彎曲的。這些三角形的斜邊看上去似乎是條直線，但實(shí)際并不是。所以第一個(gè)圖形實(shí)際上占了32個(gè)格子。第二個(gè)圖形占了33個(gè)格子，包括“失蹤”的正方形在內(nèi)。注意在藍(lán)色紅色斜邊交界處的網(wǎng)格點(diǎn)，如果將它與另一張圖的對(duì)應(yīng)交界點(diǎn)比較，邊緣稍稍溢出或者低于格點(diǎn)。來(lái)自兩張圖重疊后溢出的斜邊導(dǎo)致一個(gè)非常細(xì)微的平行四邊形，占據(jù)了剛好一格大小的面積，恰洽是第二張圖“消失”的區(qū)域。